Neden ?

15

Sanırım

P (A | B) = P (A | B, C) * P (C) + P (A | B, \neg C) * P (\neg C)

$P(A|B) = P(A | B,C) * P(C) + P(A|B,\neg C) * P(\neg C)$

oysa doğru

P (A | B) = P (A | B, C) + P (A | B, \neg C)

$P(A|B) = P(A | B,C) + P(A|B,\neg C)$

yanlış.

Ancak, daha sonra ilgili bir "sezgi" var, yani, iki vakayı (C veya C değil) bölerek P (A | B) olasılığını düşünürsünüz. Bu sezgi neden yanlış?

probability bayesian

— zell
kaynak

4

Denklemlerinizi test etmek için basit bir örnek. İki bağımsız, adil madeni para atın. Let

A

$A$ ilk kafalarını gelir olay,

B

$B$ ikinci kafaları çıkageldi ve bu olay

C

$C$ hem başlarını geldiğini olay. Mı ya yazdığın denklemi doğru mu?

— A. Rex

4

Toplam olasılık yasası örneğin: Eğer koşullu olasılıkların toplamı olarak koşulsuz olasılığını ifade etmek istiyorsanız, iklimlendirme olayı ile ağırlık gerektiğini söyledi

P (A) = P (A | B) P (B) + P (A | \bar{B}) P (\bar{B})

$P(A) = P(A|B)P(B) + P(A|\bar{B})P(\bar{B})$

— AdamO

25

Olasılığı bu, kolay bir karşı örnek olarak, varsayalım bir olduğu bağımsız olarak değer, . Sonra, yanlış denklemi alırsak, şunu elde ederiz: $P(A)$ $A$ $1$ $C$

$P(A | B) = P(A | B, C) + P(A | B, \neg C) = 1 + 1 = 2$

Açıkçası doğru olamayacağını, bir olasılıkla daha büyük olamaz . Bu, iki durumun her birine, olayın ne kadar muhtemel olduğuna orantılı olarak ağırlık atamanız gereken sezgiyi oluşturmaya yardımcı olur ~~, bu da ilk (doğru) denklemle sonuçlanır.~~ . $1$

Bu sizi ilk denkleminize yaklaştırır, ancak ağırlıklar tamamen doğru değildir. Doğru ağırlıklar için A. Rex'in yorumuna bakın.

— Dennis Soemers
kaynak

1

"İlk (doğru) denklem" deki ağırlıklar ve olmalı mı, yoksa ve mı olmalı ?

P (C)

$P(C)$

P (\neg C)

$P(\neg C)$

P (C ∣ B)

$P(C\mid B)$

P (\neg C ∣ B)

$P(\neg C\mid B)$

— A. Rex

@ A.Rex Bu iyi bir nokta, tam doğruluk için bence ve olmalı . Denklemin sol tarafındaki her şey (sadece tek bir terim) verildiğini varsayar , bu nedenle herhangi bir ek varsayım olmaksızın ( ve birbirinden bağımsız olduğu varsayılarak ), sağdaki durum aynı olmalıdır el

P (C | B)

$P(C | B)$

P (\neg C | B)

$P(\neg C | B)$

B

$B$

B

$B$

C

$C$

— Dennis Soemers

Sadece A | B'nin% 200 emin olacağınızı düşünün.

— Mark L. Stone

@ MarkL.Stone Bu her zaman iki kez olur mu? ;)

— Monica

9

Dennis'in cevabının yanlış denklemi çürüten harika bir karşı örneği var. Bu cevap, aşağıdaki denklemin neden doğru olduğunu açıklamayı amaçlamaktadır:

P (A | B) = P (A | C, B) P (C | B) + P (A | \neg C, B) P (\neg C | B) .

$P(A|B) = P(A|C,B) P(C|B) + P(A|\neg C,B) P(\neg C|B).$

Her terim koşullandığından , tüm olasılık alanını ve terimini bırakabiliriz . Bu bize şunları verir: $B$ $B$ $B$

P (A) = P (A | C) P (C) + P (A | \neg C) P (\neg C) .

$P(A) = P(A|C) P(C) + P(A|\neg C) P(\neg C).$

O zaman bu denklemin neden ve terimlerini içerdiğini soruyorsunuz . $P(C)$ $P(\neg C)$

Bunun nedeni ise kısmı olan içinde ve kısmı olduğu bölgesindeki ve two toplayın için . Diyagrama bakınız. Öte yandan üzerinde oranıdır içeren ve oranı olan içeren - bunlar ortak paydaları zorunda kalmamak için farklı bölgelerin oranlarıdır bu yüzden onları eklemek anlamsızdır. $P(A|C) P(C)$ $A$ $C$ $P(A|\neg C) P(\neg C)$ $A$ $\neg C$ $A$ $P(A|C)$ $C$ $A$ $P(A|\neg C)$ $\neg C$ $A$

— Monica'yı eski durumuna getir
kaynak

2

"Her şey

üzerinde koşullandırılmış " değil. Özellikle,

ve

değildir, bu yüzden sadece

düşüremezsiniz . Dahası, bu denklemin yanlış olduğunu gösterebilir!

B

$B$

P (C)

$P(C)$

P (\neg C)

$P(\neg C)$

B

$B$

— A. Rex

@ A.Rex Teknik olarak haklısınız,

içeren her terimin

üzerinde koşullandırıldığını söylemeliydim (basit bir ikame yaptım

). Cevabı düzeltirim.

A

$A$

B

$B$

A | B \to A

$A|B \rightarrow A$

— Monica

5

İtirazım bir teknik değildi. İşletme diyagram doğru kanıtlamaktadır

üzerinde iyileştirme sonrası olan

olur

P (A) = P (A ∣ C) P (C) + P (A ∣ \neg C) P (\neg C)

$P(A) = P(A\mid C) P(C) + P(A\mid\neg C) P(\neg C)$

B

$B$

;

ve

olasılıklarınında

üzerinde koşullandığınıunutmayın. OP'de verilen ilk denklem bu değil, iyi haber, çünkü OP'de verilen ilk denklem doğru değil.

P (A ∣ B) = P (A ∣ B, C) P (C ∣ B) + P (A ∣ B, \neg C) P (\neg C ∣ B)

$P(A\mid B) = P(A\mid B,C) P(C\mid B) + P(A\mid B,\neg C) P(\neg C\mid B)$

C

$C$

\neg C

$\neg C$

B

$B$

— A. Rex

A.Rex @ Haklısınız kez daha vardır

de şartına gerekir

olasılık hacimlerin oranının içerdiği olarak

oranı ile aynı olmayabilir

içerdiği

. Bu nokta beni atlattı. Tekrar gözden geçireceğim.

C

$C$

B

$B$

C

$C$

B

$B$

C

$C$

— Monica

7

Sorunuza zaten iki harika yanıt aldığınızı biliyorum, ama sadece sezginizin arkasındaki fikri nasıl doğru denkleme dönüştürebileceğinizi belirtmek istedim.

İlk olarak, ve eşdeğerde. $P(X \mid Y) = \dfrac{P(X \cap Y)}{P(Y)}$ $P(X \cap Y) = P(X \mid Y)P(Y)$

Hata yapmaktan kaçınmak için, tüm koşullu olasılıkları ortadan kaldırmak için önceki paragraftaki ilk denklemi kullanacağız, daha sonra kesişme ve olay birlikleri içeren ifadeleri yeniden yazmaya devam edeceğiz, daha sonra koşulluları tekrar tanıtmak için önceki paragraftaki ikinci denklemi kullanacağız . Böylece şunlarla başlıyoruz:

P (A ∣ B) = \frac{P (A \cap B)}{P (B)}

$P(A \mid B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}$

İstenilen denklemi elde edene kadar sağ tarafı yeniden yazmaya devam edeceğiz.

Sezgi olarak sosyal çalışma etkinliği genişler içine , elde $A$ $(A \cap C) \cup (A \cap \neg C)$

P (A ∣ B) = \frac{P (((A \cap C) \cup (A \cap \neg C)) \cap B)}{P (B)}

$P(A \mid B) = \dfrac{P(((A \cap C) \cup (A \cap \neg C)) \cap B)}{P(B)}$

Setlerde olduğu gibi, kavşak birleşim üzerinden dağılır:

P (A ∣ B) = \frac{P ((A \cap B \cap C) \cup (A \cap B \cap \neg C))}{P (B)}

$P(A \mid B) = \dfrac{P((A \cap B \cap C) \cup (A \cap B \cap \neg C))}{P(B)}$

Payda birleştirilen iki olay birbirini dışlayan ( ve her ikisi de gerçekleşemediğinden), toplam kuralını kullanabiliriz: $C$ $\neg C$

P (A ∣ B) = \frac{P (A \cap B \cap C)}{P (B)} + \frac{P (A \cap B \cap \neg C)}{P (B)}

$P(A \mid B) = \dfrac{P(A \cap B \cap C)}{P(B)} + \dfrac{P(A \cap B \cap \neg C)}{P(B)}$

Şimdi görüyoruz ki ; böylece, söz konusu olayı ("sağ" taraf) aynı tutarsanız, ilgili olaydaki olayın toplamını (koşullu çubuğun "sol" tarafı) kullanabilirsiniz. Bu, diğer eşitlik kanıtları için de genel bir kural olarak kullanılabilir. $P(A \mid B) = P(A \cap C \mid B) + P(A \cap \neg C \mid B)$

İkinci paragraftaki ikinci denklemi kullanarak istenen koşulları tekrar : ve benzer şekilde .

P (A \cap (B \cap C)) = P (A ∣ B \cap C) P (B \cap C)

$P(A \cap (B \cap C)) = P(A \mid B \cap C)P(B \cap C)$

\neg C

$\neg C$

Bunu denklemimize şu şekilde bağlarız : $P(A \mid B)$

P (A ∣ B) = \frac{P (A ∣ B \cap C) P (B \cap C)}{P (B)} + \frac{P (A ∣ B \cap \neg C) P (B \cap \neg C)}{P (B)}

$P(A \mid B) = \dfrac{P(A \mid B \cap C)P(B \cap C)}{P(B)} + \dfrac{P(A \mid B \cap \neg C)P(B \cap \neg C)}{P(B)}$

dikkat edin (ve benzer şekilde), sonunda $\dfrac{P(B \cap C)}{P(B)} = P(C \mid B)$ $\neg C$

P (A ∣ B) = P (A ∣ B \cap C) P (C ∣ B) + P (A ∣ B \cap \neg C) P (\neg C ∣ B)

$P(A \mid B) = P(A \mid B \cap C)P(C \mid B) + P(A \mid B \cap \neg C)P(\neg C \mid B)$

Düzeltme de dahil olmak üzere doğru denklem hangisidir (biraz farklı gösterim olsa da).

Not bu haline . Bu , koşulunu sadece ve değil ekleyerek denklemini yansıtır. $P(A \cap C \mid B)$ $P(A \mid B \cap C)P(C \mid B)$ $P(A \cap C) = P(A \mid C)P(C)$ $B$ $P(A \cap C)$ $P(A \mid C)$ $P(C)$

— YawarRaza7349
kaynak

2

+1. Bence OP'nin sezgi yapmaya çalıştığı denklemi çıkardınız:

P (A ∣ B) = P (A \cap C ∣ B) + P (A \cap \neg C ∣ B)

$P(A\mid B)=P(A\cap C\mid B)+P(A\cap\neg C\mid B)$ .

— A. Rex

Teşekkürler! Yapmak istediğim ana nokta buydu, ancak kesişimin neden sağdan ziyade sola gittiğine dair üst düzey bir açıklama bulamadım , bunun yerine formüller kullandım. Ayrıca, OP'nin formülündeki hatayı gösteren kişi olduğunuzu fark ettim, bu yüzden size bunun için kredi verdim. (Muhtemelen ben de fark

— etmezdim

2

Olasılıklar oranlardır; A'nın B olasılığı, A'nın B boşluğunda ne sıklıkta gerçekleştiğidir. Örneğin, $P(\text{rain|March})$ Mart ayındaki yağışlı gün sayısının Mart ayındaki toplam gün sayısına bölümüdür. Kesirler ile uğraşırken, payları bölmek mantıklıdır. Örneğin,

\begin{aligned} P (yağmur veya kar | Mart) & = \frac{(Mart ayında yağışlı veya karlı gün sayısı)}{(Mart ayında toplam gün sayısı)} \\ = \frac{(Mart ayında yağışlı gün sayısı)}{(Mart ayında toplam gün sayısı)} + \\ \frac{(Mart ayında karlı gün sayısı)}{(Mart ayında toplam gün sayısı)} \\ = P (yağmur | Mart) + P (kar | Mart) \end{aligned}

$\begin{align} P(\text{rain or snow|March}) &= \frac{(\text{number of rainy or snowy days in March})}{(\text{total number of days in March})} \\[7pt] &= \frac{(\text{number of rainy days in March})}{(\text{total number of days in March)}} + \\[4pt] &\qquad \frac{\text{(number of snowy days in March)}}{(\text{total number of days in March)}} \\[7pt] &= P(\text{rain|March})+P(\text{snow|March}) \end{align}$

Bu tabii ki "kar" ve "yağmur" un birbirini dışladığını varsayar. Bununla birlikte, paydaları bölmek mantıklı değildir. Eğer varsa $P(\text{rain|February or March})$ , eşittir

\frac{(Şubat ve Mart aylarında yağışlı gün sayısı)}{(Şubat ve Mart aylarında toplam gün sayısı)} .

$\frac{(\text{number of rainy days in February and March})}{(\text{total number of days in February and March})}.$

Ama bu eşit değil

\frac{(Şubat ayında yağmurlu gün sayısı)}{(total number of days in February)} + \frac{(number of rainy days in March)}{(total number of days in March)} .

$\frac{(\text{number of rainy days in February})}{(\text{total number of days in February})} + \frac{(\text{number of rainy days in March)}}{(\text{total number of days in March)}}.$

If you're having trouble seeing that, you can try out some numbers. Suppose there are 10 rainy days in February and 8 in March. Then we have

\frac{(number of rainy days in February and March)}{(total number of days in February and March)} = (10 + 8) / (28 + 31) = 29.5 %

$\frac{(\text{number of rainy days in February and March})}{(\text{total number of days in February and March)}} = (10+8)/(28+31) = 29.5\%$

and

\begin{aligned} \frac{(number of rainy days in February)}{(total number of days in February)} + \frac{(number of rainy days in March)}{(total number of days in March)} & = (10 / 28) + (8 / 31) \\ = 35.7 % + 25.8 % \\ = 61.5 % \end{aligned}

$\begin{align} \frac{(\text{number of rainy days in February})}{(\text{total number of days in February)}} + \frac{(\text{number of rainy days in March)}}{(\text{total number of days in March)}} &= (10/28)+(8/31) \\ &= 35.7\% + 25.8\% \\ &= 61.5\% \end{align}$

The first number, 29.5%, is the average of 35.7% and 25.8% (with the second number weighted slightly more because there is are more days in March). When you say $P(A|B)=P(A|B,C)+P(A|B,¬C)$ you're saying that $\frac{x_1+x_2}{y_1+y_2} = \frac{x_1}{y_1}+\frac{x_2}{y_2}$ , which is false.

— Acccumulation
kaynak

1

If I go to Spain, I can get sunburnt.

P (s u n b u r n t | S p a i n) = 0.2

$P(sunburnt | Spain)=0.2$ This tells me nothing about getting sunburnt if not going to Spain, let's say

P (s u n b u r n t | \neg S p a i n) = 0.1

$P(sunburnt|\neg Spain)=0.1$ This year I'm going to Spain, so

P (s u n b u r n t) = 0.2

$P(sunburnt)=0.2$ Letting

B = Ω

$B=\Omega$ , this is,

P (B) = 1

$P(B)=1$ , your intuition would imply

P (A) = P (A | C) + P (A | \neg C)

$P(A)=P(A|C)+P(A|\neg C)$ which by the previous argument, isn't neccesarily true.

— sheriff
kaynak