Ampirik olasılığın bazı açıklayıcı uygulamaları nelerdir?

Owen'ın ampirik olasılığını duymuştum, ancak yakın zamana kadar ilgilendiren bir makaleyle karşılaşana kadar hiçbir ücret ödemedim ( Mengersen ve ark. 2012 ).

Anlama çabalarımda, gözlemlenen verilerin olasılığının olarak temsil edildiğini , burada ve .

L = \underset{ben}{Π} p_{ben} = \underset{ben}{Π} P (X_{ben} = x) = \underset{ben}{Π} P (X_{ben} \leq x) - P (X_{ben} < x)

$L = \prod_i p_i = \prod_i P(X_i=x) = \prod_i P(X_i \le x) - P(X_i \lt x)$

\sum_{i} p_{i} = 1

$\sum_i p_i = 1$

p_{i} > 0

$p_i > 0$

Ancak, bu temsili, gözlemler hakkında çıkarımlar yapmak için nasıl kullanılabileceği ile ilişkilendiren zihinsel bir sıçrama yapamıyorum. Belki de bir modelin wrt parametreleri olasılığını düşünme konusunda çok köklüyüm?

Her şeye rağmen, Google Akademik’te araştırıyordum, kavramı benim içimden geçirmeme yardımcı olacak ampirik olasılığı kullanan bazı yazılar. Açıkça görülüyor ki, Art Owen'ın Ampirik Olabilirlik üzerine bir kitabı var , ancak Google Kitaplar tüm bu nefis bitleri bırakıyor ve ben hala kütüphaneler arası bir kredi alma sürecinde yavaş davranıyorum.

Bu arada, birileri beni kibarca ampirik olabilirlik fikrini ve nasıl kullandığını açıkça gösteren kağıtlara ve belgelere işaret edebilir mi? EL'in açıklayıcı bir açıklaması da memnuniyetle karşılanacaktır!

— Sameer
kaynak

Özellikle ekonometristler EL'ye aşık oldular. Başvurular arıyorsanız , bu literatür bakmak için daha iyi yerlerden biri olabilir.

— kardinal

Yanıtlar:

Owen'ın kitaptan daha iyi bir yer olmadığını düşünebiliyorum.

hakkında düşünmenin pratik bir yolu , gözlemlenen veri noktaları bulunan multinom dağılımının olasılığıdır . Bu nedenle olasılık, olasılık vektörünün bir fonksiyonudur , parametre alanı gerçekten olasılık vektörlerinin boyutlu bir simpleksidir ve MLE, ağırlık koyuyor $L = L(p_1, \ldots, p_n)$ $x_1, \ldots, x_n$ $(p_1, \ldots, p_n)$ $n$ $1/n$ gözlemlerin her birinde (hepsinin farklı olduğunu varsayalım). Parametre boşluğunun boyutu gözlem sayısı ile artar.

Temel nokta, ampirik olasılığın, parametrik bir model belirtmeden profil oluşturarak güven aralıklarını hesaplamak için bir yöntem sağlamasıdır. Eğer ilgi parametre ortalama olduğu , sonra herhangi bir olasılık vektörü için de kötü olduğunu olduğunu ve biz Profil olasılığını olarak hesaplayabilir. $\mu$ $p = (p_1, \ldots, p_n)$

μ (p) = Σ_{ben = 1}^{n} x_{ben} p_{ben},

$\mu(p) = \sum_{i=1}^n x_i p_i,$

Sonra formun güven aralıkları hesaplayabilir ile. Buradaampirik ortalama ve. aralığıbelki de sadece (profil) olabilirlik aralıkları olarak adlandırılmalıdır çünkü kapsama ilişkin hiçbir açıklama yapılmamıştır. Azalan ile

aralıkları

L_{profesör} (μ) = maksimum {L (p) | μ (p) = μ} .

$L_{\text{prof}}(\mu) = \max \{ L(p) \mid \mu(p) = \mu \}.$

{ben}_{r} = {μ | L_{profesör} (μ) \geq r L_{profesör} (\bar{x})}

$I_r = \{ \mu \mid L_{\text{prof}}(\mu) \geq r L_{\text{prof}}(\bar{x}) \}$

r \in (0, 1)

$r \in (0,1)$

\bar{x}

$\bar{x}$

L_{prof} (\bar{x}) = n^{- n}

$L_{\text{prof}}(\bar{x}) = n^{-n}$

I_{r}

$I_r$

r

$r$

I_{r}

$I_r$ (evet, bunlar aralıktır) iç içe geçmiş, artan bir güven aralığı ailesi oluşturur. Asimptotik teori veya önyükleme % 95 kapsama ulaşmak için

kalibre etmek için kullanılabilir .

r

$r$

Owen'ın kitabı bunu ayrıntılı olarak ele alıyor ve daha karmaşık istatistiksel sorunlara ve ilgilenilen diğer parametrelere genişletmeler sunuyor.

— NRH
kaynak

(+1) Kitabın erişiminin eksikliği, kişi teorinin temellerini almak için her zaman orijinal yazılarla başlayabilir. Kitap gibi, yazılar da oldukça açık bir şekilde yazılmıştır.

— kardinal

Bazı bağlantılar: ( 1 ) A. Owen (1988), Tek bir işlevsel için ampirik olabilirlik oranı güven aralığı , Biometrika , vol. 75, No. 2, sayfa 237-249, ( 2 ) A. Owen (1990), Ampirik olabilirlik oranı güven bölgeleri , Ann. Devletçi. , vol. 18, hayır. 1, sayfa 90-120 ( açık erişim ) ve ( 3 ) A. Owen (1991) Doğrusal modeller için ampirik olabilirlik , Ann. Devletçi. , vol. 19, hayır. 4, sayfa 1725-1747 ( açık erişim ).

— kardinal

@cardinal Harika! Bunu kendim düşünmeliydim.

— Sameer

L_{p r o f} (μ)

$L_{prof}(\mu)$

a r g m a x

$argmax$

p

$p$

L_{p r o f} (\bar{x}) = n^{n}

$L_{prof}(\bar{x})=n^n$

\prod_{i} n^{- 1} = n^{- n}

$\prod_i n^{-1} = n^{-n}$

μ

$\mu$

E [g (X, θ)] = 0

$E[g(X,\theta)] = 0$

X

$X$

g

$g$

q

$q$

θ \in Θ \subseteq R^{p}

$\theta \in \Theta \subseteq \mathbb{R}^p$

q \geq p

$q \geq p$

g

$g$

θ

$\theta$

{\hat{θ}}_{GMM} = {argmin}_{θ \in Θ} {\bar{g}}_{n} (θ)^{'} W {\bar{g}}_{n} (θ)

$\hat{\theta}_\text{GMM} = \text{argmin}_{\theta \in \Theta} \; \bar{g}_n(\theta) 'W \bar{g}_n(\theta)$

W

$W$

{\bar{g}}_{n} (θ) : = \frac{1}{n} Σ_{ben = 1}^{n} g (X_{ben}, θ) .

$\bar{g}_n(\theta) := \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n g(X_i,\theta).$

θ

$\theta$

L (θ) = \underset{p_{1}, ..., p_{n}}{maksimum} Π_{ben = 1}^{n} p_{ben}

$L(\theta) = \max_{p_1,\ldots,p_n} \; \prod_{i=1}^n p_i$

Σ_{ben = 1}^{n} p_{ben} = 1, p_{ben} \geq 0, Σ_{ben = 1}^{n} p_{ben} \cdot g (X_{ben}, θ) = 0.

$\sum_{i=1}^n p_i=1, \qquad p_i \geq 0, \qquad \sum_{i=1}^n p_i \cdot g(X_i,\theta) = 0.$

θ

$\theta$

{\hat{θ}}_{EL} = {argmax}_{θ \in Θ} günlük L (θ) .

$\hat{\theta}_\text{EL} = \text{argmax}_{\theta \in \Theta} \; \log L(\theta).$

Elbette EL'in ekonometride dikkat çekmesinin başka birçok nedeni var, ama umarım burası yararlı bir başlangıç noktasıdır. Moment eşitliği modelleri ampirik ekonomide çok yaygındır.

— Aelmore
kaynak

Bu kadar açık ve iyi referanslanmış bir cevap yazdığınız için teşekkür ederiz. Topluluğumuza Hoşgeldiniz!

— whuber

$S(t) = Pr(T > t)$ $T$ $\hat{S}$

— ocram
kaynak