Rastgele bir değişkenin ortalama bir a bölünmesi beklentisi nedir ?

Let IID ve olmak . Açık görünüyor, ancak resmi olarak türetmekte zorlanıyorum. $X_i$ $\bar{X} = \sum_{i=1}^{n} X_i$

E [\frac{X_{i}}{\bar{X}}] = ?

$E\left[\frac{X_i}{\bar{X}}\right] = \ ?$

probability random-variable expected-value

— stollenm
kaynak

İzin Vermek $X_1,\dots,X_n$ bağımsız ve özdeş dağılmış rastgele değişkenler ve

\bar{X} = \frac{X_{1} + X_{2} \dots + X_{n}}{n} .

$\bar{X}=\frac{X_1+X_2\dots+X_n}{n}.$

Farz et ki $\Pr\{\bar{X}\ne 0\}=1$ . Yana 'in aynı dağıtıldığı için, simetri, bize söyler , (bağımlı) rastgele değişkenler : Aynı dağılıma sahip Beklentiler mevcutsa (bu çok önemli bir noktadır), ve , $X_i$ $i=1,\dots n$ $X_i/\bar{X}$

\frac{X_{1}}{\bar{X}} \sim \frac{X_{2}}{\bar{X}} \sim \dots \sim \frac{X_{n}}{\bar{X}} .

$\frac{X_1}{\bar{X}} \sim \frac{X_2}{\bar{X}} \sim \dots \sim \frac{X_n}{\bar{X}}.$

E [X_{i} / \bar{X}]

$\mathrm{E}[X_i/\bar{X}]$

E [\frac{X_{1}}{\bar{X}}] = E [\frac{X_{2}}{\bar{X}}] = \dots = E [\frac{X_{n}}{\bar{X}}],

$\mathrm{E}\left[ \frac{X_1}{\bar{X}} \right] = \mathrm{E}\left[ \frac{X_2}{\bar{X}} \right] = \dots = \mathrm{E}\left[ \frac{X_n}{\bar{X}} \right],$

i = 1, \dots, n

$i=1,\dots,n$

\begin{aligned} E [\frac{X_{i}}{\bar{X}}] & = \frac{1}{n} (E [\frac{X_{1}}{\bar{X}}] + E [\frac{X_{2}}{\bar{X}}] + \dots + E [\frac{X_{n}}{\bar{X}}]) \\ = \frac{1}{n} E [\frac{X_{1}}{\bar{X}} + \frac{X_{2}}{\bar{X}} + \dots + \frac{X_{n}}{\bar{X}}] \\ = \frac{1}{n} E [\frac{X_{1} + X_{2} + \dots + X_{n}}{\bar{X}}] \\ = \frac{1}{n} E [\frac{n \bar{X}}{\bar{X}}] \\ = \frac{n}{n} E [\frac{\bar{X}}{\bar{X}}] = 1. \end{aligned}

$\begin{align} \mathrm{E}\left[ \frac{X_i}{\bar{X}} \right] &= \frac{1}{n} \left( \mathrm{E}\left[ \frac{X_1}{\bar{X}} \right] + \mathrm{E}\left[ \frac{X_2}{\bar{X}} \right] + \dots + \mathrm{E}\left[ \frac{X_n}{\bar{X}} \right] \right) \\ &= \frac{1}{n}\,\mathrm{E}\left[ \frac{X_1}{\bar{X}} + \frac{X_2}{\bar{X}} + \dots + \frac{X_n}{\bar{X}} \right] \\ &= \frac{1}{n}\,\mathrm{E}\left[ \frac{X_1+X_2+\dots+X_n}{\bar{X}} \right] \\ &= \frac{1}{n}\,\mathrm{E}\left[ \frac{n\bar{X}}{\bar{X}} \right] \\ &= \frac{n}{n}\,\mathrm{E}\left[ \frac{\bar{X}}{\bar{X}} \right] = 1. \end{align}$

Bakalım bunu basit Monte Carlo ile kontrol edebilir miyiz.

x <- matrix(rgamma(10^6, 1, 1), nrow = 10^5)
mean(x[, 3] / rowMeans(x))

[1] 1.00511

Güzel ve sonuçlar tekrar altında pek değişmiyor.

— Zen
kaynak

(+1) Sonuç

E [X_{i} / \bar{X}]

$E[X_i/\bar X]$ mevcut değil doğru, ancak henüz bağlantı kurduğunuzdan daha ince bir argüman gerektirir, çünkü

X_{i}

$X_i$ ve

\bar{X}

$\bar X$ bağımsız değil.

— whuber

@whuber: Bunu biraz genişletebilir misin Bill? Bağımlılığından bahsettim

X_{i}

$X_i$ ve

\bar{X}

$\bar{X}$ bağlantılı sorunun yorumlarından birinde. Ayrıca, Xi'an'ın cevabı

n = 2

$n=2$ basit bir dönüşüm ile durum. Ayrıca,

X_{i} / \bar{X}

$X_i/\bar{X}$ yorumlarından birinde. Bu konudaki düşünceleriniz için teşekkür ederiz.

— Zen

@whuber: Sanırım açıklamam o zamandan beri işe yarıyor

X_{i} / \bar{X} = n / {1 + X_{2} / X_{1} + \dots + X_{n} / X_{1}}

$X_i/\bar{X}=n/\{1+X_2/X_1+\cdots+X_n/X_1\}$ hangisi

n / {1 + (n - 1) Z}

$n/\{1+(n-1)Z\}$ ,

Z

$Z$ standart bir Cauchy olmak. Bağımlılık yok.

— Xi'an

@ Xi'an: Burada kullandınız mı (

n = 3

$n=3$ case), beri

U = X_{2} / X_{1}

$U=X_2/X_1$ ve

V = X_{3} / X_{1}

$V=X_3/X_1$ standart Cauchy, o zaman

(U + V) / 2

$(U+V)/2$ standart Cauchy nedir? Ama bu doğru değil çünkü

U

$U$ ve

V

$V$ bağımsız değil, değil mi?

— Zen

@Zen: Ancak,

(X_{2} + \dots + X_{n})

$(X_2+\cdots+X_n)$ ve

X_{1}

$X_1$ bağımsızdır Normal değişkenler, dolayısıyla

(X_{2} + \dots + X_{n}) / X_{1}

$(X_2+\cdots+X_n)/X_1$ eğer bir Cauchy ise

\sqrt{n - 1}

$\sqrt{n-1}$ değil ölçek

n - 1

$n-1$ .

— Xi'an