Parametrelerin tahmin edilebilirliği ile ilgili bir problem

Let $Y_1,Y_2,Y_3$ ve $Y_4$ be rasgele dört değişkenleri, bu $E(Y_1)=\theta_1-\theta_3;\space\space E(Y_2)=\theta_1+\theta_2-\theta_3;\space\space E(Y_3)=\theta_1-\theta_3;\space\space E(Y_4)=\theta_1-\theta_2-\theta_3$ , burada $\theta_1,\theta_2,\theta_3$ bilinmeyen parametrelerdir. Ayrıca $Var(Y_i)=\sigma^2$ , olduğunu varsayalım $i=1,2,3,4.$ O zaman hangisi doğrudur?

A. $\theta_1,\theta_2,\theta_3$ tahmin edilebilir.

B. $\theta_1+\theta_3$ tahmin edilebilir.

C. $\theta_1-\theta_3$ tahmin edilebilir ve $\dfrac{1}{2}(Y_1+Y_3)$ en iyi doğrusal yansız tahminidir. $\theta_1-\theta_3$

D. $\theta_2$ tahmin edilebilir.

Cevap bana garip görünen C (çünkü D'yi aldım).

Neden D aldım? Bu yana, $E(Y_2-Y_4)=2\theta_2$ .

Neden C'nin bir cevap olabileceğini anlamıyorum? Tamam, görebiliyorum, $\dfrac{Y_1+Y_2+Y_3+Y_4}{4}$ tarafsız bir tahmin olup $\theta_1-\theta_3$ , ve varyans az olan $\dfrac{Y_1+Y_3}{2}$ .

Lütfen bana nerede yanlış yaptığımı söyle.

Ayrıca buraya da gönderildi: /math/2568894/a-problem-on-estimability-of-parameters

self-study estimation inference

— Stat_prob_001
kaynak

self-studyEtiketi koyun, birisi gelsin ve sorunuzu kapatın.

— Carl

@Carl bitti ama neden?

— Stat_prob_001

Onları var kurallarını site için değil, kurallarımı, site kurallarını.

— Carl

Mı

Y_{1} \neq Y_{3}

$Y_1\neq Y_3$

— Carl

@Carl bu şekilde düşünebilirsiniz:

burada

ortalama

ve varyans

olan bir rv'dir . Ve,

ortalama bir rv olan

ve varyans

Y_{1} = θ_{1} - θ_{3} + ϵ_{1}

$Y_1=\theta_1-\theta_3+\epsilon_1$

ϵ_{1}

$\epsilon_1$

0

$0$

σ^{2}

$\sigma^2$

Y_{3} = θ_{1} - θ_{3} + ϵ_{3}

$Y_3=\theta_1-\theta_3+\epsilon_3$

ϵ_{3}

$\epsilon_3$

0

$0$

σ^{2}

$\sigma^2$

— Stat_prob_001

Yanıtlar:

Bu cevap tahmin edilebilirliğin doğrulanmasını vurgular. Minimum varyans özelliği ikincil değerlendirmemdir.

Başlamak için, bilgileri doğrusal bir modelin matris formunda aşağıdaki gibi özetleyin: burada(tahmin edilebilirliği tartışmak için küresellik varsayımı gerekli değildir.Ancak Gauss-Markov özelliğini tartışmak için kürenin küresini üstlenmemiz gerekir.).

\begin{aligned} (1) & Y := [\begin{matrix} Y_{1} \\ Y_{2} \\ Y_{3} \\ Y_{4} \end{matrix}] = [\begin{matrix} 1 & 0 & - 1 \\ 1 & 1 & - 1 \\ 1 & 0 & - 1 \\ 1 & - 1 & - 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} θ_{1} \\ θ_{2} \\ θ_{3} \end{matrix}] + [\begin{matrix} ε_{1} \\ ε_{2} \\ ε_{3} \\ ε_{4} \end{matrix}] := X β + ε, \end{aligned}

$\begin{align} Y := \begin{bmatrix} Y_1 \\ Y_2 \\ Y_3 \\ Y_4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 1 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & -1 \\ 1 & -1 & -1 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \theta_1 \\ \theta_2 \\ \theta_3 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} \varepsilon_1 \\ \varepsilon_2 \\ \varepsilon_3 \\ \varepsilon_4 \end{bmatrix}:= X\beta + \varepsilon, \tag{1} \end{align}$

E (ε) = 0, Var (ε) = σ^{2} I

$E(\varepsilon) = 0, \text{Var}(\varepsilon) = \sigma^2 I$

ε

$\varepsilon$

Tasarım matrisi ise tam sıralı, daha sonra orjinal parametre benzersiz en küçük kareler tahmin kabul . Sonuç olarak, herhangi bir parametre doğrusal bir fonksiyonu olarak tanımlanan, arasında o açık bir şekilde en küçük kareler üzerinden veri tahmin tahmin edilebileceği anlamda tahmin edilebilir olarak . $X$ $\beta$ $\hat{\beta} = (X'X)^{-1}X'Y$ $\phi$ $\phi(\beta)$ $\beta$ $\hat{\beta}$ $\hat{\phi} = p'\hat{\beta}$

İncelik tam dereceli olmadığında ortaya çıkar . Kapsamlı bir tartışma için, önce bazı gösterimleri ve terimleri düzeltiriz ( Doğrusal Modellere Koordinatsız Yaklaşım , Bölüm 4.8. Bazı terimler gereksiz teknik gibi geliyor). Ek olarak, tartışma ve ile genel doğrusal model için geçerlidir . $X$ $Y = X\beta + \varepsilon$ $X \in \mathbb{R}^{n \times k}$ $\beta \in \mathbb{R}^k$

Bir regresyon manifoldu , ortalama vektörün koleksiyon içinde değişen : $\beta$ $\mathbb{R}^k$ $M = {X β : β \in R^{k}} .$ $M = \{X\beta: \beta \in \mathbb{R}^k\}.$

Bir parametre ile fonksiyonel bir doğrusal fonksiyonel , $\phi = \phi(\beta)$ $\beta$ $ϕ (β) = p^{'} β = p_{1} β_{1} + \dots + p_{k} β_{k} .$ $\phi(\beta) = p'\beta = p_1\beta_1 + \cdots + p_k\beta_k.$

Yukarıda belirtildiği gibi, zaman , her parametre fonksiyonel tahmin edilebilir. Ancak, bekleyin, teknik olarak tahmin edilebilir terimin tanımı nedir? Biraz doğrusal cebiri rahatsız etmeden net bir tanım vermek zor görünüyor. En sezgisel olduğunu düşündüğüm bir tanım aşağıdaki gibidir (aynı referansa göre): $\text{rank}(X) < k$ $\phi(\beta)$

Tanımlama 1. parametrik bir fonksiyonel bu benzersiz belirlenir ise tahmin edilebilir anlamda her tatmin . $\phi(\beta)$ $X\beta$ $\phi(\beta_1) = \phi(\beta_2)$ $\beta_1,\beta_2 \in \mathbb{R}^k$ $X\beta_1 = X\beta_2$

Yorumlama. Yukarıdaki tanım, regresyon manifoldu parametre boşluğuna eşlemenin, bir (bir) olması gerektiğini belirtir; bu, olduğunda (yani, bire bir olduğu zaman garanti edilir . Ne zaman , biz orada var olduğunu biliyoruz şekilde $M$ $\phi$ $\text{rank}(X) = k$ $X$ $\text{rank}(X) < k$ $\beta_1 \neq \beta_2$ $X\beta_1 = X\beta_2$ . Yukarıdaki öngörülebilir tanım , doğal olarak anlamsız olan , üzerinde aynı değerle bile farklı değerlerle sonuçlanan yapısal eksik parametrik fonksiyonları geçersiz kılar. Öte yandan, bir değerli parametrik fonksiyonel durumda izin vermez ile sürece durum yerine getirilir. $M$ $\phi(\cdot)$ $\phi(\beta_1) = \phi(\beta_2)$ $\beta_1 \neq \beta_2$ $X\beta_1 = X\beta_2$

Aynı referansta verilen bir parametrik fonksiyonun tahmin edilebilirliğini kontrol etmek için başka eşdeğer koşullar da vardır, Öneri 8.4.

Böyle ayrıntılı bir arka plan tanıtımından sonra, sorunuza geri dönelim.

$\beta$ $\text{rank}(X) < 3$ $X\beta_1 = X\beta_2$ $\beta_1 \neq \beta_2$

$\phi_1(\beta) = \theta_1 + \theta_3 = (1, 0, 1)'\beta$ $\beta_1 = (0, 1, 0)'$ $\beta_2 = (1, 1, 1)'$ $X\beta_1 = X\beta_2$ $\phi_1(\beta_1) = 0 + 0 = 0 \neq \phi_1(\beta_2) = 1 + 1 = 2$

$\phi_2(\beta) = \theta_1 - \theta_3 = (1, 0, -1)'\beta$ $X\beta_1 = X\beta_2$ $\theta_1^{(1)} - \theta_3^{(1)} = \theta_1^{(2)} - \theta_3^{(2)}$ $\phi_2(\beta_1) = \phi_2(\beta_2)$

$\phi_3(\beta) = \theta_2 = (0, 1, 0)'\beta$ $X\beta_1 = X\beta_2$ $\phi_3(\beta_1) = \phi_3(\beta_2)$

$\phi(\beta)$ $\bar{Y} = (Y_1 + Y_2 + Y_3 + Y_4)/4$

$\phi(\beta) = p'\beta$ $\phi(\hat{\beta})$ $\hat{\beta}$ $X'X\hat{\beta} = X'Y$

Kanıt aşağıdaki gibidir:

$[\begin{matrix} 4 & 0 & - 4 \\ 0 & 2 & 0 \\ - 4 & 0 & 4 \end{matrix}] \hat{β} = [\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 & - 1 \end{matrix}] Y,$ $\begin{equation} \begin{bmatrix} 4 & 0 & -4 \\ 0 & 2 & 0 \\ -4 & 0 & 4 \end{bmatrix} \hat{\beta} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \\ -1 & -1 & -1 & -1 \end{bmatrix} Y, \end{equation}$ $[\begin{matrix} ϕ (\hat{β}) \\ {\hat{θ}}_{2} / 2 \\ - ϕ (\hat{β}) \end{matrix}] = [\begin{matrix} \bar{Y} \\ (Y_{2} - Y_{4}) / 4 \\ - \bar{Y} \end{matrix}],$ $\begin{equation} \begin{bmatrix} \phi(\hat{\beta}) \\ \hat{\theta}_2/2 \\ -\phi(\hat{\beta}) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \bar{Y} \\ (Y_2 - Y_4)/4 \\ -\bar{Y} \end{bmatrix}, \end{equation}$ $\phi(\hat{\beta}) = \bar{Y}$

Bu nedenle, D seçeneği tek doğru cevaptır.

Zeyilname: Tahmin edilebilirlik ve tanımlanabilirlik bağlantısı

$\phi$

AC Davison'un İstatistik Modelleri s.144 monografisine göre ,

$\theta$

$(1)$ $\text{Var}(\varepsilon) = \sigma^2 I$

\begin{matrix} (2) & E [Y] = X β, β \in R^{k} . \end{matrix}

$\begin{equation} E[Y] = X\beta, \quad \beta \in \mathbb{R}^k. \tag{2} \end{equation}$

$Y$ $\text{rank}(X) = k$ $(2)$ $\beta_1 \neq \beta_2$ $X\beta_1 \neq X\beta_2$ $(2)$

$\text{rank}(X) < k$ $\phi(\beta) = p'\beta$

$\phi(\beta)$ $(2)$ $\phi = \phi(\beta) = p'\beta$ $X$ $\phi(\beta)$ $X\beta_1 = X\beta_2$ $p'\beta_1 = p'\beta_2$ $\phi_1 = \phi_2$ $(3)$ $\phi$ $(3)$ $X\beta_1 = X\beta_2$ $\phi_1 = \phi_2$ $\phi_1(\beta) = \phi_2(\beta)$

$X$ $\beta$

$\phi_2(\beta) = \theta_1 - \theta_3$ $\phi_3(\beta) = \theta_2$ $(1)$ $(\phi_2, \phi_3)'$

E [Y] = [\begin{matrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \\ 1 & 0 \\ 1 & - 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} ϕ_{2} \\ ϕ_{3} \end{matrix}] = \tilde{X} γ .

$\begin{equation} E[Y] = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \\ 1 & 0 \\ 1 & - 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \phi_2 \\ \phi_3 \end{bmatrix} = \tilde{X}\gamma. \end{equation}$

$\tilde{X}$ $\gamma$

— Zhanxiong
kaynak

C seçeneğinin ikinci kısmı için bir provaya ihtiyacınız varsa, cevabımı tamamlayacağım.

— Zhanxiong

\frac{1}{4} (Y_{1} + Y_{2} + Y_{3} + Y_{4})

$\dfrac{1}{4}(Y_1+Y_2+Y_3+Y_4)$

(Y_{1} + Y_{2} + Y_{3} + Y_{4}) / 4

$(Y_1 + Y_2 + Y_3 + Y_4)/4$

Tanımları uygulayın.

$Y_i$

Tanımlar

t_{λ} (Y) = \sum_{i = 1}^{4} λ_{i} Y_{i}

$t_\lambda(Y) = \sum_{i=1}^4 \lambda_i Y_i$

λ = (λ_{i})

$\lambda = (\lambda_i)$

$\theta_1-\theta_3$ $\theta_1-\theta_3$

\begin{aligned} θ_{1} - θ_{3} & = E [t_{λ} (Y)] = \sum_{i = 1}^{4} λ_{i} E [Y_{i}] \\ = λ_{1} (θ_{1} - θ_{3}) + λ_{2} (θ_{1} + θ_{2} - θ_{3}) + λ_{3} (θ_{1} - θ_{3}) + λ_{4} (θ_{1} - θ_{2} - θ_{3}) \\ = (λ_{1} + λ_{2} + λ_{3} + λ_{4}) (θ_{1} - θ_{3}) + (λ_{2} - λ_{4}) θ_{2} . \end{aligned}

$\eqalign{ \theta_1 - \theta_3 &= E[t_\lambda(Y)] = \sum_{i=1}^4 \lambda_i E[Y_i]\\ & = \lambda_1(\theta_1-\theta_3) + \lambda_2(\theta_1+\theta_2-\theta_3) + \lambda_3(\theta_1-\theta_3) + \lambda_4(\theta_1-\theta_2-\theta_3) \\ &=(\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3+\lambda_4)(\theta_1-\theta_3) + (\lambda_2-\lambda_4)\theta_2. }$

$\theta_i$

\begin{matrix} (1) & λ_{2} - λ_{4} = 0 and λ_{1} + λ_{2} + λ_{3} + λ_{4} = 1. \end{matrix}

$\lambda_2-\lambda_4=0\text{ and }\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3+\lambda_4=1.\tag{1}$

$t_\lambda$

Var (t_{λ}) = \sum_{i = 1}^{4} λ_{i}^{2} Var (Y_{i}) + \sum_{i \neq j}^{4} λ_{i} λ_{j} Cov (Y_{i}, Y_{j}) .

$\operatorname{Var}(t_\lambda) = \sum_{i=1}^4 \lambda_i^2 \operatorname{Var}(Y_i) + \sum_{i\ne j}^4 \lambda_i\lambda_j \operatorname{Cov}(Y_i,Y_j).$

$Y_i$

$\operatorname{Var}(Y_i)=\sigma^2,$

\begin{matrix} (2) & Var (t_{λ}) = σ^{2} (λ_{1}^{2} + λ_{2}^{2} + λ_{3}^{2} + λ_{4}^{2}) . \end{matrix}

$\operatorname{Var}(t_\lambda) =\sigma^2(\lambda_1^2 + \lambda_2^2 + \lambda_3^2 + \lambda_4^2).\tag{2}$

$(2)$ $(1)$

Çözüm

$(1)$ $\lambda_i$ $u=\lambda_1-\lambda_3$ $v=\lambda_1+\lambda_3$ $\lambda_1$ $\lambda_3$ $\lambda_2$ $\lambda_4$ $(2)$

σ^{2} (λ_{1}^{2} + λ_{2}^{2} + λ_{3}^{2} + λ_{4}^{2}) = \frac{σ^{2}}{4} (2 u^{2} + (2 v - 1)^{2} + 1) .

$\sigma^2(\lambda_1^2 + \lambda_2^2 + \lambda_3^2 + \lambda_4^2) = \frac{\sigma^2}{4}\left(2u^2 + (2v-1)^2 + 1\right).$

$(u,v)$ $\sigma^2 \ne 0$ $u^2$ $(2v-1)^2$ $u=2v-1=0$

λ = (λ_{1}, λ_{2}, λ_{3}, λ_{4}) = (1 / 4, 1 / 4, 1 / 4, 1 / 4) .

$\lambda = (\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3,\lambda_4) = (1/4,1/4,1/4,1/4).$

Seçenek (C) yanlıştır çünkü en iyi yansız doğrusal tahmin ediciyi vermez. Seçenek (D), tam bilgi vermese de, yine de doğrudur, çünkü

θ_{2} = E [t_{(0, 1 / 2, 0, - 1 / 2)} (Y)]

$\theta_2 = E[t_{(0,1/2,0,-1/2)}(Y)]$

doğrusal bir kestirimcinin beklentisidir.

$\{\theta_2, \theta_1-\theta_3\}$ $\theta_1,\theta_3,$ $\theta_1+\theta_3$

Sonuç olarak (D) benzersiz doğru cevaptır.

— whuber
kaynak