Hangi dağılım biçimleri “Pisagor beklentisi” ne yol açar?

16

Let ve aynı belirtilmemiş dağılım formundan ancak farklı parametre değerleri hesaba katılması ile oluşturulan bağımsız sürekli rastgele değişkenler. İzin verilen tüm parametre değerleri için aşağıdaki örnekleme olasılığının bulunduğu bir parametrik dağıtım formu bulmakla ilgileniyorum: $X \sim \text{Dist}(\theta_X)$ $Y \sim \text{Dist}(\theta_Y)$

P (X > Y | θ_{X}, θ_{Y}) = \frac{θ_{X}^{2}}{θ_{X}^{2} + θ_{Y}^{2}} .

$\mathbb{P}(X > Y| \theta_X, \theta_Y) = \frac{\theta_X^2}{\theta_X^2 + \theta_Y^2}.$

Sorum: Herkes bana bunun için sürekli bir dağıtım formu söyleyebilir mi? Buna yol açan (önemsiz olmayan) genel koşullar var mı?

Ön düşüncelerim: Her iki parametreyi de sıfırdan farklı bir sabitle çarparsanız, olasılık değişmeden kalır, bu nedenle bir tür ölçek parametresi olması mantıklıdır . $\theta$

probability distributions

— Monica'yı eski durumuna getir
kaynak

1

Belki bu yardımcı olacaktır: en.wikipedia.org/wiki/…

— John Coleman

1

Bu soru için bir bağlam veya referans verebilir misiniz?

— Xi'an

17

İki Üstel rasgele değişken alırsak , ve

X ~ E (θ_{X}) X ~ E (θ_{Y})

$X\sim\mathcal{E}(\theta_X)\qquad X\sim\mathcal{E}(\theta_Y)$

P (X > Y | Y = y) = tecrübe {- θ_{X} y}

$\mathbb{P}(X>Y|Y=y)=\exp\{-\theta_X y\}$

E^{Y} [tecrübe {- θ_{X} Y}] = \int_{0}^{\infty} tecrübe {- θ_{X} y} θ_{Y} tecrübe {- θ_{Y} y} d y = \frac{θ_{Y}}{θ_{X} + θ_{Y}}

$\mathbb{E}^Y[\exp\{-\theta_X Y\}]=\int_0^\infty \exp\{-\theta_X y\}\,\theta_Y\exp\{-\theta_Y y\}\text{d}y=\dfrac{\theta_Y}{\theta_X+\theta_Y}$ Şimdi, eğer

X ~ E (θ_{X}^{- 2}) X ~ E (θ_{Y}^{- 2})

$X\sim\mathcal{E}(\theta_X^{-2})\qquad X\sim\mathcal{E}(\theta_Y^{-2})$ sonra

P (X > Y) = \frac{θ_{X}^{2}}{θ_{X}^{2} + θ_{Y}^{2}}

$\mathbb{P}(X>Y)=\dfrac{\theta_X^2}{\theta_X^2+\theta_Y^2}$

Daha ilginç bir soru, bunun çalıştığı tek olası dağıtım durumu olup olmadığıdır. (Örneğin, bu, Gamma ailesinin çalıştığı tek unsurdur.) Ölçekli bir aile yapısı varsayarsak , ve temel yoğunluğu için gerekli ve yeterli olan $f$ $X$ $Y$

\int_{0}^{\infty} z f (z) f (τ z) d z = \frac{1}{(1 + τ)^{2}}

$\int_0^\infty z\, f(z)\, f(\tau z) \,\text{d}z = \frac{1}{(1+\tau)^2}$

Ancak genel cevap hayır: @soakley'nin cevabında belirtildiği gibi , bu da bir sürpriz değil, çünkü tüm (ve Weibulls için üstel güçlerdir). Böylece daha genel bir örnek sınıfı tarafından sağlanır.

P (X > Y) = P (X^{α} > Y^{α})

$\mathbb{P}(X>Y)=\mathbb{P}(X^\alpha>Y^\alpha)$

α > 0

$\alpha>0$

her kesin artan fonksiyonlar ,

o zaman beri yukarıdaki gibi üstel vardır

X^{'} = ϕ (X) Y^{'} = ϕ (Y)

$X' = \phi(X) \qquad Y' = \phi(Y)$ $\phi$

X, Y

$X,Y$

P (X^{'} > Y^{'}) = P (ϕ (X) > ϕ (Y)) = P (X > Y) = \frac{θ_{X}^{2}}{θ_{X}^{2} + θ_{Y}^{2}} .

$\mathbb{P}(X'>Y') =\mathbb{P}(\phi(X)>\phi(Y))=\mathbb{P}(X>Y)=\dfrac{\theta_X^2}{\theta_X^2+\theta_Y^2}.$

— Xi'an
kaynak

8

$X$ $\left( \alpha,\beta_1 \right)$ $Y$ $\left( \alpha, \beta_2 \right)$

P [X > Y] = \frac{β_{1}^{α}}{β_{1}^{α} + β_{2}^{α}}

$P \left[ X > Y \right]= \frac{\beta_1^\alpha}{\beta_1^\alpha + \beta_2^\alpha}$

Bu, Xi'an'ın cevabında verilen aynı yaklaşım izlenerek elde edilebilir.

$\alpha=2$ $X$ $Y$ $X$ $\theta_X$ $Y$ $\theta_Y,$

P [X > Y] = \frac{θ_{X}^{2}}{θ_{X}^{2} + θ_{Y}^{2}}

$P \left[ X > Y \right]= \frac{\theta_X^2}{\theta_X^2 + \theta_Y^2}$

— soakley
kaynak

θ_{X}

$\theta_X$

θ_{Y}

$\theta_Y$

α

$\alpha$

α

$\alpha$ 's.

— Xi'an

Gerçekten de, tam da gösterdiğiniz gibi. OP'nin parametrelerle daha doğrudan bir şey istediğini varsaydım.

— soakley