Biz sonucunu edebilir olduğu bağımsız?

Eh, örneğin göremiyorum https://en.wikipedia.org/wiki/Subindependence ilginç kar¸ıt için. Ama asıl soru şudur: Bağımsızlığı izleyecek şekilde durumu güçlendirmenin bir yolu var mı? Örneğin, bazı vardır grubu fonksiyonları , öyle ki eğer tüm daha sonra bağımsız aşağıdaki? Ve böyle bir işlev kümesi ne kadar büyük olmalı, sonsuz? $g_1, \dotsc, g_n$ $\E g_i(X) g_j(Y) =\E g_i(X) \E g_j(Y)$ $i,j$

Ayrıca, bu soruyu ele alan iyi bir referans var mı?

— kjetil b halvorsen
kaynak

bununla hiç şansın oldu mu? Herhangi bir RV çifti için çalışan sonlu bir dizi işlev olup olmadığını görmek isterim ve özellikle gerekçe CDF çarpanlarına ayırma dışında bir şeydir

— jld 21:17

Ben içine bakacağım! Genelde sonlu bir kümenin olduğundan şüpheliyim, ancak doğrusal bir işlev kümesinin temeli olan herhangi bir kümenin yapması gerekir (örneğin, her ikisi de sonra bir grubu lineer bağımsız polinomlar (ya da diğer) işlevleri yapmak gerekir.

X, Y

$X, Y$

0, 1, 2, \dots, n

$0,1,2,\dotsc,n$

n + 1

$n+1$

— Halvorsen Kjetil b

Let bir olasılık uzayı olsun. Tanım iki rastgele değişken olarak bağımsız ise kendi -algebras ve bağımsız, örneğin, Elimizdeki . $(\Omega, \mathscr F, P)$ $X, Y :\Omega \to \mathbb R$ $\sigma$ $S_X := \sigma(X)$ $S_Y := \sigma(Y)$ $\forall A \in S_X, B \in S_Y$ $P(A \cap B) = P(A)P(B)$

Bırak ve ( yeterli olduğuna işaret ettiği için @grand_chat'a teşekkürler ). Sonra ve $g_a(x) = I(x \leq a)$ $G = \{g_a : a \in \mathbb Q\}$ $\mathbb Q$

E (g_{a} (X) g_{b} (Y)) = E (I (X \leq a) I (Y \leq b)) = E (I (X \leq a, Y \leq b)) = P (X \leq a \cap Y \leq b)

$E\left(g_a(X)g_b(Y)\right) = E(I(X \leq a)I(Y \leq b)) = E(I(X \leq a, Y \leq b)) = P(X \leq a \cap Y \leq b)$

E (g_{a} (X)) E (g_{b} (Y)) = P (X \leq a) P (Y \leq b) .

$E(g_a(X))E(g_b(Y)) = P(X \leq a)P(Y \leq b).$

Biz varsayarsak o sonra hitap edebilir teoremi göstermek için bir deyişle . $\forall a, b \in \mathbb Q$

P (X \leq a \cap Y \leq b) = P (X \leq a) P (Y \leq b)

$P(X \leq a \cap Y \leq b) = P(X \leq a)P(Y \leq b)$

π - λ

$\pi-\lambda$

P (A \cap B) = P (A) P (B) \forall A \in S_{X}, B \in S_{Y}

$P(A \cap B) = P(A)P(B) \hspace{5mm} \forall A \in S_X, B \in S_Y$

X ⊥ Y

$X \perp Y$

Dolayısıyla, bir hata yapmadıkça, en azından bu tür fonksiyonların sayılabilir bir koleksiyonuna sahibiz ve bu, ortak bir olasılık alanı üzerinde tanımlanan herhangi bir rastgele değişken çifti için geçerlidir.

— JLD
kaynak

Aslında ne gösterdin? Sayılamayan bir işlevler koleksiyonu tanımlamış olsanız da, bunların hepsine ihtiyaç duyulduğunu nerede gösterdiniz? Böyle bir miktar fonksiyonun,

X

$X$ ve

Y

$Y$ her biri örneğin sonlu olası değerler kümesine sahiptir.

— whuber

@whuber, böyle bir işlev koleksiyonu olup olmadığı sorusunu cevaplamaya çalışıyordum. Daha ilginç yönünün (hala üzerinde çalışıyorum) minimal bir set bulmak olduğunu kabul ediyorum

— jld

Azaltabilirsiniz

G

$G$ mantıklı düşünülerek sayılabilir bir sete

a

$a$ .

— grand_chat

@grand_chat harika bir nokta, güncellendi

— jld