Neden harmonik ortalama yerine ağırlıklı aritmetik ortalama kullanmıyoruz?

Hassaslık ve hatırlamayı birleştirmede ağırlıklı aritmetik ortalamanın aksine, harmonik ortalama kullanmanın (örneğin F-ölçümlerini hesaplamak için) gerçek değeri nedir acaba? Ağırlıklı aritmetik ortalamanın harmonik ortalama rolünü oynayabileceğini düşünüyorum, yoksa bir şey mi kaçırıyorum?

— olga
kaynak

Harmonik ortalama , ağırlıklı bir aritmetik ortalamadır: her

orantılı bir ağırlığa sahiptir .

x_{i}

$x_i$

1 / x_{i}^{2}

$1/x_i^2$

— whuber

Hassasiyet ve hatırlamanın bu şekilde nasıl birleştirildiği hakkında daha fazla şey söyleyebilir misiniz?

— AdamO

@whuber Yorumunuzun ciddi veya yan yana olup olmadığından emin değilim. Ağırlıkların genellikle numune değerinin değil , numune indeksinin bir fonksiyonu olduğu varsayılır . Aksi takdirde, herhangi bir ortalama ağırlıklı bir aritmetik ortalamadır

— Luis Mendo

@ Gerçek Gerçeğin arasında yatıyor. Örnek endeksi çoğu zaman anlamsızdır. Ağırlıklar nesnelerin işlevleridir, ancak bu işlevler genellikle ortalamanın değerlerine bağlı değildir. Örnekler, zamanla (EWMA), konumla (mekansal korelasyon ölçümlerinde olduğu gibi), sıralamayla (Shapiro-Wilk testinde olduğu gibi) ve örnekleme olasılıklarıyla ilişkili ağırlıklardır. Ancak tüm araçlar ağırlıklı AM'ler değildir: Örneğin GM değildir. Filippa "içsel değer" i sorduğundan, harmonik ortalama ve ağırlıklı araçlar arasındaki matematiksel ilişkiyi belirtmek almanca görünüyordu.

— whuber

Yanıtlar:

Genel olarak, harmonik araçlar, tam sayılar yerine ortalama oranlar denenirken tercih edilir. Bir F1 ölçüsü söz konusu olduğunda, harmonik bir ortalama çok küçük hassasiyetleri cezalandıracak ya da hatırlayacaktır, fakat ağırlıksız aritmetik ortalama olmayacaktır. Ortalama% 100 ve% 0 düşünün: Aritmetik ortalama% 50 ve Harmonik ortalama% 0. Harmonik ortalama, hem hassasiyet hem de hatırlamanın yüksek olmasını gerektirir.

Ek olarak, kesinlik ve hatırlama birbirine yakın olduğunda, harmonik ortalama aritmetik ortama yakın olacaktır. Örnek:% 95 ve% 90'ın harmonik ortalaması,% 92.5'in aritmetik ortalamasıyla karşılaştırıldığında% 92.4'tür.

Bunun istenen bir özellik olup olmadığı muhtemelen kullanım durumunuza bağlıdır, ancak genellikle iyi kabul edilir.

Son olarak, @whuber'ın yorumlarda belirttiği gibi, harmonik ortalamanın gerçekten de ağırlıklı bir aritmetik ortalama olduğunu unutmayın.

— ilanman
kaynak

"Bir ortalama oranlar çalıştığında harmonik ortalama tercih edilir" Seyahate Belki eğer

de kilometresindedir

km / s ve

de km arkasına

km / sa ortalama genel hızını elde etmek

sen değilse bile, km / saat Ortalama

km / s hıza ulaşmak için

km / s'de

dakika ve

km / s'de

dakika seyahat edin . Ama bunun neden kesirler için geçerli olduğunu anlamıyorum

10

$10$

120

$120$

10

$10$

60

$60$

80

$80$

10

$10$

120

$120$

10

$10$

60

$60$

90

$90$

— Henry

Gerçekten de, ilk paragraf harmonik ortalama hakkında genel bir ifadedir. Ama haklısın, hassasiyet ve hatırlama oranlar değil kesirler. Yorumlanabilir bir toplamı olan (bu durumda geçerli olmayacak) değerler için aritmetik bir ortalamanın tercih edildiğine inanıyorum, ancak kesinlikle bir aritmetik ortalama hassasiyet ve hatırlama ve yararlı bir sonuç çıktısı alabilirsiniz.

— ilanman

Mükemmel! Daha çok harmonik ortalama kuralını kullanmak için "gerekçeler" arıyorum. Ama gerekçeler hakkında nasıl düşüneceğimi bilmiyorum ..

— olga

Harmonik ortalama, ikincisinin beklentisi veya varyansı olmadığında aritmetik ortalamanın kullanışlı bir ikamesi olabilir. Gerçekten de, mevcut değil veya sonsuzken mevcut olabilir. Örneğin, yoğunluklu Pareto dağılımı $\mathbb{E}[X]$ $\mathbb{E}[1/X]$ sonlu beklentisi olduğundaaritmetik ortalama iken, sonsuz bir beklenti sahip olduğunu ima,

f (x) = \frac{α x_{0}^{α}}{x^{α + 1}} {ben}_{x \geq x_{0}}

$f(x)=\dfrac{\alpha x_0^{\alpha}}{x^{\alpha+1}}\mathbb{I}_{x\ge x_0}$

α \leq 1

$\alpha\le 1$

, harmonik ortalamanın sınırlı bir beklentiye sahip olduğunu ima eder.

E [1 / X] = \int_{x_{0}}^{\infty} \frac{α x_{0}^{α}}{x^{α + 2}} d x = \frac{α x_{0}^{α}}{(α + 1) x_{0}^{α + 1}} = \frac{α}{(α + 1) x_{0}}

$\mathbb{E}[1/X]=\int_{x_0}^\infty \dfrac{\alpha x_0^{\alpha}}{x^{\alpha+2}}\,\text{d}x=\dfrac{\alpha x_0^{\alpha}}{(\alpha+1) x_0^{\alpha+1}}=\dfrac{\alpha}{(\alpha+1) x_0}$

Buna karşılık, harmonik ortalamanın beklentisi olmayan dağılımlar vardır, örneğin olduğunda Beta dağılımı . Ve daha fazlası varyanssız. $\mathcal{B}e(\alpha,\beta)$ $\alpha\le1$

Monte Carlo tümlevlerine yaklaşımları ve özellikle normalleştiren sabitleri ile bir bağlantı Bayesian arka kimliğe dayalı da vardır

E [\frac{φ (θ)}{π (θ) L (θ | x)} | x] = \frac{1}{m (x)}

$\mathbb{E}\left[\dfrac{\varphi(\theta)}{\pi(\theta)L(\theta|x)}\Big| x\right]=\dfrac{1}{m(x)}$

φ (\cdot)

$\varphi(\cdot)$

π (\cdot)

$\pi(\cdot)$

L (\cdot | x)

$L(\cdot|x)$

m (\cdot)

$m(\cdot)$

— Xi'an
kaynak

Oranları ortalarken bu özellikler neden tercih edilir?

— Walrus the Cat

Iyimserlik sonuçları bilmiyorum, ama sınırlı bir beklentisi olan bir tahmin ediciye sahip olmadan bir tercih tercih gibi görünüyor!

— Xi'an