Rasgele bir değişken tarafından oluşturulan cebiri ile ne kastedilmektedir ?

Çoğu zaman, (kendi-) istatistik çalışmam sırasında, " -algebra rasgele bir değişken tarafından üretilen " terminolojisiyle tanıştım . Wikipedia'daki tanımı anlamıyorum , ama en önemlisi sezginin arkasına geçemiyorum. Rasgele değişkenler tarafından neden / ne zaman ihtiyacımız var ? Anlamları ne? Aşağıdakileri biliyorum: $\sigma$ $\sigma-$

bir sette -algebra içeren alt kümelerinin boş olmayan bir koleksiyonudur, tamamlayıcı ve sayılabilir birlik altında kapalıdır. $\sigma$ $\Omega$ $\Omega$ $\Omega$
sonsuz örnek uzaylar üzerinde olasılık uzayları inşa etmek için cebirlerini tanıtıyoruz . Özellikle, sayılamayacak kadar sınırsızsa, ölçülemeyen alt kümelerin (bir olasılığı tanımlayamadığımız kümeler) olabileceğini biliyoruz. Bu nedenle, güç kümesini olay olarak kullanamayız . İlginç olayların olasılığını tanımlayabilmemiz için hala yeterince büyük olan daha küçük bir sete ihtiyacımız var ve rastgele değişkenler dizisinin yakınsaması hakkında konuşabiliriz. $\sigma$ $\Omega$ $\Omega$ $\mathcal{P}(\Omega)$ $\mathcal{F}$

Kısacası, oldukça sezgisel bir anlayışım olduğunu düşünüyorum . Rastgele değişkenler tarafından oluşturulan için benzer bir anlayışa sahip olmak istiyorum : tanım, neden onlara ihtiyacımız var, sezgi, bir örnek ... $\sigma-$ $\sigma-$

probability random-variable sigma-algebra

— DeltaIV
kaynak

Etkili (ve sezgisel olarak anlamlı) bir karakterizasyon, bunun üzerindeki en kaba sigma-cebiri olması ve rastgele değişkeni ölçülebilir hale getirmesidir.

Ω

$\Omega$

— whuber

@whuber kaba en küçük anlamına gelir? Başka bir deyişle, olasılık alanım var , RV (rastgele değişken tanımıyla ölçülebilir) ve nin en küçük alt kümesidir, öyle ki hala ölçülebilir. Tamam, ama bu, ölçülebilir olması sezgisel olarak ne anlama geldiğini soruyor :-) :-) ve sendikalar / kavşaklar gibi tüm olayların olasılığını tanımlayabileceğimizi söylemek mantıklı mı?

(Ω, F, P)

$(\Omega,\mathcal{F},P)$

X : Ω \to R

$X:\Omega\to\mathcal{R}$

σ

$\sigma$

F

$\mathcal{F}$

X

$X$

X

$X$

a < X < b

$a\lt X \lt b$

— DeltaIV

Tek seferde tek bir bakmak, ölçülebilirlikle ilgili çok az sezgi sağlar. Rastgele değişkenlerin koleksiyonlarını - stokastik süreçler - incelediğinizde bu kavram kendi haline gelir. Buna karşılık, en basit stokastik süreçler (sonlu ayrık Binom rastgele yürüyüşler gibi), tüm değişkenler tarafından oluşturulan sigma-cebirin " ve dahil) zaman . "

X

$X$

X_{0}, X_{1}, \dots, X_{t}

$X_0, X_1, \ldots, X_t$

t

$t$

— whuber

@whuber üzgünüm, anlamıyorum :) Beni daha ayrıntılı olarak gittiğiniz başka bir cevaba yönlendirebilirseniz veya bunu cevap olarak genişletmek isterseniz çok memnun olurum. Aksi halde endişelenme - belki de fikrinizi elde etmek için stokastik süreçler hakkında yeterince bilgim yok. Yine de ... Dinamik Bayes Ağı becerilerimi geliştirmem gerekiyor, bu yüzden bu sezgi zaman serileri üzerinde çalışırken yardımcı olursa, oldukça ilgilenirim.

— DeltaIV

Bkz stats.stackexchange.com/a/123754/919 . Ayrıca yararlı olan stats.stackexchange.com/a/164995/919 ve stats.stackexchange.com/a/74339/919 olabilir .

— whuber

Rastgele bir değişken düşünün . ile arasında ölçülebilir bir işlevden başka bir şey olmadığını biliyoruz. burada gerçek çizginin Borel kümeleridir. Ölçülebilirlik tanımı ile, $X$ $X$ $\left(\Omega, \mathcal{A} \right)$ $\left(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}) \right)$ $\mathcal{B}(\mathbb{R})$

X^{- 1} (B) \in A, \forall B \in B (R)

$X^{-1} \left(B \right) \in \mathcal{A}, \quad \forall B \in \mathcal{B}\left(\mathbb{R}\right)$

Ancak pratikte Borel kümelerinin ön görüntüleri olmayabilir ancak onun yerine daha kaba bir alt küme oluşturabilirler. Bunu görmek için tanımlayalım $\mathcal{A}$

Σ = {S \in bir : S = X^{- 1} (B), B \in B (R,)}

$\mathcal{\Sigma} = \left\{ S \in \mathcal{A}: S = X^{-1}(B), \ B \in \mathcal{B}(\mathbb{R}) \right\}$

Ön görüntülerin özelliklerini kullanarak ın sigma-cebir olduğunu göstermek çok zor değildir . Ayrıca hemen , dolayısıyla bir alt sigma-cebiridir. Ayrıca, tanımlar ile ölçülebilir. aslında bu tür diğer tüm sigma-cebirleri en azından içereceği gibi rastgele bir değişken yapan en küçük sigma-cebiridir. $\mathcal{\Sigma}$ $\mathcal{\Sigma} \subset \mathcal{A}$ $\mathcal{\Sigma}$ $X: \left( \Omega, \mathcal{\Sigma} \right) \to \left( \mathbb{R}, \mathcal{B} \left(\mathbb{R} \right) \right)$ $\mathcal{\Sigma}$ $X$ $\mathcal{\Sigma}$ . Rastgele değişken bölgesinin preimages ile ilgileniyor Bu nedenle , dediğimiz rastgele değişken ile indüklenen sigma cebir . $X$ $\mathcal{\Sigma}$ $X$

İşte aşırı bir örnek: sabit bir rastgele değişkeni , yani düşünün . Sonra değerine bağlı olarak veya değerine eşittir . Bu şekilde üretilen sigma-cebir önemsizdir ve bu nedenle kesinlikle içine dahil edilmiştir . $X$ $X(\omega) \equiv \alpha$ $X^{-1} \left(B \right), \ B \in \mathcal{B} \left(\mathbb{R} \right)$ $\Omega$ $\varnothing$ $\alpha \in B$ $\mathcal{A}$

Bu yardımcı olur umarım.

— JohnK
kaynak

A

$\mathcal{A}$ olay kümesi değil mi? Bir I ifade edilmiş olan

F

$\mathcal{F}$

— DeltaIV

Evet, dan daha çekici bulma şartıyla doğdum .

A

$\mathcal{A}$

F

$\mathcal{F}$

— JohnK

mükemmel! Çok açık. Bir kitap

— yazmalısın