Günlük normal veri kümesinin ortalaması için bir güven aralığını nasıl hesaplayabilirim?

Her bir örneğin logaritmasını alarak, dönüştürülen verilerin güven aralığını hesaplayarak ve ters işlemi kullanarak güven aralığını geri dönüştürebildiğiniz veri kümesini normal dağıtılmış bir şeye dönüştürebileceğinizi duydum / gördüm (örneğin, için sırasıyla alt ve üst sınırların gücüne 10 yükseltin ).$\log_{10}$

Ancak, bu yöntemden biraz şüpheliyim, çünkü bu sadece ortalama için çalışmaz:$10^{\operatorname{mean}(\log_{10}(X))} \ne \operatorname{mean}(X)$

Bunu yapmanın doğru yolu nedir? Ortalamanın kendisi için işe yaramazsa, ortalama için güven aralığı için nasıl çalışabilir?

Lognormal dağılımın ortalaması için güven aralıklarını hesaplamanın birkaç yolu vardır. İki yöntem sunacağım: Bootstrap ve Profile olasılığı. Ayrıca daha önce Jeffreys hakkında bir tartışma sunacağım.

çizme atkısı

MLE için

Bu durumda, bir örnek için MLE değeri$(\mu,\sigma)$$(x_1,...,x_n)$

Ardından, ortalamanın MLE değeri . Biz edinebilirsiniz yeniden örnekleyerek önyükleme örneği arasında ve bu kullanarak, biz hesaplayabilirsiniz birkaç önyükleme güven aralıkları. Aşağıdaki kodlar bunların nasıl elde edileceğini gösterir.$\hat\delta=\exp(\hat\mu+\hat\sigma^2/2)$ δ$\hat\delta$R

rm(list=ls())
library(boot)

set.seed(1)

# Simulated data
data0 = exp(rnorm(100))

# Statistic (MLE)

mle = function(dat){
m = mean(log(dat))
s = mean((log(dat)-m)^2)
return(exp(m+s/2))
}

# Bootstrap
boots.out = boot(data=data0, statistic=function(d, ind){mle(d[ind])}, R = 10000)
plot(density(boots.out$t))

# 4 types of Bootstrap confidence intervals
boot.ci(boots.out, conf = 0.95, type = "all")

Numune ortalaması için

Şimdi, MLE yerine tahmincisi göz önüne alındığında . Diğer tahmin ediciler de dikkate alınabilir.$\tilde{\delta}=\bar{x}$

rm(list=ls())
library(boot)

set.seed(1)

# Simulated data
data0 = exp(rnorm(100))

# Statistic (MLE)

samp.mean = function(dat) return(mean(dat))

# Bootstrap
boots.out = boot(data=data0, statistic=function(d, ind){samp.mean(d[ind])}, R = 10000)
plot(density(boots.out$t))

# 4 types of Bootstrap confidence intervals
boot.ci(boots.out, conf = 0.95, type = "all")

Profil olasılığı

Olabilirlik ve profil olabilirlik fonksiyonlarının tanımı için bakınız . Olasılıkın değişmezlik özelliğini kullanarak aşağıdaki şekilde yeniden hesaplayabiliriz , burada ve sonra sayısal olarak hesaplayabiliriz. profil olasılığı .$(\mu,\sigma)\rightarrow(\delta,\sigma)$$\delta=\exp(\mu+\sigma^2/2)$$\delta$

Bu fonksiyon değerleri alır ; seviyesinin bir aralık yaklaşık sahiptir güvenini Biz bir güven aralığı oluşturmak için bu özelliği kullanmak için gidiyoruz. şu. Kodları gösterileri nasıl bu aralığını elde etmek .$(0,1]$$0.147$ $95\%$$\delta$R

set.seed(1)

# Simulated data
data0 = exp(rnorm(100))

# Log likelihood
ll = function(mu,sigma) return( sum(log(dlnorm(data0,mu,sigma))))

# Profile likelihood
Rp = function(delta){
temp = function(sigma) return( sum(log(dlnorm(data0,log(delta)-0.5*sigma^2,sigma)) ))
max=exp(optimize(temp,c(0.25,1.5),maximum=TRUE)$objective     -ll(mean(log(data0)),sqrt(mean((log(data0)-mean(log(data0)))^2))))
return(max)
}

vec = seq(1.2,2.5,0.001)
rvec = lapply(vec,Rp)
plot(vec,rvec,type="l")

# Profile confidence intervals
tr = function(delta) return(Rp(delta)-0.147)
c(uniroot(tr,c(1.2,1.6))$root,uniroot(tr,c(2,2.3))$root)

$\star$ Bayes

Bu bölümde, için bir güvenilirlik aralığı hesaplamak için Metropolis-Hastings örneklemesi ve daha önce Jeffreys kullanımına dayanan alternatif bir algoritma sunulmuştur.$\delta$

Bu geri çağırma önce Jeffreys için bir Lognormal modelinde olduğu$(\mu,\sigma)$

ve bu öncekinin yeniden parametrelendirme altında değişmez olduğu. Bu önceki , ancak örnek boyutu ise parametrelerin posterioru . Aşağıdaki kod, bu Bayesian modelini kullanarak% 95 güvenilirlik aralığının nasıl elde edileceğini gösterir.$n\geq 2$R

library(mcmc)

set.seed(1)

# Simulated data
data0 = exp(rnorm(100))

# Log posterior
lp = function(par){
if(par[2]>0) return( sum(log(dlnorm(data0,par[1],par[2]))) - 2*log(par[2]))
else return(-Inf)
}

# Metropolis-Hastings
NMH = 260000
out = metrop(lp, scale = 0.175, initial = c(0.1,0.8), nbatch = NMH)

#Acceptance rate
out$acc

deltap = exp(  out$batch[,1][seq(10000,NMH,25)] + 0.5*(out$batch[,2][seq(10000,NMH,25)])^2  )

plot(density(deltap))

# 95% credibility interval
c(quantile(deltap,0.025),quantile(deltap,0.975))

Çok benzer olduklarını unutmayın.

Bayes yaklaşımını Jeffreys ile önceden deneyebilirsiniz. Doğru sıklık eşleme özelliğine sahip güvenilirlik aralıkları sağlamalıdır: güvenilirlik aralığının güven düzeyi, güvenilirlik düzeyine yakındır.

 # required package
 library(bayesm)

 # simulated data
 mu <- 0
 sdv <- 1
 y <- exp(rnorm(1000, mean=mu, sd=sdv))

 # model matrix
 X <- model.matrix(log(y)~1)
 # prior parameters
 Theta0 <- c(0)
 A0 <- 0.0001*diag(1)
 nu0 <- 0 # Jeffreys prior for the normal model; set nu0 to 1 for the lognormal model
 sigam0sq <- 0
 # number of simulations
 n.sims <- 5000

 # run posterior simulations
 Data <- list(y=log(y),X=X)
 Prior <- list(betabar=Theta0, A=A0, nu=nu0, ssq=sigam0sq)
 Mcmc <- list(R=n.sims)
 bayesian.reg <- runireg(Data, Prior, Mcmc)
 mu.sims <- t(bayesian.reg$betadraw) # transpose of bayesian.reg$betadraw
 sigmasq.sims <- bayesian.reg$sigmasqdraw

 # posterior simulations of the mean of y: exp(mu+sigma²/2)
 lmean.sims <- exp(mu.sims+sigmasq.sims/2)

 # credibility interval about lmean:
 quantile(lmean.sims, probs = c(0.025, 0.975))

Ancak, bu yöntemden biraz şüpheliyim, çünkü bu sadece ortalama için çalışmaz: 10mean (log10 (X)) ≠ ortalama (X)

Haklısın - bu geometrik ortalamanın formülü, aritmetik ortalama değil. Aritmetik ortalama normal dağılımdan bir parametredir ve genellikle lognormal veriler için çok anlamlı değildir. Verileriniz için merkezi bir eğilim hakkında daha anlamlı konuşmak istiyorsanız, geometrik ortalama lognormal dağılımın karşılık gelen parametresidir.

Ve gerçekten, verilerin logaritmalarını alarak, ortalama ve CI'leri her zamanki gibi hesaplayarak ve geri dönüşümü yaparak geometrik ortalama hakkındaki CI'ları hesaplarsınız. CI'leri aritmetik ortalama etrafında geometrik ortalamaya koyarak dağıtımlarınızı karıştırmak istemediğiniz konusunda haklısınız .... yeowch!