İstatistiksel bir model ile bir olasılık modeli arasındaki farklar?

Uygulamalı olasılık, hesaplama olasılığı dahil, olasılıkta önemli bir daldır. İstatistikler verilerle başa çıkmak için modeller oluşturmak için olasılık teorisi kullandığından, benim anladığım kadarıyla istatistiksel model ile olasılık modeli arasındaki temel farkın ne olduğunu merak ediyorum. Olasılık modelinin gerçek verilere ihtiyacı yok mu? Teşekkürler.

probability mathematical-statistics

— Honglang Wang
kaynak

Bir model Olasılık triplet oluşur , örnek boşluk, a, cebiri (olaylar) ve bir olasılık ölçer . $(\Omega,{\mathcal F},{\mathbb P})$ $\Omega$ ${\mathcal F}$ $\sigma$ ${\mathbb P}$ ${\mathcal F}$

Sezgisel açıklama . Bir olasılık modeli, bilinen bir rastgele değişkeni olarak yorumlanabilir . Örneğin, izin bir olmak normal dağılım ortalama rastgele değişken ve varyans . Bu durumda, olasılık ölçüsü , Kümülatif Dağıtım İşlevi (CDF) ile $X$ $X$ $0$ $1$ ${\mathbb P}$ $F$

F (x) = P (X \leq x) = P (ω \in Ω : X (ω) \leq x) = \int_{- \infty}^{x} \frac{1}{\sqrt{2 π}} \exp (- \frac{t^{2}}{2}) d t .

$F(x)={\mathbb P}(X\leq x) = {\mathbb P}(\omega\in\Omega:X(\omega)\leq x) =\int_{-\infty}^x \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp\left({-\dfrac{t^2}{2}}\right)dt.$

Genelleştirmeler . Olasılık Modeli'nin tanımı, olasılığın matematiksel tanımına bağlıdır, örneğin bakınız Serbest olasılık ve Kuantum olasılık .

Bir İstatistiksel Modeli bir olan dizi , bu, olasılık bir dizi tedbir olasılık modellerinin / örnek uzay üzerinde dağılımları . ${\mathcal S}$ $\Omega$

Bu olasılık dağılımları kümesi genellikle verilerimiz olan belli bir olguyu modellemek için seçilmiştir.

$\mu\in{\mathbb R}$ $\sigma^2\in{\mathbb R_+}$ ${\mathcal S}$ $\Omega$ ${\mathcal F}$ $(\Omega,{\mathcal F})$ dikkate almak makul.

Genelleştirmeler . Bu makale İstatistiksel Modelin çok resmi bir tanımını sunmaktadır, ancak yazar "Bayesian modelinin önceki bir dağıtım şeklinde ek bir bileşen gerektirdiğini ..." Bu nedenle İstatistiksel Modelin tanımı, kullandığımız modelin türüne bağlıdır: parametrik veya parametrik olmayan. Ayrıca, parametrik ayarda tanım, parametrelerin nasıl işlendiğine (örn. Klasik ve Bayesian) bağlıdır.

$\mbox{Normal}(\mu_0,\sigma_0^2)$ $\mu_0,\sigma_0^2$ $\mbox{Normal}(\mu,\sigma^2)$ $\mu,\sigma^2$

Bunların hiçbiri bir veri seti gerektirmiyor, ama ben genellikle bir modelleme için bir İstatistiksel model seçildiğini söyleyebilirim.

— Xi'an
kaynak

@HonglangWang Bu bir dereceye kadar doğru. Temel fark, bir olasılık modelinin yalnızca bir (bilinen) dağılım olmasıdır, istatistiksel bir model ise bir olasılık modelleri kümesidir; Veriler bu kümeden bir model seçmek için kullanılır (ya da belirli bir anlamda) fenomeni (veriler ışığında) daha iyi tanımlayan daha küçük bir model alt kümesini seçmek için kullanılır.

Ω \times Θ

$\Omega \times \Theta$

P

${\mathbb P}$

Ω

$\Omega$

P (X \leq x)

${\mathbb P}(X\leq x)$

P (ω \in Ω : X (ω) \leq x)

${\mathbb P}(\omega\in\Omega: X(\omega)\leq x)$

Ω

$\Omega$

F

${\mathcal F}$

σ -

$\sigma-$

σ -

$\sigma-$

X

$X$ Yine, bu gözlemlenebilir değil. Bunu sezgisel bir seviyede nasıl açıklayacağımdan emin değilim.

Ω

$\Omega$

Ω

$\Omega$

X

$X$

t

$t$

Ω

$\Omega$

X

$X$

Ω

$\Omega$

X

$X$

F

$\mathcal{F}$

— whuber

F

$\mathcal{F}$