KL sapması neden negatif değildir?

Bilgi teorisi açısından, bu kadar sezgisel bir anlayışa sahibim:

Diyelim ki etiketlenmiş aynı elemanlardan oluşan iki ve topluluğu var . ve , sırasıyla ve topluluğu üzerinde farklı olasılık dağılımlarıdır . $A$ $B$ $x$ $p(x)$ $q(x)$ $A$ $B$

Bilgi teorisi perspektifinden bakıldığında, , topluluğu için bir elemanını kaydetmek için gereken en az miktarda bittir . Böylece, beklentisi , bir öğeyi ortalama olarak kaydetmek için en az kaç bit gerektiğimiz şeklinde yorumlanabilir . $\log_{2}(P(x))$ $x$ $A$

\sum_{x \in e n s e m b l e} - p (x) \ln (p (x))

$\sum_{x \in ensemble}-p(x)\ln(p(x))$

A

$A$

Bu formül, ortalama olarak ihtiyacımız olan bitlere bir alt sınır koyduğundan, farklı bir olasılık dağılımı getiren farklı bir topluluğu için, her bir elemanı için verdiği sınır kesinlikle verilen , yani beklenti almak anlamına gelir, $B$ $q(x)$ $x$ $p(x)$

\sum_{x \in e n s e m b l e} - p (x) \ln (q (x))

$\sum_{x\in ensemble}-p(x)\ln(q(x))$ bu ortalama uzunluk kesinlikle öncekinden daha büyük olacaktır, bu da

farklı olduğu içinburaya

\sum_{x \in e n s e m b l e} p (x) \frac{\ln (p (x))}{\ln (q (x))} > 0

$\sum_{x\in ensemble }p(x)\frac{\ln(p(x))}{\ln(q(x))} > 0$ koymam.

\geq

$\ge$

p (x)

$p(x)$

q (x)

$q(x)$

Bu benim sezgisel anlayışım, KL diverjansının negatif olmadığını kanıtlamanın tamamen matematiksel bir yolu var mı? Sorun şu şekilde ifade edilebilir:

Verilen ve hem gerçek çizgi üzerinde pozitiftir ve , . Kanıtlamak $p(x)$ $q(x)$ $\int_{-\infty}^{+\infty}p(x)dx = 1$ $\int_{-\infty}^{+\infty}q(x)dx = 1$ negatif değildir.

\int_{- \infty}^{+ \infty} p (x) \ln \frac{p (x)}{q (x)}

$\int_{-\infty}^{+\infty}p(x)\ln\frac{p(x)}{q(x)}$

Bu nasıl kanıtlanabilir? Yoksa bu ekstra koşullar olmadan kanıtlanabilir mi?

information-theory kullback-leibler

— meTchaikovsky
kaynak

Fano eşitsizliğinin kanıtını anlarsanız, göreceli entropinin olumsuzluğunu türetmek kolaydır .

— Lerner Zhang

Kanıt 1:

$\ln a \leq a-1$ $a \gt 0$

$-D_{KL}(p||q) \leq 0$ $D_{KL}(p||q) \geq 0$

\begin{aligned} - D (p | | q) & = - \sum_{x} p (x) \ln \frac{p (x)}{q (x)} \\ = \sum_{x} p (x) \ln \frac{q (x)}{p (x)} \\ \overset{(a)}{\leq} \sum_{x} p (x) (\frac{q (x)}{p (x)} - 1) \\ = \sum_{x} q (x) - \sum_{x} p (x) \\ = 1 - 1 \\ = 0 \end{aligned}

$\begin{align} -D(p||q)&=-\sum_x p(x)\ln \frac{p(x)}{q(x)}\\ &= \sum_x p(x)\ln \frac{q(x)}{p(x)}\\ &\stackrel{\text{(a)}}{\leq} \sum_x p(x)\left(\frac{q(x)}{p(x)}-1\right)\\ &=\sum_x q(x) - \sum_x p(x)\\ &= 1 - 1\\ &= 0 \end{align}$

$\ln$

- \sum_{x} p (x) \log_{2} p (x) \leq - \sum_{x} p (x) \log_{2} q (x)

$-\sum_x p(x) \log_2 p(x) \leq -\sum_x p(x)\log_2 q(x)$

\sum_{x} p (x) \log_{2} p (x) - \sum_{x} p (x) \log_{2} q (x) \geq 0 \sum_{x} p (x) \log_{2} \frac{p (x)}{q (x)} \geq 0

$\sum_x p(x) \log_2 p(x) - \sum_x p(x)\log_2 q(x)\geq 0 \\ \sum_x p(x)\log_2 \frac{p(x)}{q(x)}\geq 0$

Bunu ayrı bir kanıt olarak dahil etmememin sebebi, eğer Gibbs eşitsizliğini kanıtlamamı isteseydin, KL ıraksamasının olumsuzluğundan başlamam ve aynı kanıtları en baştan yapmam gerekirdi.

\sum_{i = 1}^{n} a_{i} \log_{2} \frac{a_{i}}{b_{i}} \geq (\sum_{i = 1}^{n} a_{i}) \log_{2} \frac{\sum_{i = 1}^{n} a_{i}}{\sum_{i = 1}^{n} b_{i}}

$\sum_{i=1}^{n} a_i \log_2 \frac{a_i}{b_i} \geq \left(\sum_{i=1}^{n} a_i\right)\log_2\frac{\sum_{i=1}^{n} a_i}{\sum_{i=1}^{n} b_i}$

$D_{KL}(p||q) \geq 0$

\begin{aligned} D (p | | q) & = \sum_{x} p (x) \log_{2} \frac{p (x)}{q (x)} \\ \overset{(b)}{\geq} (\sum_{x} p (x)) \log_{2} \frac{\sum_{x} p (x)}{\sum_{x} q (x)} \\ = 1 \cdot \log_{2} \frac{1}{1} \\ = 0 \end{aligned}

$\begin{align} D(p||q)&=\sum_x p(x)\log_2 \frac{p(x)}{q(x)}\\ &\stackrel{\text{(b)}}{\geq} \left(\sum_x p(x)\right)\log_2\frac{\sum_x p(x)}{\sum_x q(x)}\\ &=1 \cdot \log_2 \frac{1}{1}\\ &=0 \end{align}$

burada (b) 'de Log toplam eşitsizliğini kullandık.

Kanıt 3:

(Thomas M. Cover ve Joy A. Thomas'ın "Bilgi Teorisinin Unsurları" kitabından alınmıştır)

\begin{aligned} - D (p | | q) & = - \sum_{x} p (x) \log_{2} \frac{p (x)}{q (x)} \\ = \sum_{x} p (x) \log_{2} \frac{q (x)}{p (x)} \\ \overset{(c)}{\leq} \log_{2} \sum_{x} p (x) \frac{q (x)}{p (x)} \\ = \log_{2} 1 \\ = 0 \end{aligned}

$\begin{align} -D(p||q)&=-\sum_x p(x)\log_2 \frac{p(x)}{q(x)}\\ &= \sum_x p(x)\log_2 \frac{q(x)}{p(x)}\\ &\stackrel{\text{(c)}}{\leq} \log_2 \sum_x p(x)\frac{q(x)}{p(x)}\\ &=\log_2 1\\ &=0 \end{align}$

$\log$

— Andreas G.
kaynak