Wishart matrisinin log-determinantının beklenen değeri

Let , diğer bir deyişle uygun olarak dağıtılır ortalama sahip olan üç boyutlu Wishart dağılımı ve serbestlik derecesi . için bir ifade istiyorum neredebelirleyicidir. $\Lambda \sim \mathcal W_D(\nu, \Psi)$ $D \times D$ $\nu \Psi$ $\nu$ $E(\log |\Lambda|)$ $|\Lambda|$

Bunun cevabı için biraz google'landım ve bazı çelişkili bilgiler aldım. Bu makale açıkça burada digamma işlevini gösterir ; makalede anlayabildiğim kadarıyla bu gerçek için bir kaynak verilmiyor. Bu aynı zamanda Bishop'un Örüntü Tanıma metnini barındıran Wishart'ın wikipedia sayfasında kullanılan formüldür .

E (günlük | Λ |) = D günlük 2 + günlük | Ψ | + Σ_{ben = 1}^{D} ψ (\frac{ν - ben + 1}{2})

$E(\log|\Lambda|) = D \log 2 + \log |\Psi| + \sum_{i = 1} ^ D \psi\left(\frac{\nu - i + 1} 2\right)$

ψ (\cdot)

$\psi(\cdot)$

\frac{d}{d x} \log Γ (x)

$\frac d {dx} \log \Gamma(x)$

Öte yandan, geldi google bu tartışma bağlantılı bir kağıt ile bu durumları bu Bunlar olduğu sonucuna varmaktadırlar , olgusu kullanılarak türetilir . Bu hesaplamayı den başlayarak kontrol ettim ve iyi görünüyor, ancak ekstra bir .

ν^{D} \frac{| Λ |}{| Ψ |} ~ χ_{ν}^{2} χ_{ν - 1}^{2} \dots χ_{ν - D + 1}^{2} . (†)

$\nu^D \frac{|\Lambda|}{|\Psi|} \sim \chi^2_\nu \chi^2_{\nu - 1} \cdots\chi^2_{\nu - D + 1}. \qquad (\dagger)$

E (günlük | Λ |) = D günlük 2 - D günlük ν + günlük | Ψ | + Σ_{ben = 1}^{D} ψ (\frac{ν - ben + 1}{2})

$E(\log | \Lambda|) = D \log 2 - D \log \nu + \log |\Psi| + \sum_{i = 1} ^ D \psi\left(\frac{\nu - i + 1} 2\right)$

E (\log χ_{ν}^{2}) = \log (2) + ψ (ν / 2)

$E(\log \chi^2_\nu) = \log(2) + \psi(\nu /2)$

(†)

$(\dagger)$

- D \log ν

$-D\log\nu$

distributions wishart

— insan
kaynak

Bunu göndermeye hazırlanırken kendi soruma cevap verebildim. Genel StackExchange görgü kurallarına uygun olarak, bu sorunla karşılaşan birisinin gelecekte, muhtemelen yaptığım kaynaklarla aynı sorunlarla karşılaştıktan sonra bulabileceğini umarak göndermeye karar verdim. Hemen cevap vermeye karar verdim, böylece çözüm ilginç olmadığından kimse zaman kaybetmiyor.

$(\dagger)$ yanlış, çünkü tartışmada bağlantı verilen makale Wishart'ın farklı bir parametrelerini kullanıyordu; bu tartışmacılar tarafından fark edilmedi. Aslında sahip olmamız gereken Bu düzeltmeden sonra, iki formül aynı cevaba yol açar.

\frac{| Λ |}{| Ψ |} ~ χ_{ν}^{2} χ_{ν - 1}^{2} \dots χ_{ν - D + 1}^{2} . († †)

$\frac{|\Lambda|}{|\Psi|} \sim \chi^2_\nu \chi^2_{\nu - 1} \cdots\chi^2_{\nu - D + 1}. \qquad (\dagger\dagger)$

Her durumda, bence ilginç bir ilişki. $(\dagger\dagger)$

DÜZENLE:

Aşağıdaki probabilisticlogic tavsiyesi yazabiliriz alt üçgen burada sahip çapraz ve kapalı elemanları diyagonal öğeleri. Her iki tarafın determinentini almak hemen verir . $\Lambda \stackrel d = \Psi^{1/2} L L^T \Psi^{1/2}$ $L$ $N(0, 1)$ $\sqrt{\chi^2_{\nu - i + 1}}, (i = 1, ..., D)$ $(\dagger\dagger)$

— insan
kaynak

Cholesky versiyonunu daha çok seviyorum - diyagonalde ki-kare kare kökü ve alt üçgende standart normal.

— olasılık

@probabilityislogic Tahmin için teşekkürler! Bunu hatırlamak daha kolay ve kullanışlı görünüyor.

— adam

Hey, karmaşık görünen, Wishart'ın (Bishop'un kitabında belirtilen) günlüğünü beklemeye çalışıyorum, sonucu elde etmek için herhangi bir kaynak buldunuz mu?

— avokado