Her 10 ve 15 dakikada bir çalışan iki otobüsün ilki için beklenen bekleme süresi değeri

19

Bir röportaj sorusuyla karşılaştım:

Her 10 dakikada bir gelen kırmızı bir tren var. Her 15 dakikada bir mavi bir tren var. Her ikisi de rastgele bir zamandan başlar, böylece herhangi bir programınız yoktur. İstasyona rastgele bir saatte varır ve ilk gelen trene binerseniz, beklenen bekleme süresi nedir?

probability random-variable expected-value

— Shengjie Zhang
kaynak

3

Trenler zamanında mı geliyor, ancak eşit olarak dağılmış bilinmeyen fazlarla mı, yoksa 10mins ve 15mins araçlarıyla bir poisson süreci izliyorlar mı?

— Tilefish Poele

1

Birincisi, poisson değil.

— Shengjie Zhang

7

@Tilefish, herkesin dikkat etmesi gereken önemli bir yorum yapar. Kesin bir cevap yok. "Rastgele bir zamandan başla" nın ne anlama gelebileceğini varsaymalısınız. (Eşzamanlı olarak başladıkları veya farklı bilinmeyen zamanlarda başladıkları anlamına mı geliyor? "Bilinmeyen" e, kesin bir bilinen dağılımla rastgele bir değişken olarak davranmayı haklı kılan nedir?) Faz farklarının bir fonksiyonu olarak (sadece modulo 5 dakika önemlidir), cevap değişebilir

15 / 4

$15/4$ kadar

25 / 6

$25/6$ . Faz farkının bir dağılımı doğuracak

35 / 9

$35/9$ .

— whuber

@whuber OP'nin yorumunu iki otobüs rastgele iki farklı zamanda başlamış gibi yorumlamış gibiydi. Aynı rastgele zamanda başlayacakları alışılmadık bir çekim gibi görünüyor

— Aksakal

1

@Aksakal. Herkes değil: Bu konudaki en az bir cevap vermiyorum ve bu yüzden farklı sayısal cevaplar görüyoruz. Dahası, neredeyse hiç kimse bir cevap almak için sorunun böyle bir yorumunu yapmak zorunda olduklarını kabul etmemektedir.

— whuber

15

Soruna yaklaşmanın bir yolu, hayatta kalma işleviyle başlamaktır. En az dakika beklemek için hem kırmızı hem de mavi tren için en az dakika beklemeniz gerekir . Böylece genel sağkalım fonksiyonu sadece bireysel sağkalım fonksiyonlarının ürünüdür: $t$ $t$

S (t) = (1 - \frac{t}{10}) (1 - \frac{t}{15})

$S(t) = \left( 1 - \frac{t}{10} \right) \left(1-\frac{t}{15} \right)$

hangi için , sen en azından beklemek gerekecek olasılığıdır sonraki tren için dakika. Bu, OP'nin alacağı doğru varsayımların her bir trenin diğerinden ve seyahat eden kişinin varış saatinden bağımsız sabit bir zaman çizelgesinde olduğu ve iki trenin aşamalarının eşit olarak dağıtıldığı yorumunda OP'nin açıklamasını dikkate alır. , $0 \le t \le 10$ $t$

Sonra pdf şu şekilde elde edilir:

p (t) = (1 - S (t))^{'} = \frac{1}{10} (1 - \frac{t}{15}) + \frac{1}{15} (1 - \frac{t}{10})

$p(t) = (1-S(t))' = \frac{1}{10} \left( 1- \frac{t}{15} \right) + \frac{1}{15} \left(1-\frac{t}{10} \right)$

Ve beklenen değer normal şekilde elde edilir:

, $E[t] = \int_0^{10} t p(t) dt = \int_0^{10} \frac{t}{10} \left( 1- \frac{t}{15} \right) + \frac{t}{15} \left(1-\frac{t}{10} \right) dt = \int_0^{10} \left( \frac{t}{6} - \frac{t^2}{75} \right) dt$

hangi dışarı çalışır dakika. $\frac{35}{9}$

— Dave
kaynak

Dave, p (t) = (1- s (t)) 'nasıl olduğunu açıklayabilir misin?

— Chef1075

Sizin için S (t) = 1-F (t), p (t) 'nin sadece f (t) = F (t)' olduğunu açıklayabilirim.

— Deep North

4

Hayatta kalma işlevi fikri harika. Ama beklentiyi elde etmek için hayatta kalma işlevini doğrudan entegre edebildiğinizde neden PDF'yi türetmelisiniz? Aslında, bu cevabın üçte ikisi özel bir örnekle analizin temel teoremini göstermektedir.

elde etmek için ürünü kullanmayı haklı kılan nedir? Bunun arkasında gizli bir varsayım var.

S

$S$

— whuber

2

@whuber Bu yaklaşımı tercih ediyorum, PDF'yi hayatta kalma işlevinden türetiyorum, çünkü rastgele değişkenin etki alanının 0'da başlamadığı durumları doğru bir şekilde işliyor

— Dave

2

(1) Alan adınız olumlu. (2) Formül kolayca genelleştirilir. .

— whuber

9

Cevap parantez içindeki parçaları almak: Yani, kısım:

E [t] = \int_{x} \int_{y} min (x, y) \frac{1}{10} \frac{1}{15} d x d y = \int_{x} (\int_{y < x} y d y + \int_{y > x} x d y) \frac{1}{10} \frac{1}{15} d x

$E[t]=\int_x\int_y \min(x,y)\frac 1 {10} \frac 1 {15}dx dy=\int_x\left(\int_{y<x}ydy+\int_{y>x}xdy\right)\frac 1 {10} \frac 1 {15}dx$

\int_{y < x} y d y = y^{2} / 2 |_{0}^{x} = x^{2} / 2

$\int_{y<x}ydy=y^2/2|_0^x=x^2/2$

\int_{y > x} x d y = x y |_{x}^{15} = 15 x - x^{2}

$\int_{y>x}xdy=xy|_x^{15}=15x-x^2$

Son olarak,

(.) = (\int_{y < x} y d y + \int_{y > x} x d y) = 15 x - x^{2} / 2

$(.)=\left(\int_{y<x}ydy+\int_{y>x}xdy\right)=15x-x^2/2$

E [t] = \int_{x} (15 x - x^{2} / 2) \frac{1}{10} \frac{1}{15} d x = (15 x^{2} / 2 - x^{3} / 6) |_{0}^{10} \frac{1}{10} \frac{1}{15} = (1500 / 2 - 1000 / 6) \frac{1}{10} \frac{1}{15} = 5 - 10 / 9 \approx 3.89

$E[t]=\int_x (15x-x^2/2)\frac 1 {10} \frac 1 {15}dx= (15x^2/2-x^3/6)|_0^{10}\frac 1 {10} \frac 1 {15}\\= (1500/2-1000/6)\frac 1 {10} \frac 1 {15}=5-10/9\approx 3.89$

Simüle etmek için MATLAB kodu şöyledir:

nsim = 10000000;
red= rand(nsim,1)*10;
blue= rand(nsim,1)*15;
nextbus = min([red,blue],[],2);
mean(nextbus)

— Aksakal
kaynak

1

Trenlerin ilk başlangıç noktası hakkında yanlış varsayımlar yapıyorsunuz. Yani mantığınızı kullanarak her 2 saatte bir kaç tane kırmızı ve mavi tren geliyor? 2 saat içinde toplam kaç tren var? vs

— Tilefish Poele

1

Trenler 0 ve 60. dakikalara varamaz mı?

— Tilefish Poele

1

aynı anda başlarlarsa söylemeye çalıştığım şey ne olacak. Her ikisi de 0. dakikada başlarlarsa kaç tren seferi var?

— Tilefish Poele

1

Simülasyon, sorun ifadesini tam olarak taklit etmez. Özellikle, hangi "rastgele zaman" modellemek gelmez sen otogarda görünür. Bu itibarla, sorunla ilgili olarak birkaç dengesiz varsayımı içermektedir.

— whuber

2

@whuber, istasyona varışımla ilgili otobüslerin fazını taklit ediyor

— Aksakal

4

$x$ $\frac{10-x}{10} \times \frac{15-x}{15}$ $0 \le x \le 10$ $\frac{35}9\approx 3.889$

$\frac{1}{15}+\frac{1}{10}=\frac{1}{6}$ $6$

— Henry
kaynak

3

@Destek negatif olmayan gerçek sayılarsa sorun yok.

— Neil G

3

@dave Bazı gerekçeleri eksik, ancak trenlerin geldiğinin tekdüze bir şekilde dağıtıldığını varsaydığınız sürece doğru çözüm (yani, bilinen sabit trenlerarası süreleri olan, ancak bilinmeyen ofseti olan sabit bir program). Herhangi bir sayıda trenle çalışır. Bunun nedeni, negatif olmayan rasgele bir değişkenin beklenen değerinin, hayatta kalma fonksiyonunun integrali olmasıdır.

— Neil G

1

10

$10$

\frac{10 - x}{10}

$\frac{10-x}{10}$

0 \leq x \leq 10

$0 \le x \le 10$

5

$5$

λ = \frac{1}{10}

$\lambda=\frac1{10}$

e^{- λ x}

$e^{-\lambda x}$

0 \leq x < \infty

$0 \le x \lt \infty$

\frac{1}{λ} = 10

$\frac1\lambda=10$

1

0

$0$

3

+1 Şu anda, bu varsayımları konusunda açık olan benzersiz cevap budur. Tüm bunları başkalarının kabul vermeden bazı kritik varsayımlar yapmak.

— whuber

2

Muhtemelen yanılıyorum ama her trenin başlangıç zamanının tekdüze bir dağılımı takip ettiğini varsayarsak, rastgele bir zamanda istasyona geldiğinde beklenen bekleme süresinin şöyle olacağını söyleyebilirim:

$R$ $\mathbb{E}[R] = 5$ dakika
$B$ $\mathbb{E}[B] = 7.5$ dakika
$\mathbb{E}[\min(R,B)] =\frac{15}{10}(\mathbb{E}[B]-\mathbb{E}[R]) = \frac{15}{4} = 3.75$

Yorumlarda belirtildiği gibi, "İki tren de aynı anda başlar" diye "İkisi de rastgele bir zamandan başlar" diye anladım . Bu çok sınırlayıcı bir varsayım.

— hayatta kal
kaynak

1

Teşekkürler! Doğru cevabı aldın. Ama 3. benim için hala belli değil. Biraz daha açıklayabilir misiniz?

— Shengjie Zhang

1

Bu doğru cevap değil

— Aksakal

1

Bence yaklaşım iyi, ama üçüncü adımınız mantıklı değil.

— Neil G

2

Bu cevap, bir noktada kırmızı ve mavi trenlerin aynı anda geldiğini varsayar: yani fazdadırlar. Diğer cevaplar aşama hakkında farklı bir varsayım yapar.

— whuber

2

$\Delta$ $0\le\Delta<10$ $t=0$

$\Delta$ $0$ $5$ $t=0$ $t=30$ $\Delta$ $10$ $5-\Delta$ $\Delta + 5$ $10-\Delta$

Eğer $W_\Delta(t)$ o zaman istasyona gelen bir yolcunun bekleme süresini belirtir $t$ , sonra arsa $W_\Delta(t)$ e karşı $t$ parça parça doğrusaldır, her çizgi parçası eğimde sıfıra düşer $-1$ . Ortalama bekleme süresi $0$ için $30$ bir dizi üçgen, $30$ . Bu verir

\begin{aligned} {\bar{W}}_{Δ} & := \frac{1}{30} (\frac{1}{2} [Δ^{2} + 10^{2} + (5 - Δ)^{2} + (Δ + 5)^{2} + (10 - Δ)^{2}]) \\ = \frac{1}{30} (2 Δ^{2} - 10 Δ + 125) . \end{aligned}

$\begin{align}\bar W_\Delta &:= \frac1{30}\left(\frac12[\Delta^2+10^2+(5-\Delta)^2+(\Delta+5)^2+(10-\Delta)^2]\right)\\&=\frac1{30}(2\Delta^2-10\Delta+125). \end{align}$ Notice that in the above development there is a red train arriving

Δ + 5

$\Delta+5$ minutes after a blue train. Since the schedule repeats every 30 minutes, conclude

{\bar{W}}_{Δ} = {\bar{W}}_{Δ + 5}

$\bar W_\Delta=\bar W_{\Delta+5}$ , and it suffices to consider

0 \leq Δ < 5

$0\le\Delta<5$ .

If $\Delta$ is not constant, but instead a uniformly distributed random variable, we obtain an average average waiting time of

\frac{1}{5} \int_{Δ = 0}^{5} \frac{1}{30} (2 Δ^{2} - 10 Δ + 125) d Δ = \frac{35}{9} .

$\frac15\int_{\Delta=0}^5\frac1{30}(2\Delta^2-10\Delta+125)\,d\Delta=\frac{35}9.$

— grand_chat
kaynak

2

This is a Poisson process. The red train arrives according to a Poisson distribution wIth rate parameter 6/hour.
The blue train also arrives according to a Poisson distribution with rate 4/hour. Red train arrivals and blue train arrivals are independent. Total number of train arrivals Is also Poisson with rate 10/hour. Since the sum of The time between train arrivals is exponential with mean 6 minutes. Since the exponential mean is the reciprocal of the Poisson rate parameter. Since the exponential distribution is memoryless, your expected wait time is 6 minutes.

— Alison
kaynak

The Poisson is an assumption that was not specified by the OP. But some assumption like this is necessary. The logic is impeccable. +1 I like this solution.

— Michael R. Chernick

1

OP said specifically in comments that the process is not Poisson

— Aksakal