Rasgele bir değişkenin maksimal olma ihtimalini nasıl sınırlayabiliriz?

$\newcommand{\P}{\mathbb{P}}$ Diyelim ki değişken rasgele değişkenler var , , sonlu araçlar var ve varyans , , . Herhangi bir diğer tüm , daha büyük olma olasılığı üzerine dağıtımsız sınırlar arıyorum . $N$ $X_1$ $\ldots$ $X_n$ $\mu_1 \leq \ldots \leq \mu_N$ $\sigma_1^2$ $\ldots$ $\sigma_N^2$ $X_i \neq X_N$ $X_j$ $j \neq i$

Başka bir deyişle, basitlik için dağılımlarının $X_i$ sürekli olduğunu varsayarsak ( $\P(X_i = X_j) = 0$ ), sınırlarını arıyorum:

P (X i = max j X j) .

$\P( X_i = \max_j X_j ) \enspace.$ Eğer

N=2 $N=2$ , Chebyshev'in eşitsizliğini aşağıdakileri elde etmek için kullanabiliriz:

P (X 1 = max j X j) = P (X 1 > X 2) \leq σ 2 1 + σ 2 2 σ 2 1 + σ 2 2 + ( μ 1 - μ 2 ) 2 .

$\P(X_1 = \max_j X_j) = \P(X_1 > X_2) \leq \frac{\sigma_1^2 + \sigma_2^2}{\sigma_1^2 + \sigma_2^2 + (\mu_1 - \mu_2)^2} \enspace.$ Genel

için bazı basit (mutlaka sıkı değil) sınırlar bulmak isterdim

N $N$ , ancak genel

için sevindirici sonuçlar bulamadım

N $N$ .

Lütfen değişkenlerin tanımlandığı varsayılmadığını unutmayın. İlgili çalışmalara herhangi bir öneri veya referans bekliyoruz.

Güncelleme: , $\mu_j \geq \mu_i$ . Daha sonra ulaşmak için yukarıdaki sınırı kullanabiliriz:

P (X i = max j X j) \leq min j > i σ 2 i + σ 2 j σ 2 i + σ 2 j + ( μ j - μ i ) 2 \leq σ 2 i + σ 2 N σ 2 i + σ 2 N + ( μ N - μ i ) 2 .

$\P(X_i = \max_j X_j) \leq \min_{j > i} \frac{\sigma_i^2 + \sigma_j^2}{\sigma_i^2 + \sigma_j^2 + (\mu_j - \mu_i)^2} \leq \frac{\sigma_i^2 + \sigma_N^2}{\sigma_i^2 + \sigma_N^2 + (\mu_N - \mu_i)^2} \enspace.$ Bu şu

gelir:

(μ N - μ i) P (X i = max j X j) \leq (μ N - μ i) σ 2 i + σ 2 N σ 2 i + σ 2 N + ( μ N - μ i ) 2 \leq 1 2 σ 2 i + σ 2 N - - - - - - - \sqrt .

$( \mu_N - \mu_i ) \P( X_i = \max_j X_j ) \leq (\mu_N - \mu_i) \frac{\sigma_i^2 + \sigma_N^2}{\sigma_i^2 + \sigma_N^2 + (\mu_N - \mu_i)^2} \leq \frac{1}{2} \sqrt{ \sigma_i^2 + \sigma_N^2 } \enspace.$ Bu, şu

gelir:

\sum i = 1 N μ i P (X i = max j X j) \geq μ N - N 2 \sum i = 1 N - 1 (σ 2 i + σ 2 N) - - - - - - - - - - -  ⎷   .

$\sum_{i=1}^N \mu_i \P( X_i = \max_j X_j ) \geq \mu_N - \frac{N}{2} \sqrt{ \sum_{i=1}^{N-1} (\sigma_i^2 + \sigma_N^2) } \enspace.$ Şimdi bu sınırın,

doğrusal olarak bağlı olmayan bir şeye geliştirilip geliştirilemeyeceğini merak ediyorum

N $N$ . Örneğin, aşağıdakiler

\sum i = 1 N μ i P (X i = max j X j) \geq μ N - \sum i = 1 N σ 2 i - - - - -  ⎷   ?

$\sum_{i=1}^N \mu_i \P( X_i = \max_j X_j ) \geq \mu_N - \sqrt{ \sum_{i=1}^N \sigma_i^2 } \enspace?$ Ve değilse, bir karşı örnek ne olabilir?

probability bounds maximum

— MLS
kaynak

Size yerine daha küçük üst sınır veren indisini kullanırsanız, bu sınır daha sıkı olabilir . Bu değerin hem ortalamaya hem de varyansa bağlı olduğunu unutmayın.

j $j$

N $N$

@MichaelChernick: Bunun doğru olduğuna inanmıyorum. Mesela de üç üniform dağılımımız olduğunu varsayalım . O zaman yanılmıyorsam, , . Sana yazmak istedim bilmiyorum , ama yine de geçerli olmadığını daha sonra aynı örnek gösterir.

[0,1] $[0,1]$

P(X1<maxjXj)=2/3 $P( X_1 < \max_j X_j ) = 2/3$

P(X1<X2)=P(X1<X3)=1/2 $P(X_1 < X_2) = P(X_1 < X_3) = 1/2$

P(Xi>maxjXj) $P( X_i > \max_j X_j )$

— MLS

@Michael: Bu maalesef hala doğru değil. Sabit için olayları bağımsız değildir.

Aj={Xi>Xj} $A_j = \{X_i > X_j\}$

i $i$

— kardinal

@ cardinal: Diğer şeylerin yanı sıra, çok silahlı haydutlarla da ilgili. Önceki ödüllere göre bir kol seçerseniz, en iyi kolu olasılığınızın ne kadar büyük yukarıdaki gösterimde ) ve bir alt seçim için beklenen zararı -optimal kol?

P(XN=maxjXj) $P(X_N = \max_j X_j)$

— MLS

MathOverflow için Crossposted: mathoverflow.net/questions/99313

— kardinal

Yanıtlar:

Çok değişkenli Chebyshev'in eşitsizliğini kullanabilirsiniz.

İki değişkenli dava

Tek bir durum için, ve , 4 Kas 2016'daki yorumuyla aynı duruma geldim $X_1$ $X_2$

1) ise sonra $\mu_1 < \mu_2$ $P(X_1>X_2) \leq (\sigma_1^2 + \sigma_2^2)/(\mu_1-\mu_2)^2$

(ve türevinizi de merak ediyorum)

Denklemin türetilmesi 1

yeni değişkenini kullanarak $X_1-X_2$
sıfırda ortalamayı alacak şekilde dönüştürmek
mutlak değer alarak
Chebyshev eşitsizliğini uygulamak

P (X 1 > X 2) = P (X 1 - X 2 > 0) = P (X 1 - X 2 - (μ 1 - μ 2) > - (μ 1 - μ 2)) \leq P (| X 1 - X 2 - (μ 1 - μ 2) | > μ 2 - μ 1) \leq σ 2 ( X 1 - X 2 - ( μ 1 - μ 2 ) ) ( μ 2 - μ 1 ) 2 = σ 2 X 1 + σ 2 X 2 ( μ 2 - μ 1 ) 2

$\begin{array} \\ P \left( X_1 > X_2 \right) &= P \left( X_1 - X_2 > 0 \right)\\ &= P\left( X_1 - X_2 - (\mu_1 - \mu_2) > - (\mu_1 - \mu_2)\right) \\ &\leq P\left( \vert X_1 - X_2 - (\mu_1 - \mu_2) \vert > \mu_2 - \mu_1\right) \\ &\leq \frac{\sigma_{(X_1-X_2- (\mu_1 - \mu_2))}^2}{(\mu_2 - \mu_1)^2} = \frac{\sigma_{X_1}^2+\sigma_{X_2}^2}{(\mu_2 - \mu_1)^2}\\ \end{array}$

Çok Değişkenli Dava

Denklem (1) 'deki eşitsizlik, her için çoklu dönüştürülmüş değişkenlere uygulanarak çok değişkenli bir duruma dönüştürülebilir bunların ilişkili olduğunu not edin). $(X_n-X_i)$ $i<n$

Bu soruna bir çözüm (çok değişkenli ve ilişkili), I. Olkin ve JW Pratt. Matematiksel İstatistikler Annals 'Çok Değişkenli Bir Tchebycheff Eşitsizliği', cilt 29 sayfa 226-234 http://projecteuclid.org/euclid.aoms/1177706720

Not teoremi 2.3

$P(\vert y_i \vert \geq k_i \sigma_i \text{ for some } i) = P(\vert x_i \vert \geq 1 \text{ for some } i) \leq \frac{(\sqrt{u} + \sqrt{(pt-u)(p-1)})^2}{p^2}$

ki burada değişken sayısı, ve . $p$ $t=\sum k_i^{-2}$ $u=\sum \rho_{ij}/(k_ik_j)$

Teorem 3.6 daha sıkı bir sınır sağlar, ancak hesaplanması daha az kolaydır.

Düzenle

Çok değişkenli Cantelli'nin eşitsizliği kullanılarak daha net bir sınır bulunabilir . Yani eşitsizlik daha önce kullanılmış ve sınır ile sağladığını türüdür hangi daha keskin . $(\sigma_1^2 + \sigma_2^2)/(\sigma_1^2 + \sigma_2^2 + (\mu_1-\mu_2)^2)$ $(\sigma_1^2 + \sigma_2^2)/(\mu_1-\mu_2)^2$

Makalenin tamamını incelemek için zamanım olmadı, ama yine de, burada bir çözüm bulabilirsiniz:

AW Marshall ve I. Olkin Matematiksel İstatistik Annals dergisinde 'Chebyshev Tipinin Tek Taraflı Eşitsizliği' cildi 31 s. 488-491 https://projecteuclid.org/euclid.aoms/1177705913

(daha sonra not edin: Bu eşitsizlik eşit korelasyonlar içindir ve yeterli yardım için değildir. Fakat yine de probleminiz, en keskin sınırı bulmak için, daha genel, çok değişkenli Cantelli eşitsizliğine eşittir. Çözüm olmasa şaşırırdım)

— Sextus Empiricus
kaynak

Çok değişkenli Chebyshev Eşitsizliği hakkında net bir ifade verebilir misiniz?

— whuber

Tüm teoremi sağlayan çözümü değiştirdim.

— Sextus Empiricus

-1

Size yardımcı olabilecek ve ihtiyaçlarınız için ayarlamaya çalışacak bir teorem buldum. Varsayalım ki:

e x p (t \cdot E (m a x 1 \leq i \leq n X i))

$exp(t \cdot \mathbf{E}(\underset{1 \leq i \leq n}{max}X_{i}))$

Sonra Jensen eşitsizliğine göre (exp (.) Dışbükey bir işlevdir), şunu elde ederiz:

e x p (t \cdot E (m a x 1 \leq i \leq n X i)) \leq E (e x p (t \cdot m a x 1 \leq i \leq n X i)) = E (m a x 1 \leq i \leq n e x p (t \cdot X i)) \leq \sum i = 1 n E (e x p (t \cdot X i)

$exp(t \cdot \mathbf{E}(\underset{1 \leq i \leq n}{max}X_{i})) \leq \mathbf{E}(exp( t \cdot \underset{1 \leq i \leq n}{max}X_{i})) = \mathbf{E}( \underset{1 \leq i \leq n}{max} \text{ }exp( t \cdot X_{i})) \leq \sum_{i=1}^{n} \mathbf{E} (exp(t \cdot X_{i})$

Şimdi için, rasgele değişkeninizin moment oluşturma fonksiyonunu ne olursa olsun (çünkü sadece mgf'nin tanımıdır). Sonra, bunu yaptıktan sonra (ve potansiyel olarak) teriminizi basitleştirerek), bu terimi alıp kütüğü alın ve t ile bölün, böylece Ardından, isteğe bağlı bir değere sahip t'yi seçebilirsiniz (en iyisi, sınırın sıkı olması için terimin küçük olması için). $exp(t \cdot X_{i}$ $X_{i}$ $\mathbf{E}(\underset{1 \leq i \leq n}{max}X_{i})$

Ardından, maksimum rn nin üzerinde beklenen değer hakkında bir ifadeniz var. Şimdi, bu rv'lerin maksimumunun bu beklenen değerden sapma olasılığı ile ilgili bir ifade almak için, sadece rv'nizin negatif olmadığını varsayarak (rv'nizin negatif olmadığını varsayarak) eşitsizliğini (kendi rv'nizin negatif olduğunu varsayarak) kullanabilirsiniz.

— Fabian Falck
kaynak