Standart hata nasıl çalışır?

Son zamanlarda standart hatanın iç işleyişini araştırdım ve kendimin nasıl çalıştığını anlayamadım. Standart hatayı anladığım, bunun örnek araçların dağılımının standart sapması olduğudur. Sorularım:

• Standart hatanın genellikle sadece tek bir numune aldığımızda numune araçlarının standart sapması olduğunu nasıl biliyoruz?

• Standart hatayı hesaplamak için kullanılan denklem neden tek bir örnek için standart sapma denklemini yansıtmıyor?

Evet, ortalamanın (SEM) standart hatası, araçların standart sapmasıdır (SD). (Standart hata, bir örnekleme dağılımının SD'sini söylemenin başka bir yoludur. Bu durumda, örnekleme dağılımı, sabit bir boyuttaki örneklerin N için araçlardır.) SEM ve SD popülasyonu arasında matematiksel bir ilişki vardır: SEM = nüfus SD / N'nin karekökü Bu matematiksel ilişki çok yararlıdır, çünkü SEM hakkında neredeyse hiçbir zaman doğrudan bir tahminimiz yoktur, ancak SD popülasyonu hakkında bir tahminimiz vardır (örneğimizin SD'si). İkinci sorunuzla ilgili olarak, eğer N boyutunda birden fazla numune toplayacak ve her bir numune için ortalamayı hesaplayacak olsaydınız, SEM'yi sadece araçların SD'sini hesaplayarak tahmin edebilirsiniz. Dolayısıyla SEM için formül gerçekten tek bir örneğin SD formülünü yansıtır.

Varsayalım bağımsız aynen dağılma vardır. Bahsettiğinizden emin olduğum durum bu. Ortak ortalamaları μ ve ortak varyansları σ 2 olsun .$X_1, X_2, \ldots, X_n$$\mu$$\sigma^2$

Şimdi örnek ortalaması . Beklenti lineerliği gösterir ortalama olduğu X- b de μ . Bağımsızlık varsayım ima varyansı X, b toplamı sapma olan kendi terimler. Bu tür her bir terim X ı / n, bir değişkenliğe sahiptir σ 2 / n- 2 (bir sabit kere varyansı rastgele değişken olduğu için sabit bir rastgele değişkenin varyansı kez kare). Bizde $X_b=\sum_i X_i/n$$X_b$$\mu$$X_b$$X_i/n$$\sigma^2/n^2$$n$bu değişkenlerin toplamı aynı şekilde dağıtılmıştır, dolayısıyla her terim aynı varyansa sahiptir. Sonuç olarak, örnek ortalamasının varyansı için elde edilir.$n \sigma^2/n^2 = \sigma^2/n$

Genellikle bilmiyoruz ve bu yüzden verilerden tahmin etmeliyiz. Ayara bağlı olarak, bunu yapmanın çeşitli yolları vardır. En yaygın iki genel amaçlı tahminleri σ 2 olan örnek varyans s 2 = $\sigma^2$$\sigma^2$ ve küçük bir katları,s 2 u =$s^2 = \frac{1}{n}\sum_i(X_i-X_b)^2$(σ2'nintarafsız bir tahmincisi). Bunlardan herhangi biriniönceki paragraftaσ2yerine kullanmakve karekök almaks/√biçiminde standart hatayı verir.$s_u^2 = \frac{n}{n-1}s^2$$\sigma^2$$\sigma^2$ veyasu/$s/\sqrt{n}$ .$s_u/\sqrt{n}$

Her ikisine de +1JoelW. & @MichaelChernick. @ JoelW.'in cevabına bir detay eklemek istiyorum. “SEM hakkında neredeyse hiçbir zaman doğrudan bir tahminimiz yok”, ki bu aslında doğrudur, ancak bu ifadeye bir uyarı açıkça belirtmeye değer. Özellikle, bir çalışma birden fazla grup / tedaviyi (örneğin plasebo ile standart ilaca karşı yeni ilacı) karşılaştırdığında, tipik olarak hepsinin eşit olup olmadığını görmek için bir ANOVA kullanılır. Sıfır hipotezi, her grubun aynı popülasyondan alındığı ve bu nedenle her üç aracın da popülasyon ortalamasının tahminleridir. Yani, standart bir ANOVA'daki sıfır hipotezi, doğrudan SEM tahminine sahip olduğunuzu varsayar . Araçların örnekleme dağılımının varyansı için denklemi düşünün: buradaσ 2 p o p popülasyon varyansıdır venjgrup sayısıdır. Genellikle bu şekilde hesaplamalar yoktur, ancak bizolabilirsadece tahmini değerleri fiş standart formüller kullanmak, ve en az cebirsel yeniden düzenleme tek ile meydanaFşöyle istatistik: F=njxs 2 ˉ

$$\sigma^2_{\bar x}=\frac{\sigma^2_{pop}}{n_j},$$ $\sigma^2_{pop}$$n_j$$F$ Bu durumda, gerçekten standart formülü kullanırız (sadece grup araçlarına uygulanır), yani: s 2 ˉ x =∑ n j j = 1 ( ˉ x j- ˉ x .) $$F=\frac{n_j\times s^2_{\bar x}}{s^2_{\text{pooled within group}}}$$ ilex. grubun ortalaması olmak demektir. $$s^2_{\bar x}=\frac{\sum_{j=1}^{n_j}(\bar x_j-\bar x_.)^2}{n_j-1},$$ $x_.$

Bu nedenle, tipik olarak sıfır hipotezinin doğru olmadığına inanıyoruz, @ JoelW.'nin amacı doğrudur, ancak bu noktadan geçiyorum, çünkü sağladığı netliğin bu sorunları anlamak için yararlı olduğunu düşünüyorum.