Aynı dağıtım ailesinden iki Rastgele Değişkenin aynı beklentiye ve varyansa, ancak farklı daha yüksek momentlere sahip olması mümkün müdür?

12

Konum ölçeğinde ailenin anlamını düşünüyordum. Benim anlayış her için olmasıdır $X$ parametrelerle bir konum ölçek ailesinin üyesi yer ve ölçek, daha sonra dağıtım herhangi parametrelerin bağlı değildir ve her için aynı o ailesine ait. $a$ $b$ $Z =(X-a)/b$ $X$

Öyleyse sorum şu, aynı dağıtım ailesinden iki rasgele standartlaştırılan ancak aynı dağıtımla bir Rasgele Değişken ile sonuçlanmayan bir örnek verebilir misiniz?

Diyelim ki $X$ ve $Y$ aynı dağıtım ailesinden geliyorlar (ailemle birlikte örneğin hem Normal hem de Gamma vb. Demek istiyorum). Tanımlamak:

$Z_1 = \dfrac{X-\mu}{\sigma}$

$Z_2 = \dfrac{Y-\mu}{\sigma}$

ikimiz de biliyoruz ve aynı beklenti ve varyans, var . $Z_1$ $Z_2$ $\mu_Z =0, \sigma^2_Z =1$

Fakat farklı yüksek anları olabilir mi?

Bu soruya cevap verme girişimim ve dağılımının 2'den fazla parametreye bağlı olması. Ve 3 parametreli genelleştirilmiş düşünüyorum. $X$ $Y$ $t-student$

Ancak parametre sayısı ve ve aynı beklenti ve varyansla aynı dağıtım ailesinden , ve aynı dağılıma sahip olduğu anlamına mı gelir (daha yüksek anlar)? $\le2$ $X$ $Y$ $Z_1$ $Z_2$

— gioxc88
kaynak

4

Evet yapabilirler. Ancak, genelleştirilmiş bir dağıtımda en az 3 parametreye ihtiyacınız olacaktır.

— Carl

5

@Carl Bir parametre yeterli olacaktır.

— whuber

5

@Carl "Aynı dağıtım" ile ne demek istediğiniz belirsiz. Kelimenin tam anlamıyla, bu, tek bir yasaya ve dolayısıyla benzersiz bir beklentiye, benzersiz varyansa ve benzersiz anlara (tanımlandıkları ölçüde) sahip benzersiz bir dağılımı ifade eder. "Aynı dağıtım ailesi " demek istiyorsan , o zaman senin anlamın anlamsızdır, çünkü aile onu tanımladığın şeydir.

— whuber

3

@HardCore Sorunuzun yanıtlandığını düşündüğünüz için, lütfen birisi sorumu yanıtladığında ne yapmalıyım?

— Glen_b-Monica

2

@Carl Ben de cevabınızı oyladım. OP'nin kullanımı,

kavramını , ailedeki

tüm seçenekleri için aynı standart dağılıma sahip olduğu fikrini destekliyor görünmektedir . OP'nin hangi cevabı kabul ettiğini görelim (eğer OP Glen_b'nin yorumunu okur ve ona göre hareket ederse).

Z = (X - a) / b

$Z=(X-a)/b$

X

$X$

— Dilip Sarwate

7

Görünüşe göre bir dağılım ailesinin ne olduğu ve serbest artı sabit (atanmış) parametrelere karşı serbest parametrelerin nasıl sayılacağı konusunda bazı karışıklıklar var. Bu sorular OP'nin ve bu cevabın amacı ile ilgisi olmayan bir yana. Burada aile kelimesini kullanmıyorum çünkü kafa karıştırıcı. Örneğin, bir kaynağa göre bir aile , şekil parametresini değiştirmenin sonucudur. @whuber , bir ailenin "parametreleştirilmesinin", a bir alt kümesinden , her zamanki topolojisi ile, imajı o aile olan dağılım alanına sürekli bir harita olduğunu belirtir. Kelimenin amaçlanan kullanımını kapsayan kelime formunu kullanacağım $^n$ aile ve parametre tanımlama ve sayma. Örneğin, formül $x^2-2x+4$ sahiptir formu ikinci dereceden bir formül, yani, $a_2x^2+a_1x+a_0$ ve eğer $a_1=0$ , formül hala dörtgen şekilde oluşturulmuştur. Bununla birlikte, ne zaman $a_2=0$ formül doğrusaldır ve form artık ikinci dereceden bir şekil terimini içerecek kadar tam değildir. Aile kelimesini uygun bir istatistiksel bağlamda kullanmak isteyenler , bu ayrı soruya katkıda bulunmaya teşvik edilir .

"Farklı yüksek anları olabilir mi?" Sorusunu cevaplayalım. Böyle birçok örnek var. Geçerken, sorunun basit iki parametreli durumda konum ve ölçek oluşturma eğilimi olan simetrik PDF'lerle ilgili olduğunu görüyoruz. Mantık: İki özdeş (konum, ölçek) parametresine sahip farklı şekillere sahip iki yoğunluk fonksiyonu olduğunu varsayalım. Daha sonra ya şekli ayarlayan bir şekil parametresi vardır ya da yoğunluk fonksiyonlarının ortak bir şekil parametresi yoktur ve bu nedenle ortak bir formun yoğunluk fonksiyonlarıdır.

Burada, shape parametresinin nasıl şekil aldığını gösteren bir örnek. Genelleştirilmiş hata yoğunluk fonksiyonu ve burada serbestçe seçilebilen bir basıklığını sahip görünen bir cevaptır.

Skbkekas - Kendi çalışması, CC BY-SA 3.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=6057753

PDF (AKA "olasılık" yoğunluk fonksiyonu, "olasılık" kelimesinin gereksiz olduğunu unutmayın)

\frac{β}{2 α Γ (\frac{1}{β})} e^{- (\frac{| x - μ |}{α})^{β}}

$\dfrac{\beta}{2\alpha\Gamma\Big(\dfrac{1}{\beta}\Big)} \; e^{-\Big(\dfrac{|x-\mu|}{\alpha}\Big)^\beta}$

Ortalama ve konum $\mu$ , ölçek $\alpha$ ve $\beta$ şekildir. Simetrik PDF'lerin sunulmasının daha kolay olduğuna dikkat edin, çünkü bu PDF'lerde genellikle en basit iki parametre durumu olarak konum ve ölçek bulunurken, gama PDF gibi asimetrik PDF'ler en basit vaka parametreleri olarak şekil ve ölçeğe sahip olma eğilimindedir. Hata yoğunluğu fonksiyonu ile devam eden varyans $\dfrac{\alpha^2\Gamma\Big(\dfrac{3}{\beta}\Big)}{\Gamma\Big(\dfrac{1}{\beta}\Big)}$ , çarpıklık $0$ ve basıklık $\dfrac{\Gamma\Big(\dfrac{5}{\beta}\Big)\Gamma\Big(\dfrac{1}{\beta}\Big)}{\Gamma\Big(\dfrac{3}{\beta}\Big)^2}-3$ . Biz 1 olması için varyans ayarlamak Böylece, eğer o zaman değeri atamak $\alpha$ gelen $\alpha ^2=\dfrac{\Gamma \left(\dfrac{1}{\beta }\right)}{\Gamma \left(\dfrac{3}{\beta }\right)}$ $\beta>0$ değiştirirken, basıklık $-0.601114$ ile $\infty$ arasında seçilebilir.

Yani, daha yüksek dereceli anları değiştirmek istiyorsak ve ortalama sıfır ve 1 varyansını korumak istiyorsak, şekli değiştirmemiz gerekir. Bu, genel olarak 1) ortalama veya başka bir şekilde uygun yer ölçüsü, 2) varyansı veya diğer değişkenlik ölçüsünü ayarlamak için ölçek ve 3) şekil olan üç parametre anlamına gelir. Bunu yapmak için en az üç PARAMETRE gerekir.

$\beta=2$ , değişikliklerini yaparsak $\alpha=\sqrt{2}\sigma$ Yukarıdaki PDF'de, elde ediyoruz

\frac{e^{- \frac{(x - μ)^{2}}{2 σ^{2}}}}{\sqrt{2 π} σ},

$\frac{e^{-\frac{(x-\mu )^2}{2 \sigma ^2}}}{\sqrt{2 \pi } \sigma }\;,$

ki bu normal dağılımın yoğunluk fonksiyonudur. Dolayısıyla, genelleştirilmiş hata yoğunluk fonksiyonu , normal dağılımın yoğunluk fonksiyonunun genelleştirilmesidir. Normal bir dağılımın yoğunluk işlevini genelleştirmenin birçok yolu vardır. Diğer bir örnek, ancak normal dağılımın yoğunluk fonksiyonu sadece sınırlayıcı bir değer olarak ve genelleştirilmiş hata yoğunluk fonksiyonu gibi orta menzil ikame değerleri ile değil, Student's $-t$ 'nin yoğunluk fonksiyonudur. Student $-t$ yoğunluk fonksiyonunu kullanarak, daha sınırlı bir basıklık seçimine sahip oluruz ve $\textit{df}\geq2$ şekil parametresidir çünkü için ikinci moment mevcut değildir $\textit{df}<2$ . Dahası, df aslında pozitif tamsayı değerleri ile sınırlı değildir, genel olarak gerçek $\geq1$ . Öğrencinin $-t$ sınırı sadece $\textit{df}\rightarrow\infty$ olarak normalleşir , bu yüzden onu örnek olarak seçmedim. Ne iyi bir örnek ne de karşı bir örnek ve bu konuda @ Xi'an ve @whuber ile aynı fikirde değilim.

Bunu daha ayrıntılı açıklayayım. Bir örnek olarak, ortalama sıfır ve bir varyansa sahip olmak için iki parametrenin birçok keyfi yoğunluk fonksiyonundan ikisi seçilebilir. Ancak, hepsi aynı formda olmayacak. Ancak soru, SAME formunun farklı formlarla değil yoğunluk fonksiyonlarıyla ilgilidir. Hangi yoğunluk fonksiyonlarının aynı forma sahip olduğu, bu bir tanım meselesi olduğu ve benim görüşümün farklı olduğu için keyfi bir atama olduğu iddiasında bulunmuştur. Bunun keyfi olduğunu kabul etmiyorum, çünkü bir yoğunluk fonksiyonunu diğerine dönüştürmek için bir ikame yapabilir veya biri yapamaz. İlk durumda, yoğunluk fonksiyonları benzerdir ve ikame yoluyla yoğunluk fonksiyonlarının eşdeğer olmadığını gösterebilirsek, o zaman yoğunluk fonksiyonları farklı formdadır.

Bu nedenle, Student $-t$ PDF örneğini kullanarak, seçimler ya normal bir PDF'nin genelleştirilmesi olarak düşünülmelidir, bu durumda normal bir PDF'nin Student $-t$ 's PDF'si için izin verilebilir bir formu vardır , ya da değil, bu durumda Student $-t$ PDF'si normal PDF'den farklı bir formdadır ve bu nedenle sorulan soru ile ilgisi yoktur .

Bunu birçok şekilde tartışabiliriz. Benim düşüncem, normal bir PDF'nin bir Student's $-t$ PDF'sinin alt seçili bir formu olduğu , ancak normal bir PDF'nin bir gama PDF'sinin sınırlayıcı bir değeri gösterilse bile, bir gama PDF'sinin alt seçimi olmadığıdır. normal bir PDF olun ve bunun sebebi normal / Student ' $-t$ durumunda, desteğin aynı olması, ancak normal / gama durumunda, desteğin sonsuz olmasına karşı sonsuz sonsuz olması, gerekli uyumsuzluk .

— Carl
kaynak

6

(-1) Diğer yorumlarda belirtildiği gibi, sorun "dağıtım ailesi ne anlama geliyor?". Kolayca tek bir parametre ile ortalama = 0, sd = 1 olacak şekilde yeniden dağıtılmış t-dağılımları olan yeni bir "dağılım ailesi" tanımlayabilirim: df. Daha sonra 1. ve 2. momentler tüm df için eşittir, ancak farklı df değerleri için farklı daha yüksek momentlere sahiptirler.

— Cliff AB

5

Hard Core, başlığınızın kendisinin "aile" kelimesini içerdiği göz önüne alındığında, bu yorumu anlamak zordur! Dahası, bir ailenin anlamlı olduğunu inkar ederseniz, soru mantıklı değildir. Lütfen niyetinizi yansıtacak şekilde sorunuzu düzenleyerek açıklığa kavuşturun.

— whuber

5

-1 çünkü "Cevap HAYIR" diyerek başlıyorsunuz. ve sonra Evet'e etkili bir şekilde cevap veren bir örnek vermeye devam edin (başka bir örnek, kjetilbhalvorsen'in cevabında olumlu bir şekilde bahsettiğinizde verilmiştir). Bu benim için bir anlam ifade etmiyor. Sanırım buradaki matematik hepimiz için açık, bu yüzden downvote'um sadece sunumdaki tutarlılık eksikliği için.

— amip

3

Carl, soru ile Hard Core'un yorumları arasında ciddi bir tutarsızlık var. Soru açıktır: "aynı dağıtım ailesinden iki rasgele [değişken] 'in standartlaştırıldığı ancak bununla sonuçlanmayan ... Aynı değişkenli Rasgele Değişken [ler] için bir örnek sunmak. Açıkçası "aile" nin bir anlamı var. Etrafta çeşitli teknik varyantlar olmasına rağmen olağan anlam açıktır ve (kolayca gösterilebilir) doğru cevap “evet, bu tür birçok örnek var” dır.

— whuber

4

Teşekkür ederim. Açıkçası, ne hakkında yazdığınız konusunda iyi bir fikriniz var, ancak maalesef mesajınız "dağıtım", "şekil", "form" ve "parametre" nin ne anlama gelebileceği konusunda biraz karışıklık yayıyor. İnceliklerin bir örneği olarak , sıfır olmayan üçüncü merkezi anı olan herhangi bir dağıtım yasası

tarafından oluşturulan bir dağıtım ailesini düşünün . Aile iki gerçek sayı

ile endekslenir ve

yasalarından oluşur . Konum ölçeğinde bir ailedir, ancak bu yasaların şekilleri

işaretine bağlı olarak değişir .

F

$F$

(μ, σ \neq 0)

$(\mu,\sigma\ne 0)$

x \to F (σ x + μ)

$x\to F(\sigma x+\mu)$

σ

$\sigma$

— whuber

17

"Resmi olarak adlandırılmış parametreli dağıtım ailesi olan bir örnek istiyorsanız, genelleştirilmiş gama dağıtımına bakabilirsiniz, https://en.wikipedia.org/wiki/Generalized_gamma_distribution . Bu dağıtım ailesinin üç parametresi vardır, yani wiki sayfasından cebir davetkar görünmüyor, sayısal olarak yapmayı tercih ediyorum. İstatistiksel uygulamalar için bu sitede gamın bir uzantısı olan (genelleştirilmiş katkı maddesi) kendi içinde glm'lerin genelleştirilmesi) "konum, ölçek ve şekil" parametrelerine sahiptir.

Başka bir örnek, yer ölçeğinde bir aile olarak genişletilen $t$ dağılımlarıdır. Daha sonra üçüncü parametre, sabit bir konum ve ölçek için şekli uyanacak olan serbestlik dereceleri olacaktır.

— kjetil b halvorsen
kaynak

1

Her ne kadar genelleştirilmiş hata dağılımı daha iyi bir seçim olabilir.

— Carl

2

Cevabınız için çok teşekkür ederim!! Carl'ın birini seçiyorum çünkü daha ayrıntılı ama bu da iyiydi ... çok teşekkür ederim !!!

— gioxc88

14

Ortalama sıfır ve varyans biriyle sonsuz sayıda dağılım vardır, bu nedenle bu dağılımlardan birinden alır , örneğin bu dağılımlardan bir diğerinden ve , Öğrencinin 54 derece ile özgürlük I tarafından yeniden $\epsilon_1$ $\mathcal{N}(0,1)$ $\epsilon_2$ $t$ böylece varyansı birdir, sonra $\sqrt\frac{1}{3}$ bahsettiğiniz özelliklerin tadını çıkarın. "Parametre sayısı" özelliği ile ilgisizdir.

X = μ + σ ϵ_{1} and Y = μ + σ ϵ_{2}

$X=\mu+\sigma\epsilon_1\qquad\text{and}\qquad Y=\mu+\sigma\epsilon_2$

Açıkçası, bu ailenin tanımına, sabit bir yoğunluğa var olduğu, örneğin belirterek gibi başka kurallar ayarlarsanız yoğunluğu öyle ise $f$ $X$ olası tek bir dağılımla sonuçlanabilir.

\frac{1}{σ^{d}} f ({x - μ} / σ)

$\frac{1}{\sigma^d} f(\{x-\mu\}/\sigma)$

— Xi'an
kaynak

Cevabınız için teşekkür ederim ama istediğim bu olmadığını düşünüyorum

— gioxc88

6

Ben dağılımların aile dağılımları hem birleşme ile tanımlanır çünkü eğer öyle düşünüyorum

'in ve

' s, o zaman mülke bir çelişki var. Bir “dağılım ailesi” oldukça belirsiz bir kavramdır.

X

$X$

Y

$Y$

— Xi'an

evet aslında oldukça belirsiz ama soruma okursanız ben mesela böylece normal bir diğeri ile diğerlerine ibret .. t öğrenci Normal ya da her ikisi Gamma ve her iki ortalama aile ile bu bağlamda yazdı

— gioxc88

4

Hard Core, bir ailenin adını konseptiyle karıştırıyor gibisiniz . Bu cevap iyi bir cevaptır ve kavramı güzel bir şekilde göstermektedir. Sorunuz, çözümün konum ölçeğinde bir aile olmasını istemiyor. Eğer bir tane olmanız gerekiyorsa, her zaman bu yanıtı veya başka bir yanıtı alabilir ve keyfi çevirilere ve yeniden ölçeklendirmelere izin vererek konum ölçeğinde bir aileye uzatabilirsiniz. Xi'an'ın parametre sayısı hakkındaki tutumu hala devam ediyor.

— whuber

@whuber Bence bir cevap olarak karışık. Student's-t,

aşırı cevabını kullanmak ve bunu belirtmekten ziyade tek başına daha iyi bir cevap olacaktır . Gerçekten de, bir

üçüncü bir parametredir.

d f = 3, \infty

$df=3,\infty$

d f

$df$

— Carl

6

Aynı konum ölçeği ailesinden gelen iki rastgele değişkenin aynı ortalamaya ve varyansa sahip olup olmadığını, ancak en az bir farklı daha yüksek bir an olup olmadığını sorduğunuzu düşünüyorum. Cevap hayır.

Korumalı : Let ve , iki rasgele değişkenler. Yana ve , aynı yer ölçekli aile içinde, rastgele değişken vardır ana kadar ve gerçek sayılar , öyle ki ve $X_1$ $X_2$ $X_1$ $X_2$ $X$ $a_1>0, a_2>0, b_1, b_2$ $X_1 \stackrel{d}{=} a_1 X + b_1$ . Yana ve aynı ortalama ve varyans var elimizde: $X_2 \stackrel{d}{=} a_2 X + b_2$ $X_1$ $X_2$

. $E[X_1] = E[X_2] \implies a_1 E[X] + b_1 = a_2 E[X] + b_2$
. $\operatorname{Var}[X_1] = \operatorname{Var}[X_2] \implies a_1^2 \operatorname{Var}[X] = a_2^2 \operatorname{Var}[X]$

Eğer , o zaman olasılık ile , ve bu nedenle daha yüksek anları ve , tüm eşittir. Bu yüzden olduğunu varsayabiliriz . Bunu kullanarak, (2) . Dan beri $\operatorname{Var}[X] = 0$ $X_1=E[X_1]=X_2=E[X_2]$ $1$ $X_1$ $X_2$ $\operatorname{Var}[X] \neq 0$ $|a_1|=|a_2|$ ve , biz aslında o sahip . Buna karşılık, yukarıdaki (1) şimdi olduğunu ima eder. Bu nedenle, bu sahiptir: $a_1>0$ $a_2>0$ $a_1=a_2$ $b_1=b_2$ herhangi , örneğin, her dakika ve , tüm eşittir.

E [X_{1}^{k}] = E [(a_{1} X + b_{1})^{k}] = E [(a_{2} X + b_{2})^{k}] = E [X_{2}^{k}],

$E[X_1^k] = E[(a_1X+b_1)^k] = E[(a_2X+b_2)^k] = E[X_2^k],$

k

$k$

X_{1}

$X_1$

X_{2}

$X_2$

— YYZZ
kaynak

1

(+1) Bu cevapta hata bulamıyorum. Görünüşe göre birisi yapar ve benim de hata bulurlar. Bu açıklanamayan davranışı anlamıyorum.

— Carl

5

@Carl Bu cevap yanlış - bu yüzden aşağı indiriliyor. Xi'an zaten bir karşı örnek sağlamıştır.

— whuber

1

@whuber Lütfen Xi'an'ın cevabı altındaki yorumlarıma bakın. Onunla hemfikir değilim, ama aşağı doğru itmedim, çünkü yanlış olduğunu düşünsem bile, hem o hem de sizin fikriniz var.

— Carl

8

@Carl Bu cevabı tekrar okuduktan sonra, orijinal değerlendirmemi geri çekmem gerekiyor: bu cevap doğrudur (ve bunun için +1) ve doğrudur çünkü orijinal soruyu nasıl yorumladığını açıkça açıklar. (Özellikle, tüm çevirileri ve olumlu yeniden ölçeklendirmeleriyle birlikte tek bir standart dağıtımdan oluşan ortak ama dar bir "konum ölçeği ailesi" kavramı vardır .) Bence asıl sorunun biraz farklı bir şey sorması amaçlandı; bu inancın temeli yazıdaki ikiden fazla parametreye yapılan göndermedir.

— whuber

2

Çok net olmasaydım üzgünüm ve bunu incelemek için harcadığınız zaman için teşekkür ederim ama istediğim bu değil.

— gioxc88

1

Soru çok yönlü şekillerde yorumlanabildiğinden, bu cevabı iki bölüme ayıracağım.

C: dağıtım aileleri.
B: konum ölçeğinde dağılım aileleri.

A vakası ile ilgili problem, şekil parametresi olan birçok aile tarafından kolayca cevaplanabilir / gösterilebilir.

$\mathbb{R}$ $\mathbb{R_{>0}}$

C: Aynı 2 parametre dağıtım ailesinden iki farklı dağılım aynı ortalamaya ve varyansa sahip olabilir mi?

Cevap evettir ve açık bir şekilde bahsedilen örneklerden biri kullanılarak zaten gösterilebilir: normalize edilmiş Gama dağılımı

Normalize edilmiş gamma dağılımı ailesi

$Z = \frac{X-\mu}{\sigma}$ $X$ $Z$

F_{Z} (z; k) = {\begin{cases} 0 & if & z < - \sqrt{k} \\ \frac{1}{Γ (k)} γ (k, z \sqrt{k} + k) & if & z \geq - \sqrt{k} \end{cases}

$F_Z(z;k) = \begin{cases} 0 & \quad \text{if} & z < -\sqrt{k}\\ \frac{1}{\Gamma(k)} \gamma(k, {z\sqrt{k}+k}) & \quad \text{if} & z \geq -\sqrt{k} \end{cases}$

$\gamma$

$Z_1$ $Z_2$ $\mu=0$ $\sigma=1$ $k$

B: Aynı 2 parametreli konum ölçeği dağıtım ailesinden iki farklı dağılım aynı ortalamaya ve varyansa sahip olabilir mi?

Sadece pürüzsüz aileleri düşünürsek cevabın hayır olduğuna inanıyorum (pürüzsüz: parametrelerde küçük bir değişiklik, dağıtım / fonksiyon / eğri üzerinde küçük bir değişiklikle sonuçlanacaktır). Ancak bu cevap o kadar da önemsiz değildir ve daha genel (düzgün olmayan) aileler kullandığımızda, evet diyebiliriz , ancak bu aileler sadece teoride mevcuttur ve pratik bir ilgileri yoktur.

Çeviri ve ölçekleme yoluyla tek bir dağıtımdan konum ölçeği ailesi oluşturma

$f(x)$

f (x; μ, σ) = \frac{1}{σ} f (\frac{x - μ}{σ})

$f(x;\mu,\sigma) = \frac{1}{\sigma}f(\frac{x-\mu}{\sigma})$

Bu şekilde oluşturulabilecek konum ölçeğinde bir aile için:

$f(x;\mu_1,\sigma_1)$ $f(x;\mu_2,\sigma_2)$ $f(x;\mu_1,\sigma_1) = f(x;\mu_2,\sigma_2)$

Her iki parametre konum ölçeği ailesi için, üye dağıtımları çeviri ve ölçeklendirme yoluyla tek bir üye dağıtımından oluşturulabilir mi?

$\theta_1$ $\theta_2$ $\mu$ $\sigma$

Normal dağılım ailesi gibi iki parametreli konum ölçeğinde aileler için, yukarıdaki işleme göre üretilebileceklerini göstermek çok zor değildir (tek örnek elemanın ölçeklendirilmesi ve çevrilmesi).

Çeviri ve ölçeklendirme ile her iki parametre konum ölçeği ailesinin tek bir üyeden üretilip üretilemeyeceğini merak edebiliriz . Ya da çelişkili açıklama: "? İki parametre yeri ölçekli aile aynı ortalama ve varyans ile iki farklı üye dağılımları içerebilir" kendisi için olurdu gerekli aile birliği olduğunu birden her çeviri tarafından oluşturulan alt familya ve ölçekleme.

Durum 1: Genelleştirilmiş Student t-dağılımları ailesi, iki değişkenle parametrelendirildi

bazı haritalamalar yaptığımızda, anlaşmalı bir örnek ortaya çıkıyor $R^2$ $R^3$ $\theta_1$ $\theta_2$

Genelleştirilmiş (üç parametre) Student t-dağılımını kullanalım:

$f(x;\nu,\mu,\sigma) = \frac{\Gamma \left( \frac{\nu + 1}{2} \right) }{\Gamma \left( \frac{\nu}{2} \right) \sqrt{\pi\nu}\sigma} \left(1 + \frac{1}{\nu} \left( \frac{x-\mu}{\sigma} \right)^2 \right)^{-\frac{\nu+1}{2}}$

\begin{array}{rcl} μ & = & taba rengi (θ_{1}) \\ σ & = & θ_{2} \\ ν & = & ⌊ 0.5 + θ_{1} / π ⌋ \end{array}

$\begin{array}{rcl} \mu &=& \tan (\theta_1)\\ \sigma &=& \theta_2\\ \nu &=& \lfloor 0.5+\theta_1/\pi \rfloor \end{array}$

o zaman sahibiz

$f(x;\theta_1,\theta_2) = \frac{\Gamma \left( \frac{\lfloor 0.5+\theta_1/\pi \rfloor + 1}{2} \right) }{\Gamma \left( \frac{\lfloor 0.5+\theta_1/\pi \rfloor}{2} \right) \sqrt{\pi\lfloor 0.5+\theta_1/\pi \rfloor}\theta_2} \left(1 + \frac{1}{\lfloor 0.5+\theta_1/\pi \rfloor} \left( \frac{x-\tan(\theta_1)}{\theta_2} \right)^2 \right)^{-\frac{\lfloor 0.5+\theta_1/\pi \rfloor+1}{2}}$

yalnızca tek bir üyenin çevirisi ve ölçeklendirmesi ile oluşturulamayan (çok yararlı olmasa da) iki parametreli konum ölçeğinde bir aile olarak düşünülebilir.

Durum 2: Sıfır olmayan eğrili tek bir dağılımın negatif ölçeklendirilmesiyle oluşturulan konum ölçeğinde aileler

Bu tan fonksiyonunu kullanmaktan daha az anlaşılır bir örnek Whuber tarafından Carl'ın cevabının yorumları altında verilmiştir. Bir ailemiz olabilir $x \mapsto f(x/b + a)$ nerede işaretini çevirme $b$ ortalama ve varyansı değişmeden tutar, ancak muhtemelen düzensiz yüksek anları değiştirir. Böylece bu, aynı ortalamaya ve varyansa sahip üyelerin farklı yüksek dereceli momentlere sahip olabileceği iki parametreli bir konum ölçeği ailesi sağlar. Whuber'den gelen bu örnek, her biri çeviri ve ölçeklendirme yoluyla tek bir üyeden oluşturulabilen iki alt aileye ayrılabilir.

Pürüzsüz aileler

Tek bir pürüzsüz iki parametre dağıtım ailesi (pürüzsüz: parametrelerde küçük bir değişiklik, bir şekilde çeviri tarafından üretilen iki veya daha fazla ailenin bir bileşimini oluşturarak küçük bir dağılım / işlev / eğri değişikliği ile sonuçlanır) ve ölçekleme, daha sonra iki parametrenin hem 'ortalama' hem de 'varyans' varyasyonunu hem de üçüncü parametre 'şekil' varyasyonunu kapsaması sorunlara giriyoruz. Resmi bir kanıt, sorunun cevabı ile aynı çizgide ilerlemek zorunda kalacaktır: Düzgün bir amaç fonksiyonu var mı $f:\mathbb{R}^2 \mapsto \mathbb{R}^3$ ? ( Peano eğrileri gibi işi yapacak sürekli işlevler olmasına rağmen, pürüzsüz , yani kademesiz olarak ayırt edilebilir durumlarda cevap hayır olduğunda ).

Sezgi: Bazı parametreler olacağını düşünün $\theta_1$ , $\theta_2$ bazı konum ölçekli dağıtım ailede dağılımlarını açıklamak ve hangi biz ortalama ve varyans değiştirebileceği sıra diğer bazı anlarda olarak, o zaman ifade etmek gerekir $\theta_1$ , $\theta_2$ , ortalama olarak $\mu$ ve varyans $\sigma$

\begin{array}{rcl} θ_{1} & = & f_{θ_{1}} (μ, σ) \\ θ_{2} & = & f_{θ_{2}} (μ, σ) \end{array}

$\begin{array}{rcl} \theta_1 &= &f_{\theta_1}(\mu,\sigma) \\ \theta_2 &=& f_{\theta_2}(\mu,\sigma)\end{array}$

ancak bunların çok değerli fonksiyonlar olması gerekir ve bunlar sürekli geçişler yapamaz, farklı değerler $f_{\theta_1}(\mu,\sigma)$ belirli için $\mu$ ve $\sigma$ sürekli değildir ve sürekli bir şekil parametresini modelleyemez.

Aslında bu son kısımdan o kadar emin değilim. Tek bir parametreye sahip olmak için boşluk doldurma eğrisi (hiper küpün koordinatlarına eğri üzerindeki koordinatların nasıl ifade edileceğini bilseydik Peano eğrisi gibi) kullanabilirdik. $\theta_1$ parametre ve parametrenin küçük bir değişikliğinden vazgeçmeden ortalama ve varyans gibi çoklu özellikleri tamamen modelleyin $\theta_1$ küçük bir işlev değişikliğine eşdeğerdir $f(x;\theta_1)$ Her $x$

— Sextus Empiricus
kaynak

1

İlk tanımlardan sonra okumayı bıraktım çünkü çok belirsiz ve çelişkili. "Entegrasyon" ile, elbette , $x$ bir tek. Tarafından "

f,

$f,$ "Olsa da, sen gerekir , CDF ve PDF ortalama bölünme yoluyla çünkü

b \neq 1

$b\ne 1$ integrali değiştirir. Nasıl yapılacağı konusunda herhangi bir kısıtlama getirmemek

f

$f$ ile değişebilir

θ

$\theta$ Ayrıca normalden çok daha geniş bir "aile" kavramı benimsiyorsunuz. Sadece bu bir "haritadan

R^{2}

$R^2$ için

R^{3} .

$R^3.$ "Bu" haritaların "sorunu, sürekli olamayacakları ve hiçbir istatistiksel anlamı olmayacaklarıdır.

— whuber

2

Basitliğe veya dile değil, ekilen kafa karışıklığına itiraz ediyorum. Sizinle ilgili sorun

R^{2} \to R^{3}

$R^2\to R^3$ harita, aileye neden ilave matematiksel yapı - uygun bir topoloji - dayatmanız gerektiğini gösterir. Dağıtımların böyle (şiddetli) süreksiz bir şekilde değişmesine izin vermek

θ

$\theta$ sadece pratik ve anlamsız olmakla kalmaz, aynı zamanda yararlı yöntemleri ve teoremleri iyi bir sebep olmadan geçersiz kılar. Örneğin, MLE neredeyse her zaman dağılımın değişkenlik gösterdiği varsayımı altında gerçekleştirilir.

θ

$\theta$ parça parça ayırt edilebilir şekilde.

— whuber

1

İkinci madde işareti yanlış: ne varsayımların hiçbirini izliyor ne de konum ölçeğinde bir aile tanımının bir parçası değil.

— whuber

1

Bu son derece kafa karıştırıcı çünkü şimdi tüm referanslar

θ_{i}

$\theta_i$ gereksiz. Şimdi ifadenizdeki nicelleştiricilerin, sahip olduğunuz fikri doğru bir şekilde aktarmayabileceğine inanıyorum. Neden sadece

θ_{i}

$\theta_i$ ve sadece ailenin bir dizi dağıtımdan oluştuğunu belirtin

x \to F (b x + a)

$x \to F(bx + a)$ verilen biri için

F

$F$ ve tüm

(a, b) \in R^{2}

$(a,b)\in\mathbb{R}^2$ ile

b > 0

$b\gt 0$ ? Ortalamalara ve varyanslara da başvurmaya gerek yok - bu sadece gerekli olmayan temel fikirden bir sapma,

F

$F$ anlar yaşamaya.

— whuber

1

@whuber, tek bir örnekten konum ölçeğinde aile oluşturuyorsanız, aslında kullanımı çok daha kolay görünüyor

μ

$\mu$ ve

σ

$\sigma$ . Ancak burada, bazı alternatifler tarafından parametrelenen bir eğri ailesine sahip olduğumuzu hayal ediyorum

θ_{1}

$\theta_1$ ve

θ_{2}

$\theta_2$ ve böyle bir ailenin bir üyeyi ölçeklendirerek oluşturulan eğrilerden daha fazla eğri içermesinin mümkün olup olmadığını merak ediyorum.

μ

$\mu$ ve

σ

$\sigma$ (tanjantla dönüşümde olduğu gibi). Formülasyonu bir şekilde tekrar değiştirip değiştiremeyeceğimi göreceğim (fikre mi yoksa formülasyona katılmıyor musunuz?).

— Sextus Empiricus