Bir toplamın varyansı, varyansların toplamına eşit mi?


62

(Her zaman) doğru olduğu

Var(i=1mXi)=i=1mVar(Xi)?

3
Aşağıdaki cevaplar kanıtı sağlar. Sezgi basit durumda var görülebilir (x + y): eğer x ve y pozitif korelasyon gösteriyorsa, her ikisi de toplam değişkenliği artırarak birlikte büyük / küçük olma eğiliminde olacaktır. Olumsuz korelasyon gösterirlerse, toplam varyasyonu azaltarak birbirlerini iptal etme eğiliminde olurlar.
Esad Ebrahim

Yanıtlar:


91

Sorunuzun cevabı "Bazen, ancak genel olarak değil" dir.

Bunu görmek için rasgele değişkenler olsun (sonlu değişkenlerle). Sonra,X1,...,Xn

var(i=1nXi)=E([i=1nXi]2)[E(i=1nXi)]2

Şimdi dikkat , eğer açık olan elle hesapladığınızda ne yaptığınızı düşünün . Bu nedenle,(i=1nai)2=i=1nj=1naiaj(a1+...+an)(a1+...+an)

E([i=1nXi]2)=E(i=1nj=1nXiXj)=i=1nj=1nE(XiXj)

benzer şekilde,

[E(i=1nXi)]2=[i=1nE(Xi)]2=i=1nj=1nE(Xi)E(Xj)

yani

var(i=1nXi)=i=1nj=1n(E(XiXj)E(Xi)E(Xj))=i=1nj=1ncov(Xi,Xj)

kovaryans tanımı ile.

Şimdi ilgili olarak Bir miktarın varyansı, varyansların toplamına eşit mi? :

  • Değişkenler ilişkisizse, evet : bu, için , ardındancov(Xi,Xj)=0ij

    var(i=1nXi)=i=1nj=1ncov(Xi,Xj)=i=1ncov(Xi,Xi)=i=1nvar(Xi)
  • Değişkenler ilişkiliyse, hayır, genel olarak değil : Örneğin, her birinin ve varyanslı iki rastgele değişken olduğunu varsayalım burada . Sonra , böylece kimlik başarısız olur.X1,X2σ2cov(X1,X2)=ρ0<ρ<σ2var(X1+X2)=2(σ2+ρ)2σ2

  • ancak bazı örnekler için mümkündür : kovaryans matrisine sahip olduğunu varsayalım sonraX1,X2,X3

    (10.40.60.410.20.60.21)
    var(X1+X2+X3)=3=var(X1)+var(X2)+var(X3)

Bu nedenle değişkenler birbiriyle ilişkilendirilmemişse , toplamın varyansı, varyansların toplamıdır, ancak genel olarak converse doğru değildir .


Örnek kovaryans matrisi ile ilgili olarak, aşağıdaki doğrudur: sağ üst ve alt sol üçgenler arasındaki simetri, , ama simetri olduğu gerçeğini yansıtır. sol üst ve sağ alt arasında (bu durumda olabilir, örneğin sadece bir kısmıdır, ancak iki farklı ile değiştirilebilir.) olan toplam sayılar, örneğin, ve ? Tekrar teşekkürler.cov(Xi,Xj)=cov(Xj,Xi)cov(X1,X2)=cov(X2,X3)=0.30.6cov(X1,X2)=acov(X2,X,3)=0.6a
Abe

41

Var(i=1mXi)=i=1mVar(Xi)+2i<jCov(Xi,Xj).

Bu nedenle, kovaryanslar ortalama olarak ise, değişkenler ikili olarak ilişkisiz ise ya da bağımsızlarsa sonuç çıkarsa, toplamın varyansı varyansların toplamıdır.0

Bunun doğru olmadığı bir örnek: . Let . Ardından .Var(X1)=1X2=X1Var(X1+X2)=Var(2X1)=4


Numune varyansları için nadiren doğru olacaktır.
DWI

1
@DWin, "nadir" bir ifade olan - eğer s sürekli dağılımı, toplamın örnek varyans tam olarak 0 :) örnek varyansları toplamına eşit olduğu olasılığınınX
Makro

15

Sadece Macro tarafından verilen ispatın daha özlü bir versiyonunu eklemek istedim, bu yüzden neler olduğunu görmek daha kolay.

beri dikkat edinVar(X)=Cov(X,X)

Herhangi bir iki rastgele değişken için bizde:X,Y

Var(X+Y)=Cov(X+Y,X+Y)=E((X+Y)2)E(X+Y)E(X+Y)by expanding,=E(X2)(E(X))2+E(Y2)(E(Y))2+2(E(XY)E(X)E(Y))=Var(X)+Var(Y)+2(E(XY))E(X)E(Y))
Bu nedenle genel olarak, iki rastgele değişkenin toplamının varyansı, varyansların toplamı değildir. Bununla birlikte, eğer bağımsızsa, ve sahibiz .X,YE(XY)=E(X)E(Y)Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)

rastgele değişkenlerin toplamının sonucunu basit bir indüksiyonla üretebileceğimize dikkat edin .n


Sitemizi kullandığınızda şunları okuyup anladığınızı kabul etmiş olursunuz: Çerez Politikası ve Gizlilik Politikası.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.