Olayların olasılıklarının toplamı, birliklerinin olasılığına eşitse, bu olayların ayrık olduğu anlamına mı geliyor?

Aksiyomatik olarak, olasılık, üç temel varsayımı (Kolmogorov'un varsayımları) karşılarsa, her bir olay gerçek bir sayısı atayan bir işlev :P ( A ) $P$$P(A)$$A$

1. $P(A) \geq 0 \ \text{for every} A$
2. $P(\Omega) = 1$
3. $\text{If} \ A_1, A_2, \cdots \text{are disjoint, then}\\ P\left(\bigcup_{i=1}^{\infty}A_i\right) = \sum\limits_{i=1}^{\infty}P(A_i)$

Benim sorum, son varsayımda, sohbeti varsayılıyor mu? Birliklerinin olasılığını elde etmek için belirli sayıda olayın olasılığının eklenebileceğini gösterirsem, olayların ayrık olduğunu iddia etmek için bu aksiyomu doğrudan kullanabilir miyim?

Hayır, ancak paylaşılan etkinliklerin olasılığının sıfır olduğu sonucuna varabilirsiniz.

, herhangi bir için anlamına gelir . Bunu sonuçlandıramazsınız, ancak tüm için olduğu sonucuna varabilirsiniz . Paylaşılan tüm öğelerin olasılığı sıfır olmalıdır. Aynı şey tüm üst düzey kavşaklar için de geçerlidir.i ≠ j P ( A i ∩ A j ) = 0 i ≠ $A_i \cap A_j=\emptyset$$i\ne j$$P(A_i \cap A_j)=0$$i\ne j$

Başka bir deyişle, olasılık 1 ile setlerin hiçbirinin birlikte meydana gelemeyeceğini söyleyebilirsiniz. Neredeyse ayrık veya neredeyse kesinlikle ayrık denilen bu tür setleri gördüm ama bence bu tür terminoloji standart değil.

Mesela, muntazam dağılımı düşünün.

Let ve ve için .A 2 = [ 0,5 , 1 ] ∪ ( Q ∩ [ 0 , 1 ] ) A i = ∅ i > $A_1 = [0,0.5) \cup (\mathbb{Q} \cap [0,1])$$A_2=[0.5,1] \cup (\mathbb{Q} \cap [0,1])$$A_i =\emptyset$$i>2$

, P ( A 2 ) = 0.5 1 bir 1 ∩ bir 2 ≠ $P(A_1)=0.5$ ve ve eşitler, ancak ayrık değiller. .$P(A_2)=0.5$$1$$A_1 \cap A_2 \neq \emptyset$

Olasılık tedbiri ile hala kesişebilirler .$0$