Mu ve bağımsızlığını ima eder mi?

Mu ve bağımsızlığını ima eder mi? $\mathbb{Cov} \left(f(X),Y\right) = 0 \; \forall \; f(.)$ $X$ $Y$

Sadece ve arasındaki aşağıdaki bağımsızlık tanımına aşinayım . $X$ $Y$

f_{x, y} (x, y) = f_{x} (x) f_{y} (y)

$f_{x,y}(x,y) = f_x(x)f_y(y)$

random-variable independence

— stollenm
kaynak

İhtiyacın var

C o v (f (X), g (Y)) = 0 for all (measurable) f (\cdot), g (\cdot)

$\mathbb{Cov} \left(f(X),g(Y)\right) = 0 ~\text{for all (measurable)} ~f(\cdot), g(\cdot)$ , sadece

C o v (f (X), Y) = 0 \forall f (\cdot)

$\mathbb{Cov} \left(f(X),Y\right) = 0 \; \forall \; f(\cdot)$

— Dilip Sarwate

Sezgiyle başlayalım. En küçük kareler regresyonunun eğimi $Y$ karşısında $h(X)$ , herhangi bir işlev için $h$ , kovaryansıyla orantılıdır $h(X)$ ve $Y$ . Varsayım, tüm regresyonların hepsi sıfırdır (sadece doğrusal olanları değil). Eğer hayal edersen $(X,Y)$ bir nokta bulutu (gerçekten bir olasılık yoğunluk bulutu) ile temsil edilir, daha sonra dikey olarak dilimlediğinizde ve dilimleri yeniden sıraladığınızda (eşlemeyi gerçekleştiren) $h$ ), regresyon sıfır kalır. Bu, koşullu beklentileri ifade eder. $Y$ (regresyon fonksiyonu olan) hepsi sabittir. Beklentileri sabit tutarken koşullu dağılımlarla başa çıkabilir , böylece bağımsızlık şansını mahvedebiliriz. Bu nedenle sonucun her zaman geçerli olmadığını beklemeliyiz .

Basit karşı örnekler var. Dokuz soyut öğeden oluşan bir örnek alan düşünün

Ω = {ω_{ben, j} | - 1 \leq ben, j, \leq 1}

$\Omega = \{\omega_{i,j}\mid -1 \le i,j,\le 1\}$ ve olasılık ile belirlenen ayrı bir önlem

P (ω_{0, 0}) = 0; P (ω_{0, j}) = 1 / 5 (j = \pm 1); P (ω_{i, j} = 1 / 10) aksi takdirde.

$\mathbb{P}(\omega_{0,0})=0;\ \mathbb{P}(\omega_{0,j})=1/5\,(j=\pm 1);\ \mathbb{P}(\omega_{i,j}=1/10)\text{ otherwise.}$

Tanımlamak

X (ω_{ben, j}) = j, Y (ω_{ben, j}) = ben .

$X(\omega_{i,j})=j,\ Y(\omega_{i,j})=i.$

Bu olasılıkları bir dizi olarak gösterebiliriz

(\begin{matrix} 1 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \end{matrix})

$\pmatrix{1&2&1\\1&0&1\\1&2&1}$

(tüm girişler ile çarpılır $1/10$ ) değerlerle her iki yönde dizine eklenmiş $-1,0,1$ .

Marjinal olasılıklar

f_{X} (- 1) = f_{X} (1) = 3 / 10; f_{X} (0) = 4 / 10

$f_X(-1)=f_X(1)=3/10;\, f_X(0)=4/10$ ve

f_{Y} (- 1) = f_{Y} (1) = 4 / 10; f_{Y} (0) = 2 / 10,

$f_Y(-1)=f_Y(1)=4/10;\, f_Y(0)=2/10,$ sırasıyla dizinin sütun toplamları ve satır toplamları tarafından hesaplanır. Dan beri

f_{X} (0) f_{Y} (0) = (4 / 10) (2 / 10) \neq 0 = P (ω_{0, 0}) = f_{X Y} (0, 0),

$f_X(0)f_Y(0)=(4/10)(2/10)\ne 0=\mathbb{P}(\omega_{0,0})=f_{XY}(0,0),$ bu değişkenler bağımsız değildir.

Bu, koşullu dağılımını yapmak için inşa edilmiştir. $Y$ ne zaman $X=0$ diğer koşullu dağılımlardan farklı olarak $X=\pm 1$ . Bunu matrisin orta sütununu diğer sütunlarla karşılaştırarak görebilirsiniz. İçindeki simetri $Y$ koordinatlar ve tüm koşullu olasılıkların hemen tüm koşullu beklentiler nereden sıfır, olduğunu gösteriyor bütün kovaryanslar sıfır, ne olursa olsun bir nasıl ilişkili değerler $X$ sütunlara yeniden atanabilir.

İkna olmamış olanlar için, karşı örnek doğrudan hesaplama yoluyla gösterilebilir - yalnızca $27$ Dikkate alınması gereken fonksiyonlar ve her biri için kovaryans sıfırdır.

— whuber
kaynak