Matérn kovaryans fonksiyonunun mantığı nedir?

Matérn kovaryans işlevi Gauss Süreci'nde yaygın olarak çekirdek işlevi olarak kullanılır. Bu şekilde tanımlanır

$${\displaystyle C_{\nu }(d)=\sigma ^{2}{\frac {2^{1-\nu }}{\Gamma (\nu )}}{\Bigg (}{\sqrt {2\nu }}{\frac {d}{\rho }}{\Bigg )}^{\nu }K_{\nu }{\Bigg (}{\sqrt {2\nu }}{\frac {d}{\rho }}{\Bigg )}}$$

burada $d$ bir mesafe fonksiyonu (Öklid mesafesi gibi), $\Gamma$ gama fonksiyonudur, $K_\nu$ ikinci türün değiştirilmiş Bessel fonksiyonudur, $\rho$ ve $\nu$ pozitif parametrelerdir. $\nu$ seçilmiş çok zaman$\frac{3}{2}$ veya$\frac{5}{2}$ pratikte.

Bu çekirdek, daha az düzgün olduğu için standart Gauss çekirdeğinden daha iyi çalışır, ancak bunun dışında, birinin bu çekirdeği tercih etmesinin başka bir nedeni var mı? Nasıl davrandığıyla ilgili bazı geometrik sezgiler veya görünüşte şifreli formülün bazı açıklamaları çok takdir edilecektir.

@DahnJahn'ın güzel cevabına ek olarak, Bessel ve gama fonksiyonlarının nereden geldiğini biraz daha söylemeye çalışacağımı düşündüm. Kovaryans fonksiyonuna ulaşmak için bir başlangıç ​​noktası Bochner teoremidir.

Teorem (Bochner) Sürekli durağan fonksiyon , yalnızca ˜ k sonlu pozitif ölçünün Fourier dönüşümü ise pozitif tanımlıdır: ˜ k ( t ) = ∫ R e - i ω t d µ ( ω$k(x, y) = \widetilde{k}(|x − y|)$$\widetilde{k}$

$$\widetilde{k}(t) = \int_{\mathbb{R}} e^{−iωt}dµ(ω)$$

Bundan Matérn kovaryans matrisinin Fourier dönüşümü olarak türetildiğini (Kaynak). Hepsi bu iyi ama gerçekten bize tarafından verilen bu sonlu pozitif ölçüye nasıl geldiğini anlatmaz$\frac{1}{(1+\omega^2)^p}$ . Stokastik birf(x)işleminin (güç) spektral yoğunluğu.$\frac{1}{(1+\omega^2)^p}$$f(x)$

Hangi stokastik süreç? Bu rasgele bir işlem olduğu bilinmektedir bir Matern kovaryans fonksiyonlu stokastik kısmi diferansiyel denkleme bir çözeltidir: (SPDE) ( κ 2 - Δ ) α / 2 x ( s ) = φ W ( s ) , burada W, ( ler ) birim varyanslı Gauss beyaz gürültüsüdür, Δ = d ∑ i = 1 ∂ $\mathbb{R}^d$

$$(κ^2 − ∆)^{α/2} X(s) = φW(s),$$ $W(s)$ Laplace operatörü veα=ν+d/2(Bu olduğunu düşünüyorumCressie ve Wikle). $$\Delta = \sum_{i=1}^d \frac{\partial^2}{\partial x^2_i}$$ $α =ν + d/2$

Neden bu özel SPDE / stokastik süreci seçmelisiniz? Kökeni en basit ve iyi çalışır doğal kovaryans olduğunu savundu uzaysal bir istatistikte ise :$\mathbb{R}^2$

Üstel korelasyon fonksiyonu, bir Markov sürecine karşılık geldiği için bir boyutta doğal bir korelasyondur. Üstel jeoistatistiksel çalışmada ortak bir korelasyon fonksiyonu olmasına rağmen, iki boyutta artık böyle değildir. Whittle (1954), Laplace tipinin stokastik diferansiyel denklemine karşılık gelen korelasyonu belirledi:

buradaϵbeyaz gürültüdür. Karşılık gelen ayrık kafes işlemi, ikinci dereceden bir otoregresyondur. (Kaynak)

$$\left[ \left(\frac{\partial}{\partial t_1}\right)^2 + \left(\frac{\partial}{\partial t_2}\right)^2 - \kappa^2 \right] X(t_1, t_2) = \epsilon(t_1 , t_2)$$ $\epsilon$

Matern denklem ile ilişkili SDE dahil işlemlerin ailesi bulunmaktadır Brown hareketi gören bir parçacığın hızının Ornstein-Uhlenbeck modeli. Daha genel olarak, sen bir aile için bir güç spektrumu tanımlayabilir bir R ( s ) her tam sayı için işlemler p de Matern aile kovaryans sahiptir. Bu Rasmussen ve Williams'ın ekinde.$AR(1)$$AR(p)$$p$

Bu kovaryans işlevi Matérn küme işlemi ile ilgili değildir.

Referanslar

Cressie, Noel ve Christopher K. Wikle. Uzamsal-zamansal veriler için istatistikler. John Wiley ve Oğulları, 2015.

Guttorp, Peter ve Tilmann Gneiting. "Olasılık ve istatistik tarihinde çalışmalar XLIX Matern korelasyon ailesi üzerinde." Biometrika 93.4 (2006): 989-995.

Rasmussen, CE ve Williams, Makine Öğrenimi için CKI Gauss Süreçleri. MIT Press, 2006.

Bilmiyorum, ama bu soruyu çok ilginç buldum ve işte biraz okuduktan sonra aldım.

$\nu$$\nu = 5/2$

$$C_{5/2}(d) = \sigma^2\left(1 + \frac{\sqrt 5 d}{\rho} + \frac{5d^2}{3\rho^2} \right) \exp \left(- \frac{\sqrt 5 d}{\rho}\right)$$ $\nu \to \infty$$C_\nu$ $$\lim_{\nu \to \infty} C_\nu(d) = \sigma^2 \exp \left( -\frac{d^2}{2\rho^2}\right)$$ $\nu = 1/2$ $$C_{1/2}(d) = \sigma^2 \exp\left( -\frac{d}{\rho} \right)$$

$\nu$$\lceil \nu \rceil -1$

Bu, Rasmussen & Williams (2006) tarafından çekilmiş bir resimde oldukça güzel bir şekilde gösteriliyor.

Gelen Mekansal Verilerin İnterpolasyon , (aslında Matern kovaryans fonksiyonun adı önerilen) Stein, iddia (s. 30), Gauss kovaryans fonksiyonunun sonsuz Diferensiyellenebilirliğin sadece küçük sürekli kısmını gözlemleyerek, çünkü fiziksel işlemler için gerçekçi sonuç verdiği uzay / zaman, teorik olarak, bütün fonksiyonu vermelidir. Böylece Matérn versiyonunu fiziksel süreçleri daha gerçekçi bir şekilde eşleştirebilen bir genelleme olarak önerdi.

özet

$\nu$

$\nu$