miktarları için kapalı form ifadesi

İki rastgele değişkenim var, $\alpha_i\sim \text{iid }U(0,1),\;\;i=1,2$ burada $U(0,1)$ eşit 0-1 dağılımıdır.

Sonra, bunlar bir süreç verir, örneğin:

P (x) = α_{1} \sin (x) + α_{2} \cos (x), x \in (0, 2 π)

$P(x)=\alpha_1\sin(x)+\alpha_2\cos(x), \;\;\;x\in (0,2\pi)$

Şimdi, bir kapalı form ekspresyon olup olmadığını merak $F^{-1}(P(x);0.75)$ teorik yüzde 75 quantile $P(x)$ , belirli bir için $x\in(0,2\pi)$ herhalde -I bir bilgisayar ve birçok gerçekleştirmeleri ile yapabilirsiniz $P(x)$ , ama kapalı formu tercih ediyorum--.

distributions probability stochastic-processes

— user603
kaynak

Sanırım α

ve α

istatistiksel olarak bağımsız olduğunu varsaymak istiyorsunuz .

_{1}

$_1$

_{2}

$_2$

— Michael R.Chernick

@Prorastinator: Bunu bir cevap olarak yazabilir misiniz?

— user603

(+1) "Süreç" bakış açısı burada kırmızı bir ringa balığı gibi görünüyor.

yazma

Burada

. Daha sonra, her sabit

, ilk iki terim birtrapezoidalyoğunluk fonksiyonunubelirlerve son terim sadece ortalama bir ofsettir. Yamuk yoğunluğunun belirlenmesi için sadece

dikkate almamız gerekir.

P (x) = β_{1} \sin x + β_{2} \cos x + \frac{1}{2} (\sin x + \cos x),

$P(x) = \beta_1 \sin x + \beta_2 \cos x + \frac{1}{2} (\sin x + \cos x) \>,$

β_{i} = α_{i} - 1 / 2 \sim U (- 1 / 2, 1 / 2)

$\beta_i = \alpha_i - 1/2 \sim \mathcal U(-1/2,1/2)$

x

$x$

x \in [0, π / 2)

$x \in [0,\pi/2)$

— kardinal

Sayısal olarak bu kullanarak basitçe yapılabilir quant = function(n,p,x) return( quantile(runif(n)*sin(x)+runif(n)*cos(x),p) )ve quant(100000,0.75,1).

Bu sorun hızlı bir şekilde yamuk dağılımının kuantilini bulan birime indirgenebilir .

Süreci olarak yeniden Burada ve iid ; rastgele değişkenler simetriyle, aynı sahipmarjinalbir süreç olarak dağıtım

P (x) = U_{1} \cdot \frac{1}{2} \sin x + U_{2} \cdot \frac{1}{2} \cos x + \frac{1}{2} (\sin x + \cos x),

$P(x) = U_1 \cdot \frac12 \sin x + U_2 \cdot \frac12 \cos x + \frac{1}{2} (\sin x + \cos x) \>,$

U_{1}

$U_1$

U_{2}

$U_2$

U (- 1, 1)

$\mathcal U(-1,1)$

İlk iki terim simetrik biryamuk yoğunluğunubelirler,çünkü bu iki ortalama sıfır tekdüze rasgele değişkenin (genel olarak farklı yarım genişliklerle) toplamıdır. Son terim sadece bu yoğunluğun bir çevirisine yol açar ve kantil bu çeviriye göre eşdeğerdir (yani, kaydırılan dağılımın kantili ortalanmış dağılımın kaydırılmış kantilidir).

\bar{P} (x) = U_{1} \cdot | \frac{1}{2} \sin x | + U_{2} \cdot | \frac{1}{2} \cos x | + \frac{1}{2} (\sin x + \cos x) .

$\overline P(x) = U_1 \cdot \left|\frac12 \sin x\right| + U_2 \cdot \left|\frac12 \cos x\right| + \frac{1}{2} (\sin x + \cos x) \>.$

Trapezoidal dağılımın kantilleri

Let ve bağımsız ve dağılımlar. O genelliği kaybetmeden varsayalım . Daha sonra, yoğunluğu yoğunluklarını evriştirerek oluşturulur ve . Bu, köşeleri olan bir yamuk olarak kolayca görülür $Y = X_1 + X_2$ $X_1$ $X_2$ $\mathcal U(-a,a)$ $\mathcal U(-b,b)$ $a \geq b$ $Y$ $X_1$ $X_2$ , , ve . $(-a-b,0)$ $(-a+b,1/2a)$ $(a-b,1/2a)$ $(a+b,0)$

Dağılım miktarsal herhangi biri için, , bu şekilde, bir $Y$ $p < 1/2$ Simetri tarafından için, elimizdeki.

q (p) := q (p; a, b) = {\begin{cases} \sqrt{8 a b p} - (a + b), & p < b / 2 a \\ (2 p - 1) a, & b / 2 a \leq p \leq 1 / 2 . \end{cases}

$q(p) := q(p\,; a,b) = \begin{cases} \sqrt{8abp} - (a+b) \,, & p < b/2a \\ (2p - 1) a \,, & b/2a \leq p \leq 1/2 \>. \end{cases}$

p > 1 / 2

$p > 1/2$

q (p) = - q (1 - p)

$q(p) = - q(1-p)$

Eldeki davaya geri dön

$p < 1/2$ $|\sin x| \geq |\cos x|$ $a = |\sin x|/2$ $b=|\cos x|/2$

q_{x} (p) = q (p; a, b) + \frac{1}{2} (\sin x + \cos x),

$q_x(p) = q(p \,; a,b) + \frac{1}{2}(\sin x + \cos x) \>,$

| \sin x | < | \cos x |

$|\sin x| < |\cos x|$

p \geq 1 / 2

$p \geq 1/2$

q_{x} (p) = - q (1 - p; a, b) + \frac{1}{2} (\sin x + \cos x),

$q_x(p) = -q(1-p \,; a,b) + \frac{1}{2}(\sin x + \cos x) \>,$

Quantiles

$P(x)$ $x$ $0$ $2\pi$ $y$ $p$ $P(x)$

X'in bir fonksiyonu olarak Quantiles

$p = 1/2$ $p=0$ $p=1$ $p=1/4$ $p=3/4$

Kuantil çizim

Bazı örnek Rkodlar

qproc $P(x)$ $x$ qtrap

# Pointwise quantiles of a random process: 
# P(x) = a_1 sin(x) + a_2 cos(x)

# Trapezoidal distribution quantile
# Assumes X = U + V where U~Uni(-a,a), V~Uni(-b,b) and a >= b
qtrap <- function(p, a, b)
{
    if( a < b) stop("I need a >= b.")
    s <- 2*(p<=1/2) - 1
    p <- ifelse(p<= 1/2, p, 1-p)
    s * ifelse( p < b/2/a, sqrt(8*a*b*p)-a-b, (2*p-1)*a )
}

# Now, here is the process's quantile function.
qproc <- function(p, x)
{
    s <- abs(sin(x))
    c <- abs(cos(x))
    a <- ifelse(s>c, s, c)
    b <- ifelse(s<c, s, c)
    qtrap(p,a/2, b/2) + 0.5*(sin(x)+cos(x))
}

Aşağıda ilgili çıktıya sahip bir test bulunmaktadır.

# Test case
set.seed(17)
n <- 1e4
x <- -pi/8
r <- runif(n) * sin(x) + runif(n) * cos(x)

# Sample quantiles, then actual.
> round(quantile(r,(0:10)/10),3)
    0%    10%    20%    30%    40%    50%    60%    70%    80%    90%   100%
-0.380 -0.111 -0.002  0.093  0.186  0.275  0.365  0.453  0.550  0.659  0.917
> round(qproc((0:10)/10, x),3)
 [1] -0.383 -0.117 -0.007  0.086  0.178  0.271  0.363  0.455  0.548
[10]  0.658  0.924

— kardinal
kaynak

Keşke daha fazla oy verebilseydim. Bu ise uzmanlık gücü: i love this website sebep. Yamuk dağılımını bilmiyordum. Bunu çözmem biraz zaman alacaktı. Yoksa Üniformalar yerine Gauss'luları kullanmak için yerleşmek zorunda kalırdım. Her neyse, harika.

— user603