Eğer X ve Y ilişkisiz ise, X ^ 2 ve Y ilişkisiz midir?

İki rastgele değişken ve ile ilişkisiz ise, ve ilişkisiz olduğunu da bilebilir miyiz ? Hipotezim evet. $X$ $Y$ $X^2$ $Y$

$X, Y$ ilişkisiz olan anlamına gelir veya $E[XY]=E[X]E[Y]$

E [X Y] = \int x y f_{X} (x) f_{Y} (y) d x d y = \int x f_{X} (x) d x \int y f_{Y} (y) d y = E [X] E [Y]

$E[XY]=\int xy f_X(x)f_Y(y)dxdy=\int xf_X(x)dx\int yf_Y(y)dy=E[X]E[Y]$

Bu aynı zamanda aşağıdaki anlamına mı geliyor?

E [X^{2} Y] = \int x^{2} y f_{X} (x) f_{Y} (y) d x d y = \int x^{2} f_{X} (x) d x \int y f_{Y} (y) d y = E [X^{2}] E [Y]

$E[X^2Y]=\int x^2y f_X(x)f_Y(y)dxdy=\int x^2f_X(x)dx\int yf_Y(y)dy=E[X^2]E[Y]$

random-variable independence

— Vegard Stikbakke
kaynak

Evet. Bu soru daha önce soruldu ve cevaplandı, ancak mobil cihazımdan belirli bir referans bulamıyorum.

— Dilip Sarwate

@DilipSarwate, kabul edilen cevabın zaten bir karşı örnek teşkil ettiği görülüyor.

— Vim

@DilipSarwate Yorumunuzda "Evet" yerine "Hayır" demelisiniz!

— amip diyor Reinstate Monica

@ amoeba Sorunun orijinal versiyonu cevabın gerçekten Evet olduğu bağımsızlık hakkında sorular sordu . O zamandan beri ilişkisiz rastgele değişkenler hakkında soru sormak için düzenlendi. Yorumumu şimdi değiştiremiyorum.

— Dilip Sarwate

Orijinal soru, yanlış bir bağımsızlık tanımı kullandığı için oldukça karışıktı. Şu anki soru, birbiriyle ilişkisiz olmaktan uygunsuz bir kesinti yaptığını iddia ettiği için hala

(

f_{X Y} (x, y) = f_{X} (x) f_{Y} (y)

$f_{XY}(x,y)=f_X(x)f_Y(y)$ ). @Vegardstikbakke'nin bağımsız ve ilişkisiz tanımlarını bazı örneklerle okuduğunu umuyorum.

— Meni Rosenfeld

Yanıtlar:

Hayır. Bir karşı örnek:

eşit şekilde , üzerine dağılmasına izin verin . $X$ $[-1, 1]$ $Y = X^2$

Sonra ve ayrıca ( tek işlevlidir), bu nedenle birbiriyle ilişkili değildir. $E[X]=0$ $E[XY]=E[X^3]=0$ $X^3$ $X,Y$

Fakat $E[X^2Y] = E[X^4] = E[{X^2}^2] > E[X^2]^2 = E[X^2]E[Y]$

Son eşitsizlik, Jensen eşitsizliğinden kaynaklanıyor. Ayrıca, aslında aşağıdaki yana sabit değildir. $E[{X^2}^2] - E[X^2]^2 = Var(X) > 0$ $X$

Muhakemenizdeki sorun ya da tam tersine bağlı olabileceğidir , bu eşitliğiniz geçersizdir. $f_X$ $y$

— Jakub Bartczuk
kaynak

Jensen eşitsizliği ile daha karmaşık hale getirmeye gerek yok; negatif olmayan rastgele bir değişkendir ve

wp 1 değildir , bu nedenle

(veya sadece

ve kolayca pozitifini görebilirsiniz).

X^{4}

$X^4$

0

$0$

E [X^{4}] > 0

$E[X^4] >0$

\int_{- 1}^{1} x^{4} d x

$\int_{-1}^1 x^4 dx$

— Batman

Ayrıca bir komplo eklemelisiniz. Benzer bir örnek düşünmüştüm (Y = | X | -1: +1) ama bunu görsel olarak sunacaktım.

— Anony-Mousse

@Batman

E [{X^{2}}^{2}] - E [X^{2}]^{2} > 0

$E[{X^2}^2] - E[X^2]^2 > 0$

— Jakub Bartczuk 10:17

@ Anony-Mousse Y.'yi kısıtlamaya gerek yok. Y = | X | gereksinimi karşılar.

— Loren Pechtel 11:17

LorenPechtel görselleştirme için. Çünkü IMHO bunun neden olabileceğini görmek daha iyi , sadece matematik sonucunun istenildiği gibi olmadığını.

— Anony-Mousse

Bile , sadece o mümkündür ve ilişkilidir, ancak onlar bile mükemmel olan, ilişkili olabilir : $\operatorname{Corr}(X,Y)=0$ $X^2$ $Y$ $\operatorname{Corr}(X^2,Y)=1$

> x <- c(-1,0,1); y <- c(1,0,1)
> cor(x,y)
[1] 0
> cor(x^2,y)
[1] 1

Veya : $\operatorname{Corr}(X^2,Y)=-1$

> x <- c(-1,0,1); y <- c(-1,0,-1)
> cor(x,y)
[1] 0
> cor(x^2,y)
[1] -1

Eğer okuyamaz R kodu , birinci örnek, iki rasgele değişkenler göz önüne alınarak eşdeğerdir ve öyle ki aa ortak dağılımı ile eşit ölçüde muhtemel olmaktır , ve . Mükemmel negatif korelasyonlu örnekte, , eşit olması muhtemeldir $X$ $Y$ $(X,Y)$ $(-1,1)$ $(0,0)$ $(1,1)$ $(X,Y)$ , veya . $(-1,-1)$ $(0,0)$ $(1,-1)$

Bununla birlikte, aynı zamanda gerçekleştirebilmesi ve bu tür , tüm uç mümkündür, böylece: $X$ $Y$ $\operatorname{Corr}(X^2,Y)=0$

> x <- c(-1,-1,0,1,1); y <- c(1,-1,0,1,-1)
> cor(x,y)
[1] 0
> cor(x^2,y)
[1] 0

— Gümüş Balık
kaynak

Muhakemenizdeki hata, hakkında şunu yazmanızdır : ise genel olarak $E[h(X,Y)]$

E [h (X, Y)] = \int h (x, y) f_{X} (x) f_{Y} (y) d x d y

$E[h(X,Y)]=\int h(x,y) f_X(x)f_Y(y)dxdy$

İki birbirine uyarsa

ise, yani,

birbirinden bağımsızdır. İlişkisiz olmak, bağımsız olmak için gerekli ancak yeterli bir şart değildir. Yani iki değişken ise

ardından, ilintisiz ama bağımlıdır

E [h (X, Y)] = \int h (x, y) f_{X Y} (x, y) d x d y .

$E[h(X,Y)]=\int h(x,y) f_{XY}(x,y)dxdy.$

f_{X Y} (x, y) = f_{X} (x) f_{Y} (y)

$f_{XY}(x,y)=f_X(x)f_Y(y)$

X

$X$

Y

$Y$

X

$X$

Y

$Y$

ilişkili olabilir.

f (X)

$f(X)$

g (Y)

$g(Y)$

— Luca Citi
kaynak