3D eklem dağılımı 2D marjinaller tarafından yeniden yapılandırılabilir mi?

P (x, y), p (x, z) ve p (y, z) 'yi bildiğimizi varsayalım, p (x, y, z) eklem dağılımının tanımlanabilir olduğu doğru mu? Yani, marjinallerin üzerinde sadece bir olası p (x, y, z) var mı?

distributions mathematical-statistics

— user1466742
kaynak

İlgili: Eklem dağılımı Gauss olmayan bir çift Gauss rastgele değişkene sahip olmak mümkün mü? (Bu 2D eklem ile 1D marjinaller arasındadır, ancak cevap ve sezgi sonuçta aynıdır, ayrıca @ Cardinal'in cevabındaki resimler güzeldir.)

— gung - Monica'yı eski haline getirin

@gung İlişki biraz uzak. Bu sorunun arkasındaki incelik, bir kopula'nın bize verilen marjinallerle iki değişkenli dağılımların nasıl geliştirileceğini gösterdiğidir. Ancak, üç değişkenli bir dağıtım için üç iki değişkenli marjinal belirtirsek, bu üç değişkenli dağıtımda oldukça ciddi ek kısıtlamalar olmalıdır: tek değişkenli marjinaller tutarlı olmalıdır. O zaman soru, bu kısıtlamaların önemsiz dağılımı tespit etmek için yeterli olup olmadığıdır. Bu onu doğası gereği iki boyutlu bir soru haline getirir.

— whuber

@whuber, 2D marjinallerin 1D marjinallerden daha kısıtlayıcı olduğunu söylüyorum, bu makul. Demek istediğim, her iki cevapta da marjinallerin eklem dağılımını yeterince kısıtlayamaması ve Cardinal'in buradaki cevabının konuyu görmeyi çok kolaylaştırdığı. Bunun dikkat dağıtıcı bir şey olduğunu düşünüyorsanız, bu yorumları silebilirim.

— gung - Monica'yı eski

@gung Tamamen farklı bir şey söylemeye çalışıyorum ve görmek kolay değil (3D görselleştirmelerde çok iyi değilseniz). Hofstadter's Godel, Escher, Bach'ın kapak resmini hatırlıyor musunuz ? (Googling tarafından kolayca bulunur; belki cevabımı dahil etmek için cevabımı genişletirim.) Koordinat eksenleri üzerinde aynı projeksiyon setlerine sahip bu iki farklı katının varlığı oldukça şaşırtıcı. Bu, bir 3D nesnenin tam bir dikey 2D "görünümlerinin" nesneyi zorunlu olarak belirlemediği fikrini yakalar. Meselenin özü bu.

— whuber

@Gung bir kez daha denememe izin verdi. Evet, marjinallerin bir dağılımı tam olarak belirlemediği fikri her iki durumda da ortaktır. Bu durumdaki komplikasyon - onu diğerinden çok farklı kıldığına inandığım - mevcut durumdaki marjinallerin hiçbir şekilde bağımsız olmaması: her bir 2D marjinal iki 1D marjinalini ve bunlar arasındaki güçlü bir ilişkiyi belirler marjinal ilan. O zaman kavramsal olarak, bu soru " 2B marjinallerdeki bağımlılıklar neden tam 3B dağılımını belirleme anlamında 'geçişli' veya 'kümülatif' değil?

— whuber

Yanıtlar:

No Belki de en basit karşı-endişeler, üç bağımsız dağılımı değişkenleri , tüm sekiz olası sonuçları olan, ile eşit olasıdır. Bu, dört kenar dağılımının tümünü $\text{Bernoulli}(1/2)$ $X_i$ $(0,0,0)$ $(1,1,1)$ . $\{(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)\}$

kümesinde eşit olarak dağıtılan rasgele değişkenleri düşünün. . Bunlar $(Y_1,Y_2,Y_3)$ $\{(1,0,0),(0,1,0), (0,0,1),(1,1,1)\}$ . $(X_1,X_2,X_3)$

Douglas Hofstadter'ın Godel, Escher, Bach'ın kapağı olasılıklara işaret ediyor.

Bu katıların her birinin koordinat düzlemleri üzerindeki üç dikgen çıkıntısı (gölgesi) aynıdır, ancak katılar açıkça farklıdır. Her ne kadar gölgeler marjinal dağılımlarla aynı şey olmasa da , onları oluşturan 3B nesneyi kısıtlamak, ancak tamamen belirlememek için benzer bir şekilde çalışırlar .

— whuber
kaynak

Y 1, Y 2, Y 3

$Y1,Y2,Y3$

Whuber'in cevabı ile aynı ruhla,

$U, V, W$

\begin{aligned} (1) & f_{U, V, W} (u, v, w) = {\begin{cases} 2 ϕ (u) ϕ (v) ϕ (w) & if u \geq 0, v \geq 0, w \geq 0, \\ or if u < 0, v < 0, w \geq 0, \\ or if u < 0, v \geq 0, w < 0, \\ or if u \geq 0, v < 0, w < 0, \\ 0 & otherwise \end{cases} \end{aligned}

$\begin{align} f_{U,V,W}(u,v,w) = \begin{cases} 2\phi(u)\phi(v)\phi(w) & ~~~~\text{if}~ u \geq 0, v\geq 0, w \geq 0,\\ & \text{or if}~ u < 0, v < 0, w \geq 0,\\ & \text{or if}~ u < 0, v\geq 0, w < 0,\\ & \text{or if}~ u \geq 0, v< 0, w < 0,\\ & \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}\tag{1} \end{align}$

ϕ (\cdot)

$\phi(\cdot)$

$U, V$ $W$ $(U,V), (U,W), (V,W)$ $U,V,W$ ikili bağımsız fakat karşılıklı bağımsız olmayan standart normal rasgele değişkenlerin bir örneğidir. Daha fazla ayrıntı için bu cevabıma bakın.

$X,Y,Z$

\begin{matrix} (2) & f_{X, Y, Z} (u, v, w) = ϕ (u) ϕ (v) ϕ (w), u, v, w \in R \end{matrix}

$f_{X,Y,Z}(u,v,w) = \phi(u)\phi(v)\phi(w), ~~u,v,w \in \mathbb R \tag{2}$

(1)

$(1)$

— Dilip Sarwate
kaynak

Temel olarak CAT rekonstrüksiyonunun sadece 3 ana eksen boyunca görüntüleri kullanarak mümkün olup olmadığını soruyorsunuz .

Öyle değil ... aksi takdirde yapacakları şey buydu. :-) Daha fazla literatür için Radon dönüşümüne bakınız .

— user541686
kaynak

Benzetmeyi seviyorum. Yine de iki yön rahatsız edici. Birincisi mantık: sadece Radon dönüşümü (veya başka bir teknik) üç marjinalden daha fazla veri kullanması mantıksal olarak tüm bu verilere gerçekten ihtiyaç duyduğu anlamına gelmez. Diğer bir problem CT taramalarının doğası gereği iki boyutlu olmasıdır: katı bir vücut dilimini dilim ile yeniden yapılandırırlar. (Radon dönüşümünün üç ve daha yüksek boyutlarda tanımlandığı doğrudur.) Dolayısıyla, konunun tam anlamıyla kalmadılar: Tek değişkenli marjinallerin bir 2D dağılımı yeniden yapılandırmak için yeterli olmadığını zaten biliyoruz.

— whuber

@whuber: Sanırım söylediklerimi yanlış anladın ... ve 2D ve 3D kırmızı bir ringa balığı. Radon dönüşümünün tersinin inversiyonu için tam integrali gerektirdiğini söylemeye çalışıyordum (yani tam anlamıyla sadece inversiyon formülüne bakarsanız, inversiyonun tüm açılar üzerinde bir integral gerektirdiğini görürsünüz, d açıları üzerinde bir toplam değil ). CAT taraması, OP'nin BT ile aynı problemi görmesine yardımcı olmaktı.

— user541686

Mantık burada bozulur: BT ile aynı problem değildir. Argümanınız, "yolda gördüğüm her araçta en az dört tekerlek kullanılıyor. Bundan şüphe ediyorsanız, bir araba için planlara bakın. " Bu arada, olarak gelmez bir CT tarayıcı uygulanan dönüşümü olmayan tüm açıları üzerinde entegre - kullandığı açılarının kümesinin ölçüsü sıfır olduğunu!

— whuber

@whuber: CT olayını bir anlığına unutun. Mantığın geri kalanına katılıyor musunuz?

— user541686