Tekdüze toplam dağılımına normal yaklaşımda hata

Normal bir dağılımı tahmin etmek için saf bir yöntem , üzerine eşit olarak dağıtılmış belki $100$ IID rastgele değişkeni bir araya getirmek , sonra Merkezi Limit Teoremine dayanarak yeniden girmek ve yeniden ölçeklendirmektir. ( Yan not : Box-Muller dönüşümü gibi daha doğru yöntemler vardır .) IID rasgele değişkenlerin toplamı, tekdüze toplam dağılımı veya Irwin-Hall dağılımı olarak bilinir . $[0,1]$ $U(0,1)$

Normal dağılım ile eşit toplam dağılımına yaklaşmadaki hata ne kadar büyük?

Bu tür bir soru IID rastgele değişkenlerinin toplamına yaklaşmak için ortaya çıktığında, insanlar (ben dahil) üçüncü anın var olduğu göz önüne alındığında Merkezi Limit Teoreminin etkili bir versiyonu olan Berry-Esseen Teoremini getirir :

| F_{n} (x) - Φ (x) | \leq \frac{C ρ}{σ^{3} \sqrt{n}}

$|F_n(x) - \Phi(x)| \le \frac{C \rho}{\sigma^3 \sqrt n}$

burada $F_n$ , $n$ IID rasgele değişkenlerinin yeniden ölçeklenmiş toplamı için kümülatif dağılım fonksiyonudur , $\rho$ mutlak üçüncü merkezi moment $E|(X-EX)^3|$ , $\sigma$ standart sapma ve $C$ olarak kabul edilebilir bir mutlak sabittir $1$ ya da $1/2$ .

Bu tatmin edici değil. Bana öyle geliyor ki, Berry-Esseen tahmininin simetrik binom dağılımı için en büyük hatası olan ayrık olan binom dağılımlarında keskinliğe en yakın olduğu görülüyor $0$ . En büyük hata en büyük sıçramayla gelir. Ancak, muntazam toplam dağılımında sıçrama yoktur.

Sayısal testler hatası daha hızlı çeker düşündürmektedir $c/\sqrt n$ .

Kullanma $C=1/2$ , Berry-Esseen tahminidir

| F_{n} (x) - Φ (x) | \leq \frac{\frac{1}{2} \frac{1}{32}}{\frac{1}{{\sqrt{12}}^{3}} \sqrt{n}} \approx \frac{0.650}{\sqrt{n}}

$|F_n(x) - \Phi(x)| \le \frac{\frac12 \frac{1}{32}}{\frac{1}{\sqrt{12}^3} \sqrt n} \approx \frac{0.650}{\sqrt n}$

ki bu için sırasıyla yaklaşık , ve . Gerçek maksimum fark ile ilgili olduğu görülmektedir , ve düşmeye çok daha küçüktür, sırasıyla, ve görünen yerine $n=10,20,40$ $0.205$ $0.145$ $0.103$ $n=10, 20, 40$ $0.00281$ $0.00139$ $0.000692$ $c/n$ . $c/\sqrt n$

— Douglas Zare
kaynak

Bir Edgeworth genişlemesinde toplamın dağılımını genişletirseniz ,

nin

olarak

( tekdüze dağılım simetriktir), bu nedenle

sağa gelir. Çünkü

F_{n} (x) = Φ (x) + n^{- 1} g (x) + o (n^{- 1})

$F_n(x)=\Phi(x)+n^{-1}g(x)+o(n^{-1})$

x

$x$

n \to \infty

$n\rightarrow\infty$

c / n

$c/n$

o (n^{- 1})

$o(n^{-1})$ terim, bu size bir sınır vermez ...

— MånsT

Teşekkürler, diğer dağıtımlar için de

modelini açıklıyor gibi görünüyor .

c / n

$c/n$

— Douglas Zare

Let iid olmak rastgele değişkenler ve normalize toplamı dikkate $U_1, U_2,\dots$ $\mathcal U(-b,b)$ Ve ilgili norm

S_{n} = \frac{\sqrt{3} Σ_{ben = 1}^{n} U_{ben}}{b \sqrt{n}},

$S_n = \frac{\sqrt{3} \sum_{i=1}^n U_i}{b \sqrt{n}} \>,$

sup

$\sup$

Burada

dağılımı

δ_{n} = \underset{x \in R,}{yudum} | F_{n} (x) - Φ (x) |,

$\delta_n = \sup_{x\in\mathbb R} |F_n(x) - \Phi(x)| \>,$

F_{n}

$F_n$

S_{n}

$S_n$

Lemması 1 ( Uspensky ) üzerine bağlanmış aşağıdaki tutar. $\delta_n$

δ_{n} < \frac{1}{7.5 π n} + \frac{1}{π} {(\frac{2}{π})}^{n} + \frac{12}{π^{3} n} \exp (- π^{2} n / 24) .

$\delta_n < \frac{1}{7.5 \pi n} + \frac{1}{\pi}\left(\frac{2}{\pi}\right)^n + \frac{12}{\pi^3 n} \exp(-\pi^2 n / 24) \>.$

Kanıt . Bkz. JV Uspensky (1937), Matematiksel olasılığa giriş , New York: McGraw-Hill, s. 305.

Bu daha sonra R. Sherman tarafından aşağıdakilere geliştirildi.

Lemma 2 ( Sherman ): Uspensky bağlı ambarlarda aşağıdaki iyileştirme.

δ_{n} < \frac{1}{7.5 π n} - (\frac{π}{180} + \frac{1}{7.5 π n}) e^{- π^{2} n / 24} + \frac{1}{(n + 1) π} {(\frac{2}{π})}^{n} + \frac{12}{π^{3} n} e^{- π^{2} n / 24} .

$\delta_n < \frac{1}{7.5 \pi n} - \left(\frac{\pi}{180}+\frac{1}{7.5\pi n}\right) e^{-\pi^2 n / 24} + \frac{1}{(n+1)\pi}\left(\frac{2}{\pi}\right)^n + \frac{12}{\pi^3 n} e^{-\pi^2 n / 24} \>.$

İspat : Bkz. R. Sherman, N rasgele değişken toplamına normal yaklaşım hatası , Biometrika , cilt. 58, hayır. 2, 396-398.

$(\sin x) / x$

— kardinal
kaynak

N = n

$N=n$

@Prostinator: İyi yakaladın.

— kardinal

2

$2$