Beklenti neden aritmetik ortalama olarak aynı?

47

Bugün Matematiksel Beklenti adlı yeni bir konu ile karşılaştım. Takip ettiğim kitapta beklenti, herhangi bir olasılık dağılımından gelen rastgele değişkenin aritmetik ortalamasıdır. Ancak, beklentiyi, bazı verilerin ürününün toplamı ve bunun olasılığı olarak tanımlar. Bu ikisi (ortalama ve beklenti) nasıl aynı olabilir? Olasılık sürelerinin toplamı verilerin tüm dağılımın ortalaması nasıl olabilir?

expected-value

— pranphy
kaynak

51

Gayri resmi olarak, bir olasılık dağılımı rastgele bir değişkenin sonuçlarının göreli sıklığını tanımlar - beklenen değer, bu sonuçların ağırlıklı bir ortalaması olarak düşünülebilir (göreceli frekans tarafından ağırlıklandırılmış). Benzer şekilde, beklenen değer, oluşma olasılıklarıyla tam orantılı olarak üretilen bir dizi sayının aritmetik ortalaması olarak düşünülebilir (sürekli rastgele değişken olması durumunda, bu, spesifik değerler olasılık sahip olduğundan tam olarak doğru değildir ). $0$

Beklenen değer ile aritmetik ortalama arasındaki bağlantı en çok beklenen değerin olduğu kesikli bir rasgele değişkenle açıktır.

E (X) = \underset{S}{Σ} x P (X = x)

$E(X) = \sum_{S} x P(X=x)$

burada örnek alandır. Örnek olarak, şöyle bir ayrık rastgele değişken sahip olduğunuzu varsayalım : $S$ $X$

X = {\begin{cases} 1 & olasılığı olan 1 / 8 \\ 2 & olasılığı olan 3 / 8 \\ 3 & olasılığı olan 1 / 2 \end{cases}

$X = \begin{cases} 1 & \mbox{with probability } 1/8 \\ 2 & \mbox{with probability } 3/8 \\ 3 & \mbox{with probability } 1/2 \end{cases}$

Kendisine, olasılık yoğunluk fonksiyonu , ve . Yukarıdaki formülü kullanarak, beklenen değer $P(X=1)=1/8$ $P(X=2)=3/8$ $P(X=3)=1/2$

E (X) = 1 \cdot (1 / 8) + 2 \cdot (3 / 8) + 3 \cdot (1 / 2) = 2,375

$E(X) = 1\cdot (1/8) + 2 \cdot (3/8) + 3 \cdot (1/2) = 2.375$

Şimdi, olasılık kütle işleviyle tam olarak orantılı frekanslarla üretilen sayıları düşünün - örneğin, sayı kümelerini - iki s, altı s ve sekiz s. Şimdi bu sayıların aritmetik ortalamasını alın: $\{1,1,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3\}$ $1$ $2$ $3$

\frac{1 + 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3}{16} = 2,375

$\frac{1+1+2+2+2+2+2+2+3+3+3+3+3+3+3+3}{16} = 2.375$

ve beklenen değere tam olarak eşit olduğunu görebilirsiniz.

— Makro
kaynak

Bu daha basit bir {1,2,2,2,3,3,3,3} setini kullanarak daha iyi olmaz mıydı? Bu kümenin aritmetik ortalamasını gösteren ifade, bu değişkenin beklenti değerini gösteren ifade ile aynıdır (eğer ağırlıklı ürünleri basit toplamlara dönüştürürseniz).

— Dancrumb

Re: "Bu kümenin aritmetik ortalamasını gösteren ifade, bu değişkenin beklenti değerini gösteren ifadeyle aynıdır (eğer ağırlıklı ürünleri basit toplamlara dönüştürürseniz)" - Evet @Dancrumb, bütün mesele buydu :)

— Makro

12

Beklenti, olasılık dağılımı değil rastgele bir değişkenin ortalama değeri veya ortalamasıdır. Kesikli rastgele değişkenler için olduğu gibi, rastgele değişkenin aldığı değerlerin ağırlıklı ortalaması, ağırlıklandırmanın gerçekleştiği değerlerin bireysel değerlerin görülme sıklığına göredir. Kesinlikle sürekli rastgele bir değişken için, olasılık yoğunluğu ile çarpılan x değerlerinin integralidir. Gözlenen veriler, bağımsız, aynı şekilde dağıtılmış rastgele değişkenler koleksiyonunun değerleri olarak görülebilir. Örnek ortalaması (veya örnek beklentisi), verilerin gözlemlenen verilerin deneysel dağılımına ilişkin beklentisi olarak tanımlanmaktadır. Bu onu basitçe verinin aritmetik ortalaması yapar.

— Michael Chernick
kaynak

2

+1. İyi yakalama: "Beklenti, olasılık dağılımı değil rastgele bir değişkenin ortalama değeri veya ortalamasıdır". Bu ince terminolojinin yanlış kullanıldığını fark etmedim.

— Makro

4

Tanımları yakından takip edelim:

Ortalama, koleksiyondaki sayı sayısına bölünen sayı koleksiyonunun toplamı olarak tanımlanır. Hesaplama "i in 1 ila n, (x alt i'nin toplamı) bölü n" olacaktır.

Beklenen değer (EV), temsil ettiği deneyin tekrarlarının uzun vadeli ortalama değeridir. Hesaplama, "i'den 1'e n için, x alt olayının toplamı, i olasılıkını katlar (ve tüm p alt toplamı, i = 1 olmalıdır)" olacaktır.

Adil bir kalıp durumunda, ortalamanın ve EV'nin aynı olduğunu görmek kolaydır. Ortalama - (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) / 6 - 3.5 ve EV şöyle olacaktır:

prob xp * x

0.167 1 0.17

0.167 2 0.33

0.167 3 0.50

0.167 4 0.67

0.167 5 0.83

0.167 6 1.00

EV = toplam (p * x) = 3,50

Ama ya ölüm "adil" değilse? Haksız bir kalıp yapmanın kolay bir yolu, köşede 4, 5 ve 6 yüzlerin kesişiminde bir delik açmak olacaktır. Ayrıca şimdi yeni ve geliştirilmiş çarpık kalıbımıza bir 4, 5 veya 6 haddeleme olasılığının şimdi 0,2 ve 1, 2 veya 3 haddeleme olasılığının şimdi 0,13 olduğunu söyleyelim. 6 yüz ile aynı kalıp, her yüzünde bir sayı ve bu kalıp için ortalama hala 3.5'tir. Bununla birlikte, bu haddelemeyi birçok kez yendikten sonra, EV'lerimiz şimdi 3.8'dir, çünkü olaylar için olasılıklar artık tüm olaylar için aynı değildir.

prob xp * x

0.133 1 0.13

0.133 2 0.27

0.133 3 0.40

0.200 4 0.80

0.200 5 1.00

0.200 6 1.20

EV = toplam (p * x) = 3.80

Yine, dikkatli olalım ve bir şeyin her zaman diğeriyle aynı olacağına karar vermeden önce tanımlamaya geri dönelim. Normal bir kalıbın nasıl kurulduğuna bir göz atın ve diğer 7 köşede bir delik açın ve EV'lerin nasıl değiştiğini görün - eğlenin.

Bob_T

— Bob_T
kaynak

-1

"Ortalama" ve "beklenen değer" arasındaki tek fark, ortalamanın çoğunlukla frekans dağılımı için kullanılması ve beklentinin olasılık dağılımı için kullanılmasıdır. Frekans dağılımında örneklem alanı değişkenlerden ve oluşma sıklıklarından oluşur. Olasılık dağılımında örneklem alanı rastgele değişkenlerden ve olasılıklarından oluşur. Artık, örnek uzaydaki tüm değişkenlerin toplam olasılığının = 1 olması gerektiğini biliyoruz. Burada, temel fark yatıyor. Beklenti için payda terimi her zaman = 1'dir. (yani Toplama f (xi) = 1) Bununla birlikte, frekansın toplanması ile ilgili herhangi bir kısıtlama yoktur (temelde toplam giriş sayısıdır).

— Shruti
kaynak