Neden ln [E (x)]> E [ln (x)]?

Bir finans kursundaki lognormal dağılımla ilgileniyoruz ve ders kitabım bunun doğru olduğunu söylüyor, matematik geçmişim çok güçlü olmadığı için sezgisel bulduğum ama sezgiyi istiyorum. Biri bana bunun neden böyle olduğunu gösterebilir mi?

Hatırlayın$e^x\geq 1+x$

$E\left[e^{Y}\right]=e^{ E(Y)} E\left[e^{Y- E(Y)}\right]\geq e^{E(Y)} E\left[1+{Y- E(Y)}\right] = e^{E(Y)}$

Böylece$e^{E(Y)}\leq E\left[e^{Y}\right]$

Şimdi :$Y=\ln X$

$e^{E(\ln X)}\leq E\left[e^{\ln X}\right]=E(X)$

şimdi her iki tarafın günlüklerini al

$E[\ln (X)]\leq\ln[E(X)]$

Alternatif:

$\ln X = \ln X - \ln \mu+\ln\mu \qquad$ (burada )$\mu=E(X)$

$\qquad= \ln(X/\mu)+\ln \mu$

$\qquad= \ln[ \frac{X-\mu}{\mu} + 1]+\ln \mu$

$\qquad \leq \frac{X-\mu}{\mu} + \ln \mu\qquad$ ( beri )$\ln(t+1)\leq t$

Şimdi her iki tarafın beklentilerini de göz önünde bulundurun:

$E[\ln(X)] \leq \ln\mu$

Bir örnek (Jensen eşitsizliğine bağlantıyı gösteren):

( Burada X ve Y'nin rolleri arsa eksenleriyle eşleşecek şekilde değiştirilir; daha iyi planlama yukarıdaki rollerini değiştirirdi, böylece arsa cebirle daha doğrudan eşleşirdi. )

Düz renkli çizgiler her eksendeki araçları temsil eder.

Gördüğümüz gibi , ortadaki (ve " " uzaktaki " doğru" eğildiğinden ), (turuncu yatay çizgi) ortalaması eğriye çarpmadan önce biraz daha ilerler (küçük boşluk (mavi ile işaretlenir) ) log (ortalama (y)) ve ortalama (log (y)) arasında görüyoruz).$X$$Y$$Y$