Eğer ve bağımsız bir normal değişkenler daha sonra ortalaması sıfır, her de normal bir değişkendir

Açıklamayı kanıtlamaya çalışıyorum:

Eğer ve bağımsız bir rastgele değişkenler,$X\sim\mathcal{N}(0,\sigma_1^2)$$Y\sim\mathcal{N}(0,\sigma_2^2)$

daha sonra de normal bir rasgele değişkendir.$\frac{XY}{\sqrt{X^2+Y^2}}$

(say) özel durumu için, ve bağımsız değişken olduğunda . Aslında, bağımsız değişkenlerdir.$\sigma_1=\sigma_2=\sigma$$\frac{XY}{\sqrt{X^2+Y^2}}\sim\mathcal{N}\left(0,\frac{\sigma^2}{4}\right)$$X$$Y$$\mathcal{N}(0,\sigma^2)$$\frac{XY}{\sqrt{X^2+Y^2}},\frac{X^2-Y^2}{2\sqrt{X^2+Y^2}}$$\mathcal{N}\left(0,\frac{\sigma^2}{4}\right)$

Son sonuç bir kanıtı dönüşümü kullanılarak aşağıdaki burada ve . Aslında, burada ve . Bu kanıtı eldeki sorun için taklit etmeye çalıştım ama dağınık görünüyor.$(X,Y)\to(R,\Theta)\to(U,V)$$x=r\cos\theta,y=r\sin\theta$U=X$u=\frac{r}{2}\sin(2\theta),v=\frac{r}{2}\cos(2\theta)$ V=X2-Y$U=\frac{XY}{\sqrt{X^2+Y^2}}$$V=\frac{X^2-Y^2}{2\sqrt{X^2+Y^2}}$

I daha sonra herhangi bir hata yapılmaması varsa I ortak yoğunluğu ile sonuna kadar olarak ( u , V $(u,v)\in\mathbb{R}^2$$(U,V)$

Dönüşüm bire bir olmadığı için yukarıdaki çarpan var .$2$

Dolayısıyla, yoğunluğu, kolayca değerlendirilmeyen tarafından verilecektir .∫ R f U , V ( u , v $U$$\displaystyle \int_{\mathbb{R}}f_{U,V}(u,v)\,\mathrm{d}v$

Şimdi sadece ile çalışabileceğime dair bir kanıt olup olmadığını bilmek istiyorum ve Normal olduğunu göstermek için düşünmek zorunda değilim . CDF'sini bulmak şu anda bana umut vaat etmiyor. Aynı şeyi için de yapmak istiyorum .V U U σ 1 = σ 2 = $U$$V$$U$$U$$\sigma_1=\sigma_2=\sigma$

Yani, ve bağımsız değişkenleri ise Değişken değişikliği kullanmadan . Bir şekilde olduğunu iddia edebilirsem işim bitti. Burada iki soru var, genel durum ve sonra özel durum.Y, K ( 0 , σ 2 ) , Z = 2 x $X$$Y$$\mathcal{N}(0,\sigma^2)$Zd=$Z=\frac{2XY}{\sqrt{X^2+Y^2}}\sim\mathcal{N}(0,\sigma^2)$$Z\stackrel{d}{=}X$

Math.SE ile ilgili yayınlar:

X,Y∼N(0,1$X^2-Y^2/ \sqrt{X^2+Y^2}\sim N(0,1)$ olduğunda , bağımsız bir şekilde$X,Y\sim N(0,1)$ .

Verilen iid , göstermektedir ki ,N ( 0 , 1 ) X $X,Y$$N(0,1)$ N(0,$\frac{XY}{\sqrt{X^2+Y^2}},\frac{X^2-Y^2}{2\sqrt{X^2+Y^2}}$$N(0,\frac{1}{4})$ .

Düzenle.

Bu problem aslında , olası bir ipucu ile Feller tarafından Olasılık Teorisi ve Uygulamalarına Giriş (Cilt II) alıştırmalarında öğrendiğim gibi L. Shepp'e bağlı :

Elbette, ve elimde yoğunluğuna sahibim .$U=\frac{XY}{\sqrt{X^2+Y^2}}=\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{X^2}+\frac{1}{Y^2}}}$$\frac{1}{X^2}$

Şimdi ne yapabileceğime bakalım. Bunun dışında yukarıdaki integrale biraz yardım da memnuniyetle karşılanmaktadır.

Sorunun Shepp tarafından orijinal çözümü, şu anda benim için biraz gelişmiş gibi görünen istikrarlı hukuk mülkiyeti kavramını kullanıyor. Bu yüzden görevimde belirttiğim alıştırmada verilen ipucunu anlayamadım. Ben sadece tek değişken ve bir değişken değişikliği kullanarak bir kanıt bulmak zor sanırım . Bu nedenle, soruna alternatif bir çözüm sağlayan üç açık erişim belgesini paylaşıyorum:$U=\frac{XY}{\sqrt{X^2+Y^2}}$

• Normal rasgele değişkenlerin Normal fonksiyonları hakkında bir not

• Normal rasgele değişkenlerin normal fonksiyonları

• Bir Koyun Sonucu

Birincisi beni yoğunluğunu elde etmek için değişkeni seçimiyle aldığım entegrasyon yolunda ilerlememeye ikna etti . Takip edebileceğim bir şeye benzeyen üçüncü makale. Burada ispatın kısa bir taslağını veriyorum:$V$$U$

Genellik kaybı olmadan varsayıyoruz ve set . Şimdi ve bağımsız olduğunu belirterek , eklem yoğunluğuna sahibiz . Bunu .σ 2 2 = σ 2 X 2 ∼ χ 2 1 Y $\sigma_1^2=1$$\sigma_2^2=\sigma^2$$X^2\sim\chi^2_1$$\frac{Y^2}{\sigma^2}\sim\chi^2_1$$(X^2,Y^2)$$f_{X^2,Y^2}$

Dönüşümü düşünün öyle ki ve . Böylece eklem yoğunluğuna sahibiz . Bunu gösterelim . Standart prosedür takip ederek, entegre için wrt marjinal yoğunluk elde etmek için arasında .$(X^2,Y^2)\to(W,Z)$$W=\frac{X^2Y^2}{X^2+Y^2}$$Z=\frac{X^2+Y^2}{Y^2}$$(W,Z)$$f_{W,Z}$$f_{W,Z}$$z$$f_W$$W$

Biz bulmak parametreler ile, bir Gamma değişkenli bir ve , yani bu . yoğunluğunun yaklaşık simetrik olduğunu not ediyoruz . Bu, ve dolayısıyla .$W=U^2$$\frac{1}{2}$$2(1+\frac{1}{\sigma})^{-2}$$(1+\frac{1}{\sigma})^2\,W\sim\chi^2_1$$U$$0$$(1+\frac{1}{\sigma})U\sim\mathcal{N}(0,1)$$U\sim\mathcal{N}\left(0,\left(\frac{\sigma}{\sigma+1}\right)^2\right)$

buna göre

İki normal rasgele değişkeni dönüştürme

$X=r\cos(\theta) \hspace{.5cm} Y=r\sin(\theta) \hspace{.5cm} X,Y \sim normal(0,1) \Leftrightarrow \theta \sim Uniform(0,2\pi) \hspace{.5cm} r^2\sim chi(2)$ . ve bağımsızdır ve bağımsızdır.
$X$$Y$$\Leftrightarrow$ $\theta$$r$

ayrıca o yana $\sin(\theta) \sim \cos(\theta) \sim \sin(2\theta) \sim 2\sin(\theta) \cos(\theta) \sim \cos(2\theta) \sim \cos(2\theta) \sim f$$f(z) =\frac{1}{\pi \sqrt(1-z^2)} I_{[-1,1]}(z)$$z=\sin(\theta) \Rightarrow f(z)=|\frac{d}{dz} \sin^{-1}(z)| f_{\theta}(\sin^{-1}(z)) + |\frac{d}{dz} (\pi-\sin^{-1}(z))| f_{\theta}(\pi -\sin^{-1}(z)) =\frac{1}{\sqrt(1-z^2)} \frac{1}{2\pi} +\frac{1}{\sqrt(1-z^2)} \frac{1}{2\pi} =\frac{1}{\pi\sqrt(1-z^2)}$

diğerleri için benzer.

$\frac{2XY}{\sqrt(X^2+Y^2)}=\frac{2r^2 \cos(\theta) \sin(\theta)}{r}=2r \cos(\theta) \sin(\theta) =r \sin(2\theta) \sim r \sin(\theta) \sim N(0,1)$

böylece gösterebiliriz:

$X= \sigma r \cos(\theta)$ ve$Y=\sigma r \sin(\theta)$

yani

$\frac{2XY}{\sqrt(X^2+Y^2)}=\frac{2r^2 \sigma \sigma \cos(\theta) \sin(\theta)}{r \sigma}=2\sigma r \cos(\theta) \sin(\theta) =\sigma r \sin(2\theta)\sim \sigma r \sin(\theta)\sim \sigma N(0,1)=N(0,\sigma^2)$

bağımsız göstermek

$\frac{2XY}{\sqrt(X^2+Y^2)}= \sigma r \sin(\theta)$

$\frac{X^2-Y^2}{2\sqrt(X^2+Y^2)}=\frac{r^2 \sigma^2 (\cos^2(\theta)-\sin^2(\theta))}{2r\sigma} =\frac{1}{2} r \sigma (\cos^2(\theta)-\sin^2(\theta)) \sim \frac{1}{2} r \sigma \cos(2\theta)\sim \frac{1}{2} r \sigma \cos(\theta)$ ve bağımsız olduklarını söylemek kolaydır.