Eklem dağılımının Gauss olmayan olmadığı bir çift Gauss rastgele değişkeni olması mümkün mü?

Biri bana bu soruyu bir iş görüşmesinde sordu ve ortak dağıtımlarının her zaman Gauss olduğunu söyledi. Ben her zaman bir iki değişkenli Gaussian'ı araçları, varyansları ve kovaryanslarıyla yazabileceğimi düşündüm. İki Gaussian'ın ortak ihtimalinin Gauss olmadığı bir durum olup olmadığını merak ediyorum.

İki değişkenli normal dağılım istisnadır , kural değil!

Normal marjinallere sahip "hemen hemen tüm" eklem dağılımlarının iki değişkenli normal dağılım olmadığını bilmek önemlidir . Yani, iki değişkenli normal olmayan normal marjinallerle eklem dağılımlarının bir şekilde "patolojik" olduğu ortak bakış açısı biraz yanlış yönlendirilmiş durumda.

Kuşkusuz, çok değişkenli normal, lineer dönüşümler altındaki kararlılığı nedeniyle son derece önemlidir ve bu nedenle uygulamalardaki dikkat yoğunluğunu alır.

Örnekler

Bazı örneklerle başlamakta fayda var. Aşağıdaki şekilde, hepsi standart normal marjinallere sahip olan altı çift değişkenli dağılımın ısı haritaları bulunmaktadır . Üst sıradaki sol ve orta olanlar iki değişkenli normallerdir, geri kalanlar değildir (göründüğü gibi). Aşağıda daha ayrıntılı olarak açıklanmaktadırlar.

Copulaların çıplak kemikleri

Bağımlılığın özellikleri sıklıkla copulalar kullanılarak verimli bir şekilde analiz edilir . Bir iki değişkenli bağ birim karede bir olasılık dağılımı için bir fantezi adıdır ile homojen marjinal.$[0,1]^2$

Diyelim ki iki değişkenli bir kopuladır. Sonra, yukarıdan hemen, örneğin C ( u , v ) ≥ 0 , C ( u , 1 ) = u ve C ( 1 , v ) = v olduğunu biliyoruz .$C(u,v)$$C(u,v) \geq 0$$C(u,1) = u$$C(1,v) = v$

İki değişkenli kopulaların basit bir dönüşümü ile önceden belirlenmiş marjinallerle Öklid düzlemi üzerinde iki değişkenli rasgele değişkenler oluşturabiliriz . Let ve F 2 rastgele değişkenin bir çift kenar dağılımları reçete ( X , Y ) . Daha sonra, eğer C ( u , v ) iki değişkenli bir copula ise, , ve marjinalleri ile iki değişkenli bir dağıtım fonksiyonudur . Bu son gerçeği görmek için, sadece not alın $F_1$$F_2$$(X,Y)$$C(u,v)$F 1 F 2 P ( x ≤ x ) = P ( x ≤ X , Y, < ∞ ) = C ( F 1 ( x ) , F 2 ( ∞ ) ) = C (

$$F(x,y) = C(F_1(x), F_2(y))$$ $F_1$$F_2$ $$\renewcommand{\Pr}{\mathbb P} \Pr(X \leq x) = \Pr(X \leq x, Y < \infty) = C(F_1(x), F_2(\infty)) = C(F_1(x),1) = F_1(x) \>.$$ Aynı argüman için de .$F_2$

Sürekli ve , Sklar teoremi , benzersizliği ima eden bir sohbeti ileri sürer. Yani, sürekli marjinaller , ile iki değişkenli bir dağılım , karşılık gelen benzersizdir (uygun aralık aralığında).$F_1$$F_2$$F(x,y)$$F_1$$F_2$

İki değişkenli normal olağanüstü

Sklar teoremi bize (esasen) iki değişkenli normal dağılım üreten tek bir kopula olduğunu söyler. Bu, uygun bir şekilde olduğu bir bileşiği, Gauss copula üzerinde yoğunluğa sahip pay ilişki ile iki değişkenli normal dağılım olduğu değerlendirildi ve .$[0,1]^2$

$$c_\rho(u,v) := \frac{\partial^2}{\partial u \partial v} C_\rho(u,v) = \frac{\varphi_{2,\rho}(\Phi^{-1}(u),\Phi^{-1}(v))}{\varphi(\Phi^{-1}(u)) \varphi(\Phi^{-1}(v))} \>,$$ $\rho$$\Phi^{-1}(u)$$\Phi^{-1}(v)$

Ancak, çok sayıda başka kopulas var ve bunların hepsi , önceki bölümde açıklanan dönüşümü kullanarak iki değişkenli normal olmayan normal marjinallerle iki değişkenli bir dağılım verecektir .

Örneklerle ilgili bazı detaylar

Not eğer am rasgele yoğunluk ile bağ , dönüşüm altında standart normal marjinal karşılık gelen iki değişkenli yoğunluğu olan $C(u,v)$$c(u,v)$$F(x,y) = C(\Phi(x),\Phi(y))$

$$f(x,y) = \varphi(x) \varphi(y) c(\Phi(x), \Phi(y)) \> .$$

Gaussian copula'yı yukarıdaki denklemde uygulayarak, iki değişkenli normal yoğunluğu geri kazandığımızı unutmayın. Ancak, başka herhangi bir seçeneği için yapmayacağız.$c(u,v)$

Şekildeki örnekler aşağıdaki gibi inşa edildi (her sıra boyunca devam ediyor, her seferinde bir sütun):

1. Bağımsız bileşenleri olan iki değişkenli normal.
2. İki değişkenli ile normal .$\rho = -0.4$
3. Örnek bu cevapta verilen bir Dilip Sarwate . yoğunluğunun ile indüklendiği kolayca görülebilir. .$C(u,v)$$c(u,v) = 2 (\mathbf 1_{(0 \leq u \leq 1/2, 0 \leq v \leq 1/2)} + \mathbf 1_{(1/2 < u \leq 1, 1/2 < v \leq 1)})$
4. Yaratılan Frank copula parametresi ile .$\theta = 2$
5. Yaratılan Clayton copula parametresi ile .$\theta = 1$
6. Clayton copula'nın asimetrik bir modifikasyonundan, parametresiyle üretilir .$\theta = 3$

Çok değişkenli normal bir vektörün her bir elemanının kendisinin normal olarak dağıldığı ve onların araçlarını ve varyanslarını çıkarabildiğiniz doğrudur. Bununla birlikte, iki Guassian rastgele değişkeninin birlikte normal olarak dağıldığı doğru değildir. İşte bir örnek:

Düzenleme: Bir nokta kütlesi olan rastgele bir değişkenin ile normal dağılımsal bir değişken olarak düşünülebileceği görüş birliğine cevaben , örneğimi değiştiriyorum.$\sigma^2=0$

---

Let ve izin a, rastgele değişken. Yani, her biri olasılık .$X \sim N(0,1)$$Y = X \cdot (2B-1)$$B$${\rm Bernoulli}(1/2)$$Y = \pm X$$1/2$

Önce standart bir normal dağılıma sahip olduğunu gösterdik . $Y$By toplam olasılık yasası ,

$$P(Y \leq y) = \frac{1}{2} \Big( P(Y \leq y | B = 1) + P(Y \leq y | B = 0) \Big)$$

Sonraki,

$$P(Y \leq y | B = 0) = P(-X \leq y) = 1-P(X \leq -y) = 1-\Phi(-y) = \Phi(y)$$

burada standart normal CDF'dir . Benzer şekilde,$\Phi$

$$P(Y \leq y | B = 1) = P(X \leq y) = \Phi(y)$$

Bu nedenle,

$$P(Y \leq y) = \frac{1}{2} \Big( \Phi(y) + \Phi(y) \Big) = \Phi(y)$$

bu nedenle, KTL olan , bu şekilde .$Y$$\Phi(\cdot)$$Y \sim N(0,1)$

Şimdi birlikte normal dağılmadığını gösterdik. $X,Y$@ Cardinal'in işaret ettiği gibi, çok değişkenli normalin bir karakterizasyonu, elementlerinin her lineer kombinasyonunun normal olarak dağılmış olmasıdır. , bu özellik yok çünkü$X,Y$

$$Y+X = \begin{cases} 2X &\mbox{if } B = 1 \\ 0 & \mbox{if } B = 0. \end{cases}$$

Bu nedenle , rasgele değişkeninin karışımı ve 0'da nokta kütlesidir, bu nedenle normal olarak dağıtılamaz.$Y+X$$50/50$$N(0,4)$

Aşağıdaki yazı , sadece ana fikirleri vermek ve başlamanızı sağlamak için bir kanıt taslağını içerir.

Let iki bağımsız Gauss rastgele değişkenler ve izin olabilir $z = (Z_1, Z_2)$$x = (X_1, X_2)$

$$x = \begin{pmatrix} X_1 \\ X_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha_{11} Z_1 + \alpha_{12} Z_2\\ \alpha_{21} Z_1 + \alpha_{22} Z_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha_{11} & \alpha_{12}\\ \alpha_{21} & \alpha_{22} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} Z_1 \\ Z_2 \end{pmatrix} = A z.$$

Her bir , ancak her ikisi de aynı bağımsız r.vs'nin lineer kombinasyonları olduğundan, birbirlerine bağımlıdırlar.$X_i \sim N(\mu_i, \sigma_i^2)$

Tanım Bir çift r.vs normalde iki değişkenli olduğu bağımsız normal r.vs doğrusal bir kombinasyonu olarak yazılabilir .$x = (X_1, X_2)$$x = Az$$z = (Z_1, Z_2)$

Lemma Eğer iki değişkenli bir Gauss ise, o zaman diğer doğrusal kombinasyonları yine normal bir rasgele değişkendir.$x = (X_1, X_2)$

Kanıt . Önemsiz, kimseyi rahatsız etmemek için atlandı.

Özellik Eğer ilişkisizse, o zaman bağımsız ve tam tersidir.$X_1, X_2$

Dağılımı$X_1 | X_2$

Varsayalım önceki gibi ama en pozitif varyans ve sıfır basitlik için ortalama varsayalım aynı Gauss r.vs bulunmaktadır.$X_1, X_2$

Eğer tarafından yayılmış alt uzay olan , izin ve .$\mathbf S$$X_2$$X_1^{\mathbf S} = \frac{\rho \sigma_{X_1}}{\sigma_{X_2}} X_2$$X_1^{\mathbf S^\perp} = X_1 - X_1^{\mathbf S}$

$X_1$ ve , doğrusal kombinasyonlarıdır , bu nedenle de vardır. Ortak Gauss'lar, ilişkisiz (ispat) ve bağımsızlar.$X_2$$z$$X_2, X_1^{\mathbf S^\perp}$

Ayrışma ile tutar

$$X_1 = X_1^{\mathbf S} + X_1^{\mathbf S^\perp}$$ $\mathbf{E}[X_1 | X_2] = \frac{\rho \sigma_{X_1}}{\sigma_{X_2}} X_2 = X_1^{\mathbf S}$

$$\begin{split} \mathbf{V}[X_1 | X_2] &= \mathbf{V}[X_1^{\mathbf S^\perp}] \\ &= \mathbf{E} \left[ X_1 - \frac{\rho \sigma_{X_1}}{\sigma_{X_2}} X_2 \right]^2 \\ &= (1 - \rho)^2 \sigma^2_{X_1}. \end{split}$$

O zaman

$$X_1 | X_2 \sim N\left( X_1^{\mathbf S}, (1 - \rho)^2 \sigma^2_{X_1} \right).$$

İki tek değişkenli Gauss rastgele değişkeni , eğer şart koşullan ise ortaklaşa Gauss'tur. ve de Gauss'lu.X | Y Y | $X, Y$$X | Y$$Y|X$