Dirençlerin paralel olarak varyansı

10

Her biri ortalama μ ve varyans σ ile dağıtılan bir dizi R direnciniz olduğunu varsayalım.

Aşağıdaki düzende bir devrenin bir bölümünü düşünün: (r) || (r + r) || (R + R + r). Her parçanın eşdeğer direnci r, 2r ve 3r'dir. Her bölümün varyansı daha sonra $σ^2$ , $2σ^2$ , $3σ^2$ .

Tüm devrenin direncindeki varyans nedir?

Birkaç milyon nokta sonra varyansın yaklaşık olduğunu bulduk $.10286\sigma^2$ .

Bu sonuca analitik olarak nasıl ulaşabiliriz?

Düzenleme: Direnç değerlerinin normalde bazı ortalama direnç r ve varyans ile dağıtıldığı varsayılır $σ^2$ .

probability sampling variance

— lrAndroid
kaynak

1

Bunun başlangıç için uygun bir model olduğuna ikna olmadım. Nyquist-Johnson termal devre gürültüsü teorisini biliyor musunuz ? Kasten farklı bir şey yapıyorsanız, motivasyonu görmek ilginç olurdu. Aksi takdirde, daha standart bir model düşünmeye değer olabilir. :)

— kardinal

Evet, bir cevap girişimimi yazarken, modelin ortaya çıktığı gibi izlenebilir olmadığını da fark ettim. Bununla birlikte, bunu pratik bir sorundan ziyade akademik bir sorun olarak düşündüm (sonuçta simülasyon yapıyorlar).

— Néstor

Sigma varyans olarak sahip olduğum için özür dilerim, başlangıçta VAR kullandım ve birisi sigma için düzenledi.

— lrAndroid

Güncelleme için teşekkürler. Sorunuza biraz daha eklemeye hazırsanız, hala bu sorunun arkasındaki motivasyonla ilgileniyorum. :)

— kardinal

9

Tüm devrenin eşdeğer direnci çözer Biri , bazı bağımsız rasgele değişkenler ortalanmış ve varyans ile . $R$

\frac{1}{R} = \sum_{i = 1}^{3} \frac{1}{R_{i}} .

$\frac1R=\sum_{i=1}^{3}\frac{1}{R_i}.$

R_{i} = i μ + σ \sqrt{i} Z_{i}

$R_i=i\mu+\sigma\sqrt{i}Z_i$

Z_{i}

$Z_i$

1

$1$

Daha fazla endikasyon olmadan, varyansını hesaplayamaz , bu nedenle daha ileri gitmek için rejimini Ardından, bu nedenle burada Bir görür Ayrıca, Böylece, sınırında $R$

σ ≪ μ .

$\color{red}{\sigma\ll\mu}.$

\frac{1}{R_{i}} = \frac{1}{i μ} - \frac{σ}{μ^{2}} \frac{Z_{i}}{i \sqrt{i}} + higher order terms,

$\frac{1}{R_i}=\frac1{i\mu}-\frac{\sigma}{\mu^2}\frac{Z_i}{i\sqrt{i}}+\text{higher order terms},$

\frac{1}{R} = \frac{a}{μ} - \frac{σ}{μ^{2}} Z + higher order terms,

$\frac{1}{R}=\frac{a}{\mu}-\frac{\sigma}{\mu^2}Z+\text{higher order terms},$

a = \sum_{i = 1}^{3} \frac{1}{i} = \frac{11}{6}, Z = \sum_{i = 1}^{3} \frac{Z_{i}}{i \sqrt{i}} .

$a=\sum_{i=1}^{3}\frac1{i}=\frac{11}6,\qquad Z=\sum_{i=1}^{3}\frac{Z_i}{i\sqrt{i}}.$

E (Z) = 0, E (Z^{2}) = b, b = \sum_{i = 1}^{3} \frac{1}{i^{3}} = \frac{251}{216} .

$\mathrm E(Z)=0,\qquad\mathrm E(Z^2)=b,\qquad b=\sum\limits_{i=1}^{3}\frac1{i^3}=\frac{251}{216}.$

R = \frac{μ}{a} - \frac{σ}{a^{2}} Z + higher order terms,

$R=\frac{\mu}a-\frac{\sigma}{a^2}Z+\text{higher order terms},$

σ \to 0

$\sigma\to0$ , ve Bu asimptotikler ve paralel olarak herhangi bir sayıda dirence genelleştirilebilir, her biri seri olarak temel dirençlerin sonucudur , temel dirençler bağımsızdır ve her biri ortalama ve varyans . Ardından, , burada

E (R) \approx \frac{μ}{a} = \frac{6}{11} μ,

$\mathrm E(R)\approx\frac{\mu}a=\frac6{11}\mu,$

Var (R) \approx σ^{2} \cdot \frac{b}{a^{4}} = σ^{2} \cdot {(\frac{6}{11})}^{4} \cdot \frac{251}{216} = σ^{2} \cdot 0.10286 \dots

$\text{Var}(R)\approx\sigma^2\cdot\frac{b}{a^4}=\sigma^2\cdot\left(\frac{6}{11}\right)^4\cdot\frac{251}{216}=\sigma^2\cdot0.10286\ldots$

E (R)

$\mathrm E(R)$

Var (R)

$\text{Var}(R)$

n_{i}

$n_i$

μ

$\mu$

σ^{2}

$\sigma^2$

σ \to 0

$\sigma\to0$

E (R) \to \frac{μ}{a}, σ^{- 2} Var (R) \to \frac{b}{a^{4}},

$\mathrm E(R)\to\frac{\mu}a,\quad \sigma^{-2}\text{Var}(R)\to\frac{b}{a^4},$

a = \sum_{i} \frac{1}{n_{i}}, b = \sum_{i} \frac{1}{n_{i}^{3}} .

$a=\sum_i\frac1{n_i},\quad b=\sum_i\frac1{n_i^3}.$

— Yaptı
kaynak

8

Tam cevabın sadece ve bağlı olduğunu düşünmüyorum . Numune aldığınızda, bazı beton dağıtımları kullanmış olmanız gerektiğini düşünüyorum - muhtemelen normal bir dağıtım? Her durumda, devrenin direncinin ortalamasını ve varyansını doğrusal yaklaşık olarak hesaplayabiliriz ve daha sonra dağılımın kesin şekli önemsizdir. $\mu$ $\sigma^2$

Devrenin direnci . Doğrusal yaklaşımda, rastgele bir değişkenin ortalama ve varyans ile karşılıklı ortalama ve varyansı sırasıyla ve . Böylece , ve ve varyans , ve , bu da ortalama bir ve $\left(R_1^{-1}+R_2^{-1}+R_3^{-1}\right)^{-1}$ $\mu$ $\sigma^2$ $1/\mu$ $\sigma^2/\mu^4$ $1/\mu$ $1/(2\mu)$ $1/(3\mu)$ $\sigma^2/\mu^4$ $\sigma^2/(8\mu^4)$ $\sigma^2/(27\mu^4)$ $\frac{11}6/\mu$ $\frac{251}{216}\sigma^2/\mu^4$ . Sonra bunun karşılığını almak ortalama ve , sonucunuzla uyumlu olarak. $\frac6{11}\mu$ $\left(\frac{251}{216}\sigma^2/\mu^4\right)/\left(\frac{11}6/\mu\right)^4=\frac{1506}{14641}\sigma^2\approx0.10286\sigma^2$

— joriki
kaynak

Bu, elbette, dirençlerin bağımsız rasgele değişkenler olduğunu varsayar.

@Robert: Evet (daha çok direnişler). Bu, sorudaki , ve varyanslarının hesaplanmasında zaten varsayılmıştı ve fiziksel mantıklı geliyor (yine de tüm dirençleri aynı üretim partisinden alırsak, dirençleri biraz ilişkili olacak ).

σ

$\sigma$

2 σ

$2\sigma$

3 σ

$3\sigma$

— joriki

Gerçek bir tasarımda, elbette, dirençler bağımsız rvs'den uzaktır. Aslında, bazı eleman gruplarının birbirini takip etmesini sağlamak için çok fazla çalışma yapılır (şaşırtıcı olmayan bir şekilde '' eşleştirme 'denir).

1

Kullandığınız ? Ben daha bu yazılı görmek için alışkınım .

σ = E (X - E X)^{2}

$\sigma = E (X-EX)^2$

σ^{2}

$\sigma^2$

@ copper.hat: konusunda oldukça haklısın , elbette - soruda kullanılan gösterimi düşünmeden kabul etmiştim.

σ^{2}

$\sigma^2$

— joriki

5

Bu, direncin dağılımının şekline bağlıdır. Dağılımı bilmeden, ortalama direnç olduğunu bile söyleyemem, ancak kısıtlamalar olduğunu düşünüyorum.

Yani, tractible bir dağılım devam edelim: Let biri direncin direnç standart sapma olması. Direnç , her işaret olasılıkla . Bu bize dikkate almamız gereken vaka veya bazı vakaları birleştirirsek verir. Tabii ki dirençlerin bağımsız olduğunu varsayacağız. $s$ $\mu \pm s$ $1/2$ $2^6 = 64$ $2 \times 3 \times 4=24$

Biz tercih Eğer ve ortalamasıdır sonra (biraz daha düşük ) ve varyans . Biz seçerseniz ve , varyansı . $\mu = 100$ $s=1$ $54.543291$ $100 \times \frac{6}{11}$ $0.102864$ $\mu = 5$ $s=1$ $0.103693$

Ortalama ve varyans olduğunda varyanslar arasındaki oranlar için bir güç serisi genişletmesi : . Tüm küçük, baskın bir terimdir . $1$ $x$ $\frac{1506}{14641} + \frac{36000}{1771561}x + \frac{218016}{19487171}x^2 + O(x^3)$ $x$ $\frac{1506}{14641} = 0.102862$

Teknik olarak sorduğunuz soru dağıtıma bağlı olsa da, muhtemelen standart sapmanın ortalamaya göre küçük olduğu durumlarla ilgileniyorsunuz ve bence dağılıma bağlı olmayan iyi tanımlanmış bir sınır var. Her parçanın dirençlerinin bir fonksiyonu olarak devrenin direncinin bağımlılığını doğrusal hale getirin:

C = \frac{1}{1 / R_{1} + 1 / (R_{2} + R_{3}) + 1 / (R_{4} + R_{5} + R_{6})}

$C = \frac {1}{1/R_1 + 1/(R_2+R_3) + 1/(R_4 + R_5 + R_6)}$

\approx \frac{6}{11} μ + \sum_{i = 1}^{6} (R_{i} - μ) \frac{\partial C}{\partial R_{i}} (μ, μ, μ, μ, μ, μ)

$\approx \frac{6}{11} \mu + \sum_{i=1}^6 (R_i - \mu)\frac {\partial C}{\partial R_i}(\mu,\mu,\mu,\mu,\mu,\mu)$

∴ Var (C) \approx \sum_{i = 1}^{6} Var (R_{i}) (\frac{\partial C}{\partial R_{i}} (μ, μ, μ, μ, μ, μ))^{2}

$\therefore \text{Var}(C) \approx \sum_{i=1}^6 \text{Var}(R_i)\bigg(\frac {\partial C}{\partial R_i}(\mu,\mu,\mu,\mu,\mu,\mu)\bigg)^2$

Bu özel devre ile ölçeklendirilmiş kısmi türevler ve $\frac {36}{121}, \frac{9}{121} ,\frac{9}{121}, \frac{4}{121},\frac{4}{121},\frac{4}{121}$

(\frac{36}{121})^{2} + 2 (\frac{9}{121})^{2} + 3 (\frac{4}{121})^{2} = \frac{1506}{14641} = 0.102862

$\bigg(\frac{36}{121}\bigg)^2 + 2\bigg(\frac{9}{121}\bigg)^2 + 3\bigg(\frac{4}{121}\bigg)^2 = \frac{1506}{14641} = 0.102862$

— Douglas Zare
kaynak

1

Bu bana Çok Değişkenli delta teoremini hatırlatıyor, yani ortalama ve varyans , sonra , olarak asimptotik varyans içermelidir , burada ve . Son cevap @ Douglas Zare ve OP ile aynıdır, yani 0.1028 .

R_{1}, R_{2}, R_{3}

$R_1,R_2,R_3$

μ, 2 μ, 3 μ

$\mu,2\mu,3\mu$

σ^{2}, 2 σ^{2}, 3 σ^{2}

$\sigma^2, 2\sigma^2, 3\sigma^2$

g (R_{1}, R_{2}, R_{3}) = ((1 / R_{1}) + (1 / R_{2}) + (1 / R_{3}))^{- 1}

$g(R_1,R_2,R_3) = ((1/R_1)+(1/R_2)+(1/R_3))^{-1}$

\nabla g (μ) Σ \nabla g (μ)^{'}

$\nabla g(\mu)\Sigma\nabla g(\mu)'$

\nabla g (μ) = (\frac{36}{121}, \frac{9}{121}, \frac{4}{121})

$\nabla g(\mu) = (\frac{36}{121},\frac{9}{121},\frac{4}{121})$

Σ = \[(\begin{array}{ccc} . σ^{2} & 0 & 0 \\ 0 & 2 σ^{2} & 0 \\ 0 & 0 & 3 σ^{2} \end{array}) \]

$\Sigma = \[ \left( \begin{array}{ccc}. \sigma^2 & 0 & 0 \\ 0 & 2\sigma^2 & 0 \\ 0 & 0 & 3\sigma^2 \end{array} \right)\]$

σ^{2}

$\sigma^2$

— VitalStatistix

1

Bunu düşündüğüm gibi, bunun uzun bir cevap olduğu konusunda uyarıyorum , ama belki biri girişimimden başlayarak daha iyi bir şey bulabilir (ki bu optimal olmayabilir). Ayrıca, orijinal OPs sorusunu yanlış okudum ve dirençlerin normalde dağıldığını söylediğini düşündüm. Cevabı yine de bırakacağım, ama bu temelde bir varsayım.

1. Problemin fiziksel muhakemesi

Benim akıl yürütmem şu şekildedir: paralel olan dirençler için, eşdeğer direncinin aşağıdakileri verdiğini hatırlayın : $R_{eq}$

R_{e q}^{- 1} = \sum_{i}^{N} \frac{1}{R_{i}},

$R_{eq}^{-1}=\sum_{i}^{N}\frac{1}{R_i},$

burada , devrenin her bir bölümünün dirençleridir. Sizin durumunuzda, bu bize $R_i$

R_{e q} = {(\frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}} + \frac{1}{R_{3}})}^{- 1}, (*)

$R_{eq}=\left(\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}+\frac{1}{R_3}\right)^{-1},\ \ \ (*)$ burada 1 dirençle devresinin bir parçası olan ve ortalama ile, bu nedenle normal bir dağılıma sahip ve varyans ve aynı mantık ile olduğu iki dirençli devrenin bir kısmının eşdeğer direnci ve son olarak, , devrenin üç dirençli kısmının eşdeğer direncidir. nin dağılımını bulmalı ve oradan varyansı almalısınız.

R_{1}

$R_1$

μ

$\mu$

σ^{2}

$\sigma^2$

R_{2} \sim N (2 μ, 2 σ^{2})

$R_2\sim N(2\mu,2\sigma^2)$

R_{3} \sim N (3 μ, 3 σ^{2})

$R_3\sim N(3\mu,3\sigma^2)$

R_{e q}

$R_{eq}$

2. dağıtımının sağlanması $R_{eq}$

Dağıtımı bulmanın bir yolu şunu not etmektir: Buradan da (Bayes Teoremi ile elde edildi) , ve (fiziksel olarak makul olan) bağımsızlık Bunu değiştirmek ve üç direnç arasındaki bağımsızlığın başka bir sonucunun

p (R_{e q}) = \int p (R_{e q}, R_{1}, R_{2}, R_{3}) d R_{1} d R_{2} d R_{3} = \int p (R_{1} | R_{e q}, R_{2}, R_{3}) p (R_{e q}, R_{2}, R_{3}) d R_{1} d R_{2} d R_{3} . (1)

$p(R_{eq})=\int p(R_{eq},R_1,R_2,R_3)dR_1dR_2dR_3=\int p(R_1|R_{eq},R_2,R_3)p(R_{eq},R_2,R_3)dR_1dR_2dR_3.\ \ \ (1)$

p (R_{e q}, R_{2}, R_{3}) = p (R_{2} | R_{e q}, R_{3}) p (R_{e q}, R_{3}) = p (R_{2} | R_{e q}, R_{3}) p (R_{e q} | R_{3}) p (R_{3})

$p(R_{eq},R_2,R_3)=p(R_2|R_{eq},R_3)p(R_{eq},R_3)=p(R_2|R_{eq},R_3)p(R_{eq}|R_3)p(R_3)$

R_{1}

$R_1$

R_{2}

$R_2$

R_{3}

$R_3$

p (R_{e q}, R_{2}, R_{3}) = p (R_{2} | R_{e q}) p (R_{e q} | R_{3}) p (R_{3}) .

$p(R_{eq},R_2,R_3)=p(R_2|R_{eq})p(R_{eq}|R_3)p(R_3).$

(1)

$(1)$

p (R_{1} | R_{e q}, R_{2}, R_{3}) = p (R_{1} | R_{e q})

$p(R_1|R_{eq},R_2,R_3)=p(R_1|R_{eq})$ , şunu elde ederiz: Son sorunumuz yani dağılımı . Bu sorun, burada bulduğumuz soruna benzer, ancak şimdi değiştirirsiniz . sabit olarak, örneğin . Yukarıdaki argümanların ardından Görünüşe göre gerisi küçük bir sorun dışında bilinen dağılımları değiştirilmesi: dağılımını elde edilebilir işaret ederek

p (R_{e q}) = \int p (R_{1} | R_{e q}) p (R_{2} | R_{e q}) p (R_{e q} | R_{3}) p (R_{3}) d R_{1} d R_{2} d R_{3} = \int p (R_{e q} | R_{3}) p (R_{3}) d R_{3} . (2)

$p(R_{eq})=\int p(R_1|R_{eq})p(R_2|R_{eq})p(R_{eq}|R_3)p(R_3)dR_1dR_2dR_3=\int p(R_{eq}|R_3)p(R_3)dR_3.\ \ \ (2)$

p (R_{e q} | R_{3})

$p(R_{eq}|R_3)$

R_{e q} | R_{3}

$R_{eq}|R_3$

R_{3}

$R_3$

(*)

$(*)$

r_{3}

$r_3$

p (R_{e q} | R_{3}) = \int p (R_{e q} | R_{2}, R_{3}) p (R_{2}) d R_{2} . (3)

$p(R_{eq}|R_3)=\int p(R_{eq}|R_2,R_3)p(R_2)dR_2.\ \ \ (3)$

R_{e q} | R_{2}, R_{3}

$R_{eq}|R_2,R_3$

(*)

$(*)$

X_{1}

$X_1$ gaussian, bu nedenle, rastgele değişken nin dağılımını bulmanız gerekir burada ve sabittir, ve ortalama ve varyans . Hesaplamalarım doğruysa, bu dağılım: burada, dolayısıyla dağılımı

W = {(\frac{1}{X} + a + b)}^{- 1},

$W=\left(\frac{1}{X}+a+b\right)^{-1},$

a

$a$

b

$b$

X

$X$

μ

$\mu$

σ^{2}

$\sigma^2$

p (W) = \frac{1}{[1 - W (a + b)]^{2}} \frac{1}{\sqrt{2 π σ^{2}}} exp (- \frac{X (W) - μ}{2 σ^{2}}),

$p(W)=\frac{1}{[1-W(a+b)]^2}\frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}}\text{exp}\left(-\frac{X(W)-\mu}{2\sigma^2}\right),$

X (W) = \frac{1}{W^{- 1} - a - b},

$X(W)=\frac{1}{W^{-1}-a-b},$

R_{e q} | R_{2}, R_{3}

$R_{eq}|R_2,R_3$

p (R_{e q} | R_{2}, R_{3}) = \frac{1}{[1 - R_{e q} (a + b)]^{2}} \frac{1}{\sqrt{2 π σ^{2}}} exp (- \frac{X (R_{e q}) - μ}{2 σ^{2}}),

$p(R_{eq}|R_2,R_3)=\frac{1}{[1-R_{eq}(a+b)]^2}\frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}}\text{exp}\left(-\frac{X(R_{eq})-\mu}{2\sigma^2}\right),$ burada ve . Mesele şu ki, bunun denklem deki integrali çözmek için analitik olarak izlenebilir olup olmadığını bilmiyorum, bu da bizi denklem ' deki sonucunu değiştirerek problemi çözmemize yol açacaktır . En azından bana gecenin bu saatinde değil.

a = 1 / R_{2}

$a=1/R_2$

b = 1 / R_{3}

$b=1/R_3$

(3)

$(3)$

(2)

$(2)$

— Néstor
kaynak

Direnç negatif olmasa da normal bir dağılım olduğunu mu düşünüyorsunuz? Benim tahminim, bu devre sapmasını saptıracak.

— Douglas Zare

1

Biliyorum, bu da beni şişirdi, ama pratikte gerçekten ve değerlerine bağlı . Eğer ve , o zaman can "save" modeli. Normal koşullarda, bir direncin dağılımı çok yüksek değildir, bu nedenle son varsayım açıkça karşılanır. Bu, başlangıçta insanlar normal bir rastgele değişken olarak yüksekliği modellediğinde beni rahatsız eden bir şeydi, ancak burada verdiğim aynı nedenden ötürü, Stack-exchange'deki bazı insanlar beni iyi hissettirdi :-).

μ

$\mu$

σ^{2}

$\sigma^2$

μ >> 0

$\mu>>0$

μ >> σ

$\mu>>\sigma$

— Néstor

Hmm, yüksekliği normal olarak modellemek o kadar kötü ki bence normal olmayan bir dağıtım örneği olarak kullanıyorum. Aynı genetik geçmişe sahip sağlıklı yetişkin erkeklerden oluşan bir popülasyona sahip olmanız korkunç olmayabilir. Ancak, bir biyologdan bunun iyi olduğunu duymak isterim. Her kemiğin büyüklüğünün bağımsız olduğunu duyduğum mantık tamamen saçmalık.

— Douglas Zare

Dirençlerin normal olarak dağıtılmadığını fark ettim (orijinal OP'lerin cevabını nerede okuduğuma yemin edebilirim, ama sanırım sadece hayal gücümdü).

— Néstor