Ağır kuyruklu dağıtılmış bir işlemin önemli ölçüde iyileşip iyileşmediğini belirleyin

Sürecin değişiklikle düzelip düzelmediğini öğrenmek için bir değişiklikten önce ve sonra bir işlemin işlem sürelerini gözlemliyorum. İşlem süresi kısalırsa süreç iyileşmiştir. İşlem süresinin dağılımı yağ kuyrukludur, bu nedenle ortalamaya göre karşılaştırma mantıklı değildir. Bunun yerine, değişiklikten sonra daha düşük bir işlem süresi gözlemleme olasılığının önemli ölçüde% 50'nin üzerinde olup olmadığını bilmek istiyorum.

, değişiklikten sonraki işlem süresi ve önceki işlem için rastgele değişken olsun . Eğer belirgin üzerinde sonra işlem geliştirdi say.Y, P ( x < Y ) $X$$Y$$P(X < Y)$$0.5$

Şimdi var gözlemler ait ve gözlemler ait . Gözlenen olasılığı olan .X i X, m, y j -Y P ( x < Y ) p = $n$$x_i$$X$$m$$y_j$$Y$$P(X < Y)$$\hat p = \frac{1}{n m} \sum_i \sum_j 1_{x_i < y_j}$

Hakkında Ne söyleyebilirim gözlemleri verilen ve ?x i y $P(X < Y)$$x_i$$y_j$

Tahmininiz , Mann-Whitney istatistiğine (teşekkürler, Glen!) Bölünmesine eşittir ve bu nedenle Wilcoxon rank-sum istatistiği (Wilcoxon-Mann-Whitney istatistiği olarak da bilinir) ile eşdeğerdir : ; burada , örnek büyüklüğüdür (bağ olmadığı varsayılır.) Bu nedenle Wilcoxon testinin tablolarını / yazılımını kullanabilir ve bunları tekrar dönüştürebilirsiniz. güven aralığı veya değeri almak için.$\hat{p}$$U$$mn$$W$$W = U + {n(n+1)\over{2}}$$n$$y$$U$$p$

, = örnek büyüklüğü olsun . Sonra asimptotik olarak,$m$$x$$N$$m+n$

$W^* = \frac{W-\frac{m(N+1)}{2}}{\sqrt{\frac{mn(N+1)}{12}}} \sim \text{N}(0,1)$

Kaynak: Hollander ve Wolfe , Parametrik Olmayan İstatistiksel Yöntemler, kabaca s. 117, ama muhtemelen parametrik olmayan istatistik kitaplarının çoğu sizi oraya götürecektir.

@jbowman, stres mukavemeti modeli olarak bilinen tahmini problemine standart bir çözüm sunar .$\theta=P(X<Y)$

ve bağımsız olduğu durumda Baklizi ve Eidous'ta (2006) başka bir parametrik olmayan alternatif önerilmiştir . Bu aşağıda açıklanmaktadır.$X$$Y$

Tanım gereği

burada , ve , yoğunluğudur . Daha sonra, numune ile ve alırız çekirdek tahmin edicileri arasında ve ve bunun sonucu olarak ve kestirimcisi$F_X$$X$$f_Y$$Y$$X$$Y$$F_X$$f_Y$$\theta$

Bu, aşağıdaki R kodunda bir Gauss çekirdeği kullanılarak uygulanır.

# Optimal bandwidth
h = function(x){
n = length(x)
return((4*sqrt(var(x))^5/(3*n))^(1/5))
}

# Kernel estimators of the density and the distribution
kg = function(x,data){
hb = h(data)
k = r = length(x)
for(i in 1:k) r[i] = mean(dnorm((x[i]-data)/hb))/hb
return(r )
} 

KG = function(x,data){
hb = h(data)
k = r = length(x)
for(i in 1:k) r[i] = mean(pnorm((x[i]-data)/hb))
return(r )
} 

# Baklizi and Eidous (2006) estimator
nonpest = function(dat1B,dat2B){
return( as.numeric(integrate(function(x) KG(x,dat1B)*kg(x,dat2B),-Inf,Inf)$value))  
}

# Example when X and Y are Cauchy
datx = rcauchy(100,0,1)
daty =  rcauchy(100,0,1)

nonpest(datx,daty)

için bir güven aralığı elde etmek için bu tahmin edicinin bir önyükleme örneğini aşağıdaki gibi alabilirsiniz.$\theta$

# bootstrap
B=1000
p = rep(0,B)

for(j in 1:B){
dat1 =  sample(datx,length(datx),replace=T)
dat2 =  sample(daty,length(daty),replace=T)
p[j] = nonpest(dat1,dat2)
}

# histogram of the bootstrap sample
hist(p)

# A confidence interval (quantile type)
c(quantile(p,0.025),quantile(p,0.975))

Diğer bootstrap aralıkları da düşünülebilir.

Eşleştirilmiş fark göz önünde , o için edilir IID Bernoulli rastgele değişkenler. Sayısı Yani ve binom olan . O zaman olasılık ve güven aralıklarının tarafsız bir tahminidir ve binom temel alınarak hipotez testleri yapılabilir.$X_i-Y_i$$P(X_i-Y_i<0) = p$$I\{X_i-Y_i<0\}$$i=1,2,..,n$$X$$X_i < Y_i$$n$ $p=P(X_i-Y_i<0)$$X/n$