Ortalamanın karesi için tarafsız, pozitif tahminci

Eğer gerçek (bilinmeyen) bir dağılımından iid numunelerin erişebilir ortalama ve varyans varsayalım ve biz tahmin etmek istiyoruz . $\mu, \sigma^2$ $\mu^2$

Bu miktarın tarafsız, daima pozitif bir tahmincisini nasıl oluşturabiliriz?

Örnek ortalamanın karesi alındığında önyargılıdır ve miktarı fazla tahmin eder, esp. Eğer yakın 0 ve büyüktür. $\tilde{\mu}^2$ $\mu$ $\sigma^2$

Bu muhtemelen önemsiz bir soru ama google becerilerim estimator of mean-squaredsadece geri dönüş olarak beni hayal kırıklığına uğrattımean-squarred-error estimators

Eğer işleri kolaylaştırırsa, temeldeki dağılımın Gausscu olduğu varsayılabilir.

Çözüm:

tarafsız bir tahminini oluşturmak mümkündür ; bkz knrumsey cevabını $\mu^2$
Gerçek gereksinim 0 olduğunda bu gereksinim çeliştiğinden , tarafsız, her zaman pozitif bir tahmin oluşturmak mümkün değildir ; bkz Winks' cevabını $\mu^2$

mean unbiased-estimator

— Winks
kaynak

Belki de kareli ortalamanın tahmincisi ya da ortalamanın karesi tahmincisi için arama yapın . Başlığınızı okuduğumda da (Google gibi) kafam karıştı, bu yüzden daha sezgisel hale getirmek için onu düzenledim.

— Richard Hardy

Yanıtlar:

Örnek ortalamanın $\bar{X}$ aynı zamanda ortalama olarak $\mu$ ve varyans $\sigma^2/n$ . Bunun anlamı şudur ki

E ({\bar{X}}^{2}) = E (\bar{X})^{2} + var (\bar{X}) = μ^{2} + \frac{σ^{2}}{n}

$\operatorname E(\bar{X}^2) = \operatorname E(\bar{X})^2 + \operatorname{Var}(\bar{X}) = \mu^2 + \frac{\sigma^2}n$

Önem verdiğiniz tek şey tarafsız bir tahminse, örnek varyansının tarafsız olduğu gerçeğini kullanabilirsiniz. $\sigma^2$ . Bu, tahmin edicinin

\hat{μ^{2}} = {\bar{X}}^{2} - \frac{S^{2}}{n}

$\widehat{\mu^2} = \bar{X}^2 - \frac{S^2}n$ tarafsız

μ^{2}

$\mu^2$ .

— knrumsey
kaynak

Girdiniz için teşekkürler! Bu iyi bir gözlemdir, ancak her zaman pozitif gereksinimi karşılamaz; {-1,1} örnekleri verildiğinde, örnek ortalaması 0 ve örnek varyansı 2'dir, bu da bir tahmine yol açar

\hat{μ^{2}}

$\hat{\mu^2}$ -1.

— Winks

Verilen

(\bar{X}, S^{2})

$(\bar{X},S^2)$ minimum düzeyde yeterli ve eksiksizdir, bu yansız tahminci minimum varyansa sahip olmalıdır.

— Xi'an

@Winks Bunun saçma tarafsız bir tahmin edicinin bir örneği olmasının nedeni de budur .

— StubbornAtom

Çok ilginç. İki iid gözlemi kullanan basit bir temassız tahmin edici

X_{1}

$X_1$ ve

X_{2}

$X_2$ dır-dir

X_{1} X_{2}

$X_1X_2$ , gibi

E (X_{1} X_{2}) = E (X_{1}) E (X_{2}) = μ^{2}

$E(X_1 X_2) = E(X_1)E(X_2) = \mu^2$ . Açıkçası bu bir tahminci kadar iyi değil, ancak herhangi bir polinomun

μ

$\mu$ ilginç olduğunu düşündüğüm, insiz bir tahmincisi var.

— Paul Harrison

Hem tarafsız hem de daima olumlu bir tahminci üretmek mümkün olmamalıdır. $\mu^2$ .

Eğer gerçek ortalama 0 ise, tahmin edenin beklenti dönüşü 0'da olması gerekir, ancak negatif sayılar çıkarmasına izin verilmez, bu nedenle de önyargılı olacağı gibi pozitif sayılar çıkarmasına da izin verilmez. Bu nedenle, bu miktarın tarafsız, her zaman pozitif bir tahmincisi, ortalama 0 olduğunda, örneklerden bağımsız olarak, imkansız gibi görünen her zaman doğru cevabı döndürmelidir.

knrumsey'nin cevabı , örnek-ortalama-kare tahmin edicinin önyargısının nasıl düzeltileceğini gösterir. $\mu^2$ .

— Winks
kaynak

Jim Berger tarafından bu gerçeği oluşturan oldukça eski bir kağıt var, ama izleyemiyorum. Sorun ayrıca Monte Carlo'da Rus Ruleti gibi debiasing tahmincileri ile ortaya çıkıyor.

— Xi'an