Doğrusal olarak bağımlı ve doğrusal olarak ilişkili arasındaki fark nedir?

12

Lütfen iki değişken doğrusal veya doğrusal olarak ilişkili ise arasındaki farkın ne olduğunu açıklayın .

Vikipedi makalesine baktım ama uygun bir örnek alamadım. Lütfen örnekle açıklayınız.

correlation non-independent

— Mutlu Mittal
kaynak

14

Biri diğerinin doğrusal işlevi olarak yazılabiliyorsa iki değişken doğrusal olarak bağımlıdır. İki değişken doğrusal olarak bağımlıysa, aralarındaki korelasyon 1 veya -1'dir. Doğrusal korelasyon, sadece iki değişkenin sıfır olmayan bir korelasyona sahip olduğu, ancak kesin bir doğrusal ilişkiye sahip olmadığı anlamına gelir. Korelasyon bazen doğrusal korelasyon olarak adlandırılır, çünkü Pearson ürün momenti korelasyon katsayısı, değişkenler arasındaki ilişkide doğrusallığın gücünün bir ölçüsüdür.

— Michael R. Chernick
kaynak

3

+1. Yine de Pearson katini demeyi tercih ederim. "doğrusal ilişkinin gücünün bir ölçüsüdür" yerineis a measure of the degree of linearity in [= of?] the relationship

— ttnphns

@ttnphns Tamam, kulağa daha uygun geliyor.

— Michael R.Chernick

Belki yerine ile biz güçlük gerekmez çünkü daha iyi bir önlem olacaktır yakın (eksi eğim olsa) kuvvetli doğrusal bir ilişki anlamına gelir. Ayrıca, açıklanma yerine ne kadar varyansın açıklandığını ve istatistikçiyi kartuş tekerleğini çevirmeye ve kutlamada ambar yapmaya teşvik etmediğini düşünürken olumlu (okunabilir, yayınlanabilir) bir sonucun çok daha iyi kanıtıdır.

ρ^{2}

$\rho^2$

ρ

$\rho$

ρ

$\rho$

- 1

$-1$

ρ = 0.51

$\rho = 0.51$

ρ^{2} > 1 / \sqrt{2} \approx 70 %

$\rho^2 > 1/\sqrt{2} \approx 70\%$

— Dilip Sarwate

8

Gelen doğrusal bağımlılık bir vektörün, diğer doğrusal bir fonksiyonu olduğu anlamına gelir: Bu iki değişkenin bir korelasyon ima kilit aşamasında hareket edeceğini bu tanımdan açık ya da değerine bağlı olarak . Bununla birlikte, kavramlar arasındaki farklılıkları ve bağlantıları daha iyi anlamak için, ilgili geometriyi düşünmenin yararlı olduğunu düşünüyorum. $\mathbf{R}^2$

v_{1} = a v_{2} .

$\textbf{v}_{1}=a\textbf{v}_2.$

1

$1$

- 1

$-1$

a

$a$

Aşağıdaki grafik doğrusal bağımlılık formülünün bir örneğini göstermektedir. Birinin diğerinin katları olduğu için vektörlerin doğrusal olarak bağımlı olduğunu görebilirsiniz. resim açıklamasını buraya girin

Bu, şu şekilde tanımlanan doğrusal bağımsızlığın tersidir : vektörler içinAşağıdaki grafikte doğrusal bağımsızlığın bir örneği görülebilir. $\mathbf{R}^2$

v_{1} \neq a v_{2}

$\textbf{v}_{1}\neq a\textbf{v}_2$

v_{1}, v_{2} \neq 0 .

$\textbf{v}_1, \textbf{v}_2 \neq \textbf{0}.$ resim açıklamasını buraya girin

Doğrusal bağımsızlığın en uç versiyonu, vektörler as: 'de grafik zaman vektörlerine, diklik tekabül ve birbirine dik olan: $\textbf{v}_1, \textbf{v}_2$

v_{1}^{T} v_{2} = 0.

$\textbf{v}_{1}^T \textbf{v}_{2} = 0.$

R^{2}

$\mathbf{R}^2$

v_{1}

$\textbf{v}_{1}$

v_{2}

$\textbf{v}_2$

resim açıklamasını buraya girin

Şimdi, Pearson korelasyon katsayısını göz önünde bulundurun:

ρ_{v_{1} v_{2}} = \frac{(v_{1} - {\bar{v}}_{1} 1)^{T} (v_{2} - {\bar{v}}_{2} 1)}{σ_{v_{1}} σ_{v_{2}}} .

$\rho_{\textbf{v}_{1}\textbf{v}_{2}} = \frac{(\textbf{v}_{1}-\bar{v}_{1}\textbf{1})^T(\textbf{v}_{2}-\bar{v}_{2}\textbf{1})}{\sigma_{\textbf{v}_{1}}\sigma_{\textbf{v}_{2}}}.$

Vektörlerin ve dikeydir, bu durumda Pearson katsayısının payı sıfırdır, bu da ve değişkenlerinin ilişkisiz olduğunu ima eder . Bu doğrusal bağımsızlık ve korelasyon arasındaki ilginç bir bağlantıyı gösterir: ve değişkenlerinin ortalanmış versiyonları arasındaki doğrusal bağımlılık , veya korelasyonuna karşılık gelir , - ve nin ortalanmış sürümleri arasında dikey doğrusal bağımsızlık $(\textbf{v}_{1}-\bar{v}_{1}\textbf{1})$ $(\textbf{v}_{2}-\bar{v}_{2}\textbf{1})$ $\textbf{v}_{1}$ $\textbf{v}_{2}$ $\textbf{v}_{1}$ $\textbf{v}_{2}$ $1$ $-1$ $\textbf{v}_{1}$ $\textbf{v}_{2}$ mutlak değerde ile arasında bir korelasyona karşılık gelir ve ve nin ortalanmış versiyonları arasındaki diklik korelasyonuna karşılık gelir . $0$ $1$ $\textbf{v}_{1}$ $\textbf{v}_{2}$ $0$

Dolayısıyla, iki vektör doğrusal olarak bağımlıysa, vektörlerin ortalanmış versiyonları da doğrusal olarak bağımlı olacaktır, yani vektörler mükemmel bir şekilde ilişkilidir. İki doğrusal olarak bağımsız vektör (dikey veya dikey) ortalandığında, vektörler arasındaki açı değişebilir veya değişmeyebilir. Dolayısıyla, doğrusal olarak bağımsız vektörler için korelasyon pozitif, negatif veya sıfır olabilir.

— tjnel
kaynak

0

F (x) ve g (x) işlevleri olsun.

F (x) ve g (x) 'in lineer bağımsız olması için

a * f (x) + b * g (x) = 0 ise ve sadece a = b = 0 ise.

Başka bir deyişle, a veya b sıfır değil,

a * f (c) + b * g (c) = 0

Böyle bir ac varsa, f (x) ve g (x) 'nin lineer olarak bağımlı olduğunu söylüyoruz.

Örneğin

f (x) = sin (x) ve g (x) = cos (x) doğrusal olarak bağımsız

f (x) = sin (x) ve g (x) = sin (2x) doğrusal olarak bağımlı değildir (Neden?)

— user34832
kaynak

2

Tanımı ile orada, orada kullanırken olabilir bir olmak şekilde ; yalnızca , etki alanındaki tüm için olursa doğrusal olarak bağımlıdırlar ; örneğin, ikinci örneğinizi ile düşünün . (Ayrıca, ilk örneğinizle ilgili bir sorun olduğunu düşünüyorum)

c

$c$

a f (c) + b g (c) = 0

$a f(c) + b g(c) = 0$

x

$x$

c = π / 3

$c=\pi/3$

— Glen_b -Restate Monica