Standart hata ve standart sapma arasındaki fark

Standart hata ile standart sapma arasındaki farkı anlamakta güçlük çekiyorum. Nasıl farklılar ve neden standart hatayı ölçmeniz gerekiyor?

$\sigma \, / \, \sqrt{n}$$\sigma$

İşte daha pratik (matematiksel olmayan) bir cevap:

• SD (standart sapma) saçılımı ölçer - değerlerin birbirinden ne kadar değiştiği.
• SEM (ortalamanın standart hatası), popülasyonun gerçek ortalamasını ne kadar tam olarak bildiğinizi belirler. Hem SD'nin değerini hem de örneklem boyutunu dikkate alır.
• Hem SD hem de SEM aynı birimdedir - veri birimleri.
• SEM, tanımı gereği, her zaman SD'den daha küçüktür.
• SEM, numuneleriniz büyüdükçe küçülür. Bu mantıklıdır, çünkü büyük bir numunenin ortalaması gerçek popülasyon ortalamasına küçük bir numunenin ortalamasına göre daha yakındır. Çok büyük bir örneklemle, veriler çok dağınık olsa bile ortalamanın değerini çok hassas bir şekilde bilirsiniz.
• Daha fazla veri elde ettikçe SD tahmin edilebileceği gibi değişmiyor. Bir örnekten hesapladığınız SD, toplam popülasyonun SD'sinin mümkün olan en iyi tahminidir. Daha fazla veri topladıkça, nüfusun SD'sini daha kesin bir şekilde değerlendirirsiniz. Ancak daha büyük bir numuneden elde edilen SD'nin küçük bir numuneden elde edilen SD'den daha büyük veya daha küçük olacağını tahmin edemezsiniz. (Bu bir basitleştirme, oldukça doğru değil. Aşağıdaki yorumlara bakınız.)

Standart hataların, yalnızca ortalamadan değil, verilerden hesapladığınız hemen hemen tüm parametreler için hesaplanabileceğini unutmayın. "Standart hata" ifadesi biraz belirsizdir. Yukarıdaki noktalar sadece ortalamanın standart hatasını gösterir.

( Yazdığım GraphPad İstatistik Kılavuzundan .)

$\theta$$\mathbf{x} = \{x_1, \ldots, x_n \}$$\theta$$\hat{\theta}(\mathbf{x})$$\hat{\theta}(\mathbf{x})$$\mathbf{x}$$\tilde{\mathbf{x}}$$\hat{\theta}(\tilde{\mathbf{x}})$$\hat{\theta}(\mathbf{x})$$\hat{\theta}$$\hat{\theta}(\mathbf{x})$$\hat{\theta}$

(sorgulayıcının da olduğuna inandığım ortalamanın standart hatasına odaklandığımı, ancak herhangi bir örnek istatistik için standart bir hata oluşturabileceğinizi unutmayın)

Standart hata, standart sapma ile ilgilidir, ancak aynı şey değildir ve numune büyüklüğünün artması onları birbirine daha da yakınlaştırmaz. Aksine, onları daha uzak yapar. Numunenin standart sapması, numune büyüklüğü arttıkça standart hatayla popülasyon standart sapmasına yaklaşır.

Bazen bunun etrafındaki terminoloji geçmesi biraz kalın.

Bir örnek topladığınızda ve o numunenin standart sapmasını hesapladığınızda, örnek büyüklük arttıkça standart sapmanın tahmini daha fazla ve doğru olur. Sorunuzdan, düşündüğünüz şey buydu. Fakat aynı zamanda, örneklemin ortalamasının, ortalama olarak nüfus ortalamasına daha yakın olma eğiliminde olduğunu düşünün. Bu standart hatayı anlamak için kritik öneme sahiptir.

Standart hata, belirli bir boyutta birden fazla örnek elde ederseniz ne olacağı ile ilgilidir. 10 örnek alırsanız ortalamanın bir tahminini alabilirsiniz. Ardından, 10 ve yeni ortalama tahmininin bir başka örneğini alırsınız. Bu örneklerin araçlarının standart sapması standart hatadır. Sorunuzu ortaya attığınızdan, muhtemelen N'nin yüksek olması durumunda standart hatanın daha küçük olduğunu, çünkü örneklerin araçlarının gerçek değerden daha fazla sapma ihtimalinin daha düşük olacağına dair muhtemelen şimdi görebilirsiniz.

Bazılarına bunu bir örnekle hesapladığın için biraz mucizevi geliyor. Yani, yapabileceğiniz şey, ilişkiyi göstermek için simülasyon yoluyla standart bir hatayı önyüklemek. R'de şöyle görünürdü:

# the size of a sample
n <- 10
# set true mean and standard deviation values
m <- 50
s <- 100

# now generate lots and lots of samples with mean m and standard deviation s
# and get the means of those samples. Save them in y.
y <- replicate( 10000, mean( rnorm(n, m, s) ) )
# standard deviation of those means
sd(y)
# calcuation of theoretical standard error
s / sqrt(n)

Bu son iki komutun aynı sayıyı ürettiğini göreceksiniz (yaklaşık olarak). N, m ve s değerlerini değiştirebilirsiniz; bunlar her zaman birbirlerine oldukça yakın görünürler.