İki simetrik rv arasındaki farkın da simetrik dağılımı var mı?

İki farklı simetrik (medyan ile ilgili) ve dağılımım varsa , farkı da (medyan ile ilgili) bir simetrik dağılım mıdır? $X$ $Y$ $X-Y$

distributions median

— Alessio93
kaynak

Dağılımı , simetrik olarak dağıtılmış rasgele değişkenler arasındaki farkın dağılımı olan bir "iki dağılım arasındaki fark" değildir; Fark dağılımları olacak ; ki bu bir dağıtım değildir; benzer şekilde pdfs bir fark pdf olmaz ... lütfen başlık açıklamasını değiştirin

X - Y

$X-Y$

F_{X} (t) - F_{Y} (t)

$F_X(t)-F_Y(t)$

— Glen_b -Restate Monica

@Glen_b: Bunu söylemek için OP'nin başlığını düzenledim, ancak gelecekte lütfen kendiniz düzenleyin. Bence herkes OP'nin ne anlama geldiğini anladı.

— smci

@smci Aslında, OP'den bunu bir sebepten ötürü kendim yapmak yerine yapmasını istedim (profilimi kontrol ederseniz, üzerinde 3100'den fazla yayın düzenlendi - düzenleme ile ilgili genel kuralları anlıyorum). Yine de yardım ettiğin için teşekkürler. Ben de sitede acemi soruların önemli bir kısmını çözecek ne anlama geldiğini biraz daha fazla özen düşünüyorum; ve özellikle başlıkta netliğin önemli olduğunu düşünüyorum .

— Glen_b -Reinstate Monica

Yanıtlar:

Let ve olması PDF medyan etrafında simetrik ve sırasıyla. ve bağımsız olduğu sürece , farkının olasılık dağılımı ve evrişimidir , yani $X \sim f(x)$ $Y \sim g(y)$ $a$ $b$ $X$ $Y$ $Z = X - Y$ $X$ $-Y$

p (z) = \int_{- \infty}^{\infty} f (z + y) g (- y) d y,

$p(z) = \int_{-\infty}^\infty f(z + y) g(-y) dy,$

burada , sadece medyan içeren üzeri $h(y) = g(-y)$ $-Y$ $-b.$

Sezgisel olarak, sonucun hakkında simetrik olmasını bekleriz, bu yüzden deneyelim. $a - b$

\begin{aligned} p (a - b - z) & = \int_{- \infty}^{\infty} f (a - b - z + y) g (- y) d y \\ = \int_{- \infty}^{\infty} f (a - (z + v)) g (v - b) d v \\ = \int_{- \infty}^{\infty} f (z + v) g (- v) d v \\ = p (z) . \end{aligned}

$\begin{split} p(a - b - z) &= \int_{-\infty}^\infty f(a - b - z + y) g(-y) dy \\ &= \int_{-\infty}^\infty f(a - (z + v)) g(v-b) dv \\ &= \int_{-\infty}^\infty f(z + v) g(-v) dv \\ &= p(z). \end{split}$

İkinci satırda integralde ikamesini kullandım . Üçüncü dizi de, bir iki simetri kullanılan yaklaşık ve yaklaşıkBu kanıtlamaktadır etrafında simetriktir, ise etrafında simetrik olan ve etrafında simetrik olan $v = b - y$ $f(x)$ $a$ $g(-y)$ $-b.$ $p(z)$ $a - b$ $f(x)$ $a$ $g(y)$ $b.$

Eğer ve bağımsız değildi ve ve sonra ortak dağıtım bilmesi gerekir, sadece marjinal dağılımlar edildi,Daha sonra, integralde yerineAncak, marjinal dağılımlar simetrik olduğu için, bu, eklem dağılımının argümanlarının her biri için simetrik olduğu anlamına gelmez. Yani benzer akıl yürütme uygulayamadınız. $X$ $Y$ $f$ $g$ $X,Y \sim h(x,y).$ $f(z + y) g(-y)$ $h(z + y, -y).$

— Bridgeburners
kaynak

Bu, ve arasındaki ilişkiye bağlı olacaktır , işte ve simetrik olduğu bir sayaç örneği , ancak : $x$ $y$ $x$ $y$ $x-y$

x = [- 4, - 2, 0, 2, 4]

$x=[-4, -2, 0, 2, 4]$

y = [- 1, - 3, 0, 1, 3]

$y=[-1, -3, 0, 1, 3]$

x - y = [- 3, 1, 0, 1, 1]

$x-y = [-3, 1, 0, 1, 1]$

Yani burada medyanı medyanlardaki farkla aynı değildir ve simetrik değildir. $x-y$ $x-y$

Düzenle

@ Whuber gösterimlerinde bu daha açık olabilir:

Aşağıdaki çiftlerden yalnızca birini seçebilmeniz için ve ilişkili olduğu tekdüze düzgün dağılımı göz önünde bulundurun : $x$ $y$

(x, y) = (- 4, - 1); (- 2, - 3); (0, 0); (2, 1); (4, 3)

$(x,y)=(-4,-1); (-2,-3); (0,0); (2,1); (4,3)$

Tam bir eklem dağılımında düşünmek konusunda ısrar ediyorsanız, değerlerden herhangi birini alabileceği ve alabileceği durumu düşünün. ve kombinasyon 25 çiftten herhangi birini alabilir. Ancak, yukarıda verilen çiftlerin her birinin olasılığı% 16'dır ve diğer tüm olası çiftlerin her birinin% 1 olasılığı vardır. marjinal dağılımı, her bir değerin% 20 olasılığı olan ve dolayısıyla 0 medyanı etrafında simetrik olan ayrı bir muntazam olacaktır, aynısı için de geçerlidir . Eklem dağılımından büyük bir örnek alın ve sadece veya sadece $x$ $(-4, -2, 0, 2, 4)$ $y$ $(-3, -1, 0, 1, 3)$ $x$ $y$ $x$ $y$ ve muntazam bir marjinal dağılım (simetrik) görürsünüz, ancak farkını alırsınız ve sonuç simetrik olmaz. $x-y$

— Greg Snow
kaynak

Bu örneği hiç anlamıyorum. Eğer 4'e eşit olabilir ve 1 örneğin eşit olabilir, o zaman 3 olmak gerekir, ancak bu olasılığı listesi yoktur. Belki örneğini yanlış anlarım; bu üç vektör nedir?

X

$X$

Y

$Y$

X - Y

$X-Y$

— amip

x

$x$ ve , örneğinde bağımsız değildir. , ve , her bir vektöre indeksleyen bazı rastgele değişken fonksiyonları olarak düşünün . O zaman , , ve

y

$y$

x

$x$

y

$y$

x - y

$x-y$

i

$i$

i = 0

$i=0$

x = - 4

$x=-4$

y = - 1

$y=-1$

x - y = - 3

$x-y=-3$

— Moormanly

Eğer ve bağımsız olmadığını düşünüyorsanız, iki değişkenli rastgele değişken olarak görüyorsunuz . Gösterdiğiniz gibi, simetrik marjinallerin eklem dağılımının simetrik olduğu anlamına gelmez. Bu iyi bir gözlem, ama bu cevaptaki notasyon kafa karıştırıcı. İki değişkenli bir gösterimdeki verileri .

x

$x$

y

$y$

(x, y)

$(x,y)$

(x, y) = (- 4, - 1), (- 2, - 3), (0, 0), (2, 1), (4, 3)

$(x,y)=(-4,-1),(-2,-3),(0,0),(2,1),(4,3)$

— whuber

@ amoeba, ve arasındaki ilişkiye bağlıdır , eğer bağımsız veya zayıf bağımlılarsa, evet sizin gibi bir durum olabilir, ancak örneğim 2 değişken arasında güçlü bir bağımlılıktır. X inç cinsinden yükseklik ve y santimetre cinsinden yükseklik olsaydı, olası bir değerdir ve olası bir değerdir, ancak aynı nesne için aynı anda değil.

X

$X$

Y

$Y$

X = 10

$X=10$

Y = 1

$Y=1$

— Greg Snow

Yorumlar ve düzenleme ne demek istediğinizi açıklığa kavuşturdu. Teşekkürler.

— amip

Bunun genel olarak geçerli olması için X ve Y arasında bağımsızlık olduğunu varsaymanız gerekir. Sonuç doğrudan dağılımı simetrik olan simetrik fonksiyonların bir dönüşümü olduğu için doğrudan takip eder . $X-Y$

— Moormanly
kaynak