kolay kanıt ?

Let bağımsız standart normal rasgele değişkenler. Orada birçok (uzun) kanıt var. $Z_1,\cdots,Z_n$

\sum_{i = 1}^{n} {(Z_{i} - \frac{1}{n} \sum_{j = 1}^{n} Z_{j})}^{2} \sim χ_{n - 1}^{2}

$\sum_{i=1}^n \left(Z_i - \frac{1}{n}\sum_{j=1}^n Z_j \right)^2 \sim \chi^2_{n-1}$

Birçok kanıt oldukça uzundur ve bazıları indüksiyon kullanır (örn. Casella Statistical Inference). Bu sonucun kolay bir kanıtı olup olmadığını merak ediyorum.

mathematical-statistics sampling

— 3x89g2
kaynak

Sezgisel geometrik (koordinat içermeyen) bir yaklaşım için, mükemmel metnin Bölüm 1.2 bakmak Lineer Modeller Coordinate'e-Free Yaklaşım Michael J. Wichura tarafından (teknik ayrıntılar Teorem 8.2 doldurulur), yazar aslında geleneksel kıyasla nerede matriks kanıtı (whuber'ın cevabı ile sağlanır) ve projeksiyon yaklaşımı, geometrik yaklaşımının daha doğal ve daha az belirsiz olduğunu gösterir. Şahsen, bu kanıtın anlayışlı ve özlü olduğunu düşünüyorum.

— 17:25

Yanıtlar:

İçin , tanımlar $k=1, 2, \ldots, n-1$

X_{k} = (Z_{1} + Z_{2} + \dots + Z_{k} - k Z_{k + 1}) / \sqrt{k + k^{2}} .

$X_k = (Z_1 + Z_2 + \cdots + Z_k - kZ_{k+1})/\sqrt{k+k^2}.$

, multinormally dağıtılmış rastgele değişkenler dönüşümleri lineerdir , aynı zamanda bir multinormal dağılımına sahiptir. Bunu not et $X_k$ $Z_i$

Varyans-kovaryans matrisi olan birim matris. $(X_1, X_2, \ldots, X_{n-1})$ $n-1\times n-1$
$X_1^2 + X_2^2 + \cdots + X_{n-1}^2 = \sum_{i=1}^n (Z_i-\bar Z)^2.$

$(1)$ , kontrol edilmesi kolay olan, doğrudan ile ilgisiz olduğunu gözlemledikten sonra . Hesaplamaların hepsi olduğu gerçeğine iner. orada olanlar. $(2)$ $X_k$ $\bar Z.$ $1+1+\cdots+1 - k = 0$ $k$

Bunlar birlikte ilişkisiz birim-varyans Normal değişkenlerinin toplamının dağılımına sahip olduğunu gösterir . Tanım olarak, bu dağılımı, QED'dir . $\sum_{i=1}^n(Z_i-\bar Z)^2$ $n-1$ $\chi^2(n-1)$

Referanslar

yapısının geldiğine ilişkin bir açıklama için, Helmert matrisleri ile ilgili izometrik log-oran dönüşümünün nasıl gerçekleştirileceği konusundaki cevabımın başlangıcına bakın . $X_k$
Bu, RSS'nin neden ki kare süreleri np olarak dağıtıldığı , ocram'ın cevabında verilen genel gösteriyi basitleştiriyor . Bu cevap, oluşturmak için "bir matris vardır" ; burada böyle bir matris sergiliyorum. $X_k$

— whuber
kaynak

Bu yapının basit bir geometrik yorumu vardır. (1) değişkenleri n-boyutlu küresel simetrik bir dağılım üzerine dağıtılır (böylece onu istediğimiz gibi döndürebiliriz). (2) , lineer problemine bir çözüm olarak bulunur; bu, vektörünün üzerine etkili bir şekilde yansıtılmasıdır . (3) Koordinat alanını, koordinatlardan biri bu projeksiyon vektörü ile çakışacak şekilde döndürürsek, kalan kısım artık boşluğu temsil eden bir (n-1) -multinomiyal dağılımdır.

Z_{i}

$Z_i$

\bar{Z}

$\overline{Z}$

Z_{i} = \bar{Z} + ϵ_{i}

$Z_i = \overline{Z} + \epsilon_i$

Z

$\mathbf{Z}$

1

$\mathbf{1}$

1

$\mathbf{1}$

— Sextus Empiricus

'lerin birbirleri ile ilgisiz olduğunu gösterirsiniz . Ama anladığım kadarıyla, kareli standart normal değişkenlerin toplamının olduğunu söylemek için , bağımsızlığa ihtiyacımız var, ki bu ilişkisiz olandan çok daha güçlü bir gereklilik mi? EDIT: oh bekleyin, eğer iki değişkenin normal olarak dağıtıldığını bilersek, ilişkisiz bağımsızlık anlamına gelir.

X_{i}

$X_i$

χ^{2}

$\chi^2$

— user56834

Ayrıca, 'nin (ki ben anlıyorum) ile ilgisiz olduğu gerçeğinden (2) nasıl gittiğini anlamıyorum. Açıklayabilir misiniz?

X_{i}

$X_i$

\bar{Z}

$\bar Z$

— user56834

@Programmer Üzgünüm; Bunun mantıklı bir kesinti olduğunu ima etmek istememiştim - (1) ve (2) iki ayrı gözlemdir. (2) sadece (basit) bir cebirsel kimliktir.

— whuber

Programcı, Whuber'ın verdiği diğer cevabın bağlantısını not edin ( stats.stackexchange.com/questions/259208/… ) , dikey sıralara sahip bir matrisine dayanılarak oluşturulmuştur . Böylece daha soyut (daha az ) bir şekilde değerlendirebilirsiniz , , (n'yi n yapmak için 1111 vektörü ile K'yi genişletmemiz gerektiğini unutmayın)

X_{k}

$X_k$

H

$H$

\sum K_{i}^{2}

$\sum K_i^2$

K \cdot K = (H Z) \cdot (H Z) = (H Z)^{T} (H Z) = Z^{T} (H^{T} H) Z = Z^{T} I Z = Z \cdot Z

$K \cdot K = (H Z) \cdot (H Z) = (HZ)^T (HZ) = Z^T (H^TH) Z= Z^T I Z = Z \cdot Z$

— Sextus Empiricus

Z_'nin standart normal , ve ile olduğunu söylediğinizi unutmayın. $Z_is$ $N(0,1)$ $\mu=0$ $\sigma=1$

Sonra $Z_i^2\sim \chi^2_{(1)}$

Sonra

\begin{aligned} \sum_{i = 1}^{n} Z_{i}^{2} & = \sum_{i = 1}^{n} (Z_{i} - \bar{Z} + \bar{Z})^{2} = \sum_{i = 1}^{n} (Z_{i} - \bar{Z})^{2} + n {\bar{Z}}^{2} \\ (1) & = \sum_{i = 1}^{n} (Z_{i} - \bar{Z})^{2} + {[\frac{\sqrt{n} (\bar{Z} - 0)}{1}]}^{2} \end{aligned}

$\begin{align}\sum_{i=1}^n Z_i^2&=\sum_{i=1}^n(Z_i-\bar{Z}+\bar{Z})^2=\sum_{i=1}^n(Z_i-\bar{Z})^2+n\bar{Z}^2\\&=\sum_{i=1}^n(Z_i-\bar{Z})^2+\left[\frac{\sqrt{n}(\bar{Z}-0)}{1}\right ]^2 \tag{1} \end{align}$

(1), 'un tarafının ve sağ taraftaki ikinci terimin

\sum_{i = 1}^{n} Z_{i}^{2} \sim χ_{(n)}^{2}

$\sum_{i=1}^n Z_i^2\sim\chi^2_{(n)}$

{[\frac{\sqrt{n} (\bar{Z} - 0)}{1}]}^{2} \sim χ_{(1)}^{2} .

$\left[\frac{\sqrt{n}(\bar{Z}-0)}{1}\right ]^2 \sim\chi^2_{(1)}.$

Ayrıca , ve bağımsız olacak şekilde. Bu nedenle (1) 'deki son iki terim ( ve ) de bağımsızdır. Bu nedenle mgfs, ) ila (1) 'in sol tarafının mgf'si ile ilişkilidir; burada ve . Arasında mgf nedenle . Böylece, , serbestlik derecesine sahip ki-karedir . $\operatorname{Cov}(Z_i-\bar Z,\bar Z)=0$ $Z_i-\bar Z$ $\bar Z$ $Z_i-\bar Z$ $Z_i$

M_{n} (t) = M_{n - 1} (t) M_{1} (t)

$M_n(t) = M_{n-1}(t)M_1(t)$

M_{n} (t) = (1 - 2 t)^{- n / 2}

$M_n(t)=(1-2t)^{-n/2}$

M_{1} (t) = (1 - 2 t)^{- 1 / 2}

$M_1(t)=(1-2t)^{-1/2}$

\sum_{i = 1}^{n} (Z_{i} - \bar{Z})^{2}

$\sum_{i=1}^n(Z_i-\bar{Z})^2$

M_{n - 1} (t) = M_{n} (t) / M_{1} (t) = (1 - 2 t)^{- (n - 1) / 2}

$M_{n-1}(t)=M_n(t)/M_1(t)=(1-2t)^{-(n-1)/2}$

\sum_{i = 1}^{n} (Z_{i} - \bar{Z})^{2}

$\sum_{i=1}^n(Z_i-\bar{Z})^2$

n - 1

$n-1$

— Derin Kuzey
kaynak

Son "Bu nedenle" çok dikkatsiz

— Zhanxiong

Standart deivasyondan bağımsız olan

\bar{X}

$\bar{X}$

— Deep North

" 'dan bağımsız standart sapma ?" Belki demek istediğiniz bağımsızdır . Ne yazık ki bu doğru değil. Gerçekte şey , tamamlamamız gereken ispatın bir parçası olan bağımsızdır ( bu teklifi gösterirken kullanmak yerine).

\bar{X}

$\bar{X}$

\sum Z_{i}^{2}

$\sum Z_i^2$

\bar{Z}

$\bar{Z}$

\sum (Z_{i} - \bar{Z})^{2}

$\sum (Z_i - \bar{Z})^2$

\bar{Z}

$\bar{Z}$

— Zhanxiong

Sanırım Cochran'ın Teoremini kullandım

— Deep North

@DeepNorth İspatınızdaki bazı eksik parçaları doldurduysanız

— Jarle Tufto