Artıklar “öngörülen eksi gerçek” veya “gerçek eksi tahmin ediliyor” mu?

Farklı olarak "tahmini eksi gerçek değerler" veya "gerçek eksi öngörülen değerler" olarak tanımlanan "artıklar" gördüm. Gösterim amacıyla, her iki formülün de yaygın bir şekilde kullanıldığını göstermek için, aşağıdaki Web aramalarını karşılaştırın:

• artık "öngörülen eksi gerçek"
• artık "gerçek eksi tahmin edildi"

Uygulamada, neredeyse hiç bir fark yaratmaz, çünkü bireysel artıkların işareti genellikle önemli değildir (örneğin, kareler varsa veya mutlak değerler alınırsa). Ancak benim sorum şu: bu iki versiyondan biri (ilk önce gerçek ve ilk tahmin) "standart" olarak kabul edilir mi? Kullanımımda tutarlı olmayı seviyorum, bu yüzden eğer sağlam bir konvansiyonel standart varsa, onu izlemeyi tercih ederim. Bununla birlikte, standart yoksa, bunu standart bir kongre olmadığı konusunda ikna edici bir şekilde kanıtlanabilirse bir cevap olarak kabul etmekten memnuniyet duyarım.

Artıklar her zaman gerçek eksi tahmin edilir. Modeller: Bu nedenle, hataların tahminleri olan artıkları : s s s = y -

@Whuber ile işaretin matematiksel olarak gerçekten önemli olmadığını kabul ediyorum. Yine de bir kongre yapmak iyi. Ve şimdiki kongre benim cevabımdaki gibidir.

OP bu konuda yetkilerime itiraz ettiğinden, bazı referanslar ekliyorum:

• " (2008) Artık. In: İstatistiğin Muhtasar Ansiklopedisi. Springer, New York, NY , aynı tanımı veriyor.
• Fisher'ın "Araştırma Çalışanları İçin İstatistiksel Yöntemler" 1925 de aynı tanımlara sahiptir, bu 1934 versiyonunda Bölüm 26'ya bakınız . Alçakgönüllü unvanı rağmen, bu tarihsel bağlamda önemli bir eserdir

Sadece rastladım çok zorunlu hallerde olacak bir cevap için doğru bir.

Regresyon (ve herhangi bir türdeki istatistiksel modellerin çoğu), bir yanıtın koşullu dağılımının açıklayıcı değişkenlere nasıl bağlı olduğu ile ilgilidir. Bu dağılımların karakterizasyonunun önemli bir unsuru genellikle "çarpıklık" olarak adlandırılan bir ölçüdür (çeşitli ve farklı formüller sunulmuş olsa da): dağıtım şeklinin simetriden ayrıldığı en temel yoldur. İşte olumlu çarpık koşullu yanıtlara sahip bir iki değişkenli verinin (yanıt ve tek bir açıklayıcı değişken ) bir örneği :$y$$x$

Mavi eğri, sıradan en küçük kareler için uygundur. Takılan değerleri çizer.

Bir cevap ile verilen değeri arasındaki farkı hesapladığımızda, koşullu dağılımın yerini değiştiririz, ancak şeklini değiştirmeyiz. Özellikle, çarpıklığı değişmeyecektir.$y$$\hat y$

Bu, değişen koşullu dağılımların öngörülen değerlerle nasıl değiştiğini gösteren standart bir teşhis grafiğidir. Geometrik olarak, önceki scatter grafiğini "kadar" ile neredeyse aynıdır.

Bunun yerine, farkı diğer siparişte hesaplarsak, bu koşullu dağılımın şeklini değiştirir ve sonra tersine çevirir . Eğriliği, orijinal koşullu dağılımın negatif olacaktır.$\hat y - y,$

Bu, önceki rakam ile aynı miktarları gösterir, ancak artıklar verileri uygunluklarından çıkartarak hesaplanmıştır - ki bu elbette önceki kalıntıları olumsuzlamakla aynıdır.

Her ikisi de önceki şekillerin her biri matematiksel olarak eşdeğer olmasına rağmen - biri sadece mavi ufuktaki noktaları çevirerek diğerine dönüştürülür - bunlardan biri orijinal arsa ile daha doğrudan görsel bir ilişki kurar.

Sonuç olarak, amacımız artıkların dağılım özelliklerini orijinal verinin özellikleriyle ilişkilendirmek ise - ve hemen hemen her zaman böyledir - o zaman cevapları değiştirmek ve değiştirmek yerine yanıtları değiştirmek daha iyidir.

Doğru cevap açık: artıklarınızı olarak hesaplayın$y - \hat y.$

Green & Tashman (2008, Foresight ), tahmin hataları için benzer soru üzerine yapılan küçük bir anketi rapor ediyor. Her iki kongre için argümanlarını kendileri tarafından bildirildiği gibi özetleyeceğim:

"Gerçek tahmini" için argümanlar

1. İstatistiksel sözleşme .$y=\hat{y}+\epsilon$

2. Sismolojiden en az bir katılımcı, bunun aynı zamanda sismik dalga seyahat süresinin modellenmesi için bir sözleşme olduğunu yazdı. “Gerçek sismik dalga, model tarafından öngörülen süreden önce geldiğinde, negatif seyahat süresi artıkları var (hata).” ( sic )

3. Bu kongre biz yorumlamak eğer mantıklı bütçe, plan veya hedef olarak. Burada olumlu bir hata, bütçenin / planın / hedefin aşıldığı anlamına gelir.$\hat{y}$

4. Bu sözleşme üstel yumuşatma formüllerini biraz daha sezgisel hale getiriyor . İşaretini kullanabiliriz . Diğer kongre ile birlikte, bir işareti kullanmamız gerekir .$+$$-$

"Tahmini gerçek" için bağımsız değişkenler

1. Eğer , pozitif bir hata tahminin çok yüksek olduğunu gösterir. Bu, sohbetten daha sezgiseldir.$y=\hat{y}-\epsilon$

   Buna bağlı olarak, olumlu bir önyargı beklenen olumlu hatalar olarak tanımlanırsa , bu sözleşmeyle ilgili tahminlerin ortalama olarak çok yüksek olduğu anlamına gelir.

   Ve bu hemen hemen bu kongre için verilen tek tartışma. Sonra tekrar, yanlış anlaşılmalar göz önüne alındığında diğer kongre yol açabilir (olumlu hatalar = tahmin çok düşük), bu güçlü bir karardır.

Sonunda, artıklarınızı iletmek için kime ihtiyacınız olduğunu söyleyeceğim. Ve bu tartışmanın kesinlikle iki tarafı olduğu göz önüne alındığında, hangi sözleşmeyi takip ettiğinizi açıkça belirtmek mantıklıdır.

Farklı terminoloji, farklı sözleşmelere işaret eder. "Artık" terimi, tüm açıklayıcı değişkenler hesaba katıldıktan sonra kalan, yani gerçek öngörülen anlamına gelir. "Tahmin hatası", tahminin gerçek tahminlerden ne kadar saptığını, yani gerçek tahminin gerçek olduğunu gösterir.

Kişinin modelleme anlayışı aynı zamanda hangi sözleşmenin daha doğal olduğunu da etkiler. Bir veya daha fazla özellik sütunu , yanıt sütunu ve tahmin sütunu ile bir veri çerçeveniz olduğunu varsayalım .$X = x_1,x_2...$$y$$\hat y$

Bir anlayış "gerçek" değer olduğu ve yalnızca dönüştürülmüş bir sürümüdür . Bu kavramda, ve her ikisi de rasgele değişkenlerdir ( türetilmiş olan). Her ne kadar biz aslında ilgilendiğiniz biridir yüzden gözlemleyebilirsiniz biridir için bir proxy olarak kullanılan . "Hata" ne kadar bu "gerçek" değer sapması bu . Bu, hatanın bu sapma yönünü izleyerek, yani olarak tanımlanmasını önerir .$y$$\hat y$$X$$y$$\hat y$$\hat y$$y$$\hat y$$\hat y$$y$$\hat y$$y$$e = \hat y -y$

Bununla birlikte, “ ” yı “gerçek” değer olarak düşünen başka bir anlayış var . Yani y , bazı deterministik süreçlerle bağlıdır ; belirli bir durumu, belirli bir deterministik değere yol açar. Bu değer daha sonra bazı rastgele işlemlerle bozulur. Bu yüzden . Bu anlayışta, , "gerçek" değeridir. Örneğin, g'nin değerini, yerçekiminden kaynaklanan ivmelenmeyi hesaplamaya çalıştığınızı varsayalım. Bir grup nesneyi düşürüyorsunuz, ne kadar düştüklerini ( ) ve düşmeleri ne kadar sürdüğünü ölçtünüz ( ). Daha sonra verileri y = modeliyle analiz edersiniz.$\hat y$$X$$X$$x \rightarrow f(X)\rightarrow f(X)+error()$$\hat y$$X$$y$$\sqrt{\frac{2x}{g}}$. Bu denklemin tam olarak çalışmasını sağlayan g değerinin olmadığını tespit edersiniz. Yani sonra bunu model

$\hat y = \sqrt{\frac{2x}{g}}$
$y = \hat y +error$ .

Yani değişken y alıp bir "gerçek" değer orada olmak için düşünün, bir aslında fiziksel yasalar tarafından oluşturuluyor ve ardından diğer bazı değer olan şey bağımsız modifiye gibi ölçüm hataları veya rüzgar esintileri veya her neyse.$\hat y$$y$$\hat y$$X$

Bu anlayışta, y " alıp gerçekliğin" yapması "gerektiği ve bunu kabul etmeyen cevaplar alırsanız, gerçekte yanlış cevap. Şimdi elbette bu, bu şekilde konulduğunda aptalca ve kibirli görünebilir, ancak bu anlayışı sürdürmek için iyi nedenler vardır ve bu şekilde düşünmek faydalı olabilir. Ve sonuçta, bu sadece bir model; istatistikçiler mutlaka bunun aslında dünyanın işleyişinin böyle olduğunu düşünmüyorlar (muhtemelen bazıları olsa da). Ve denklemi göz önüne alındığında, hataların gerçek eksi öngörüldüğü şeklinde olur.$\sqrt{\frac{2x}{g}}$$y = \hat y +error$

Ayrıca, ikinci anlayışın "gerçeği yanlış anladı" yönünden hoşlanmıyorsanız, "y'nin bağlı olduğu bazı süreçleri belirledik , ancak almadığımızı" tam olarak doğru cevaplar, bu yüzden y'yi de etkileyen başka bir g süreci olmalı. " Bu varyasyonda$X$

$\hat y = f(X)$
$y = \hat y+g(?)$
$g = y-\hat y$ .

@Aksakal'ın cevabı tamamen doğru, ancak bana (ve öğrencilerime) yardımcı olduğunu düşündüğüm bir ek unsur daha ekleyeceğim.

Slogan: İstatistik "mükemmel" dir. Olduğu gibi, her zaman mükemmel bir tahmin sağlayabilirim (bazı göz kaşlarının şu anda yükseldiğini biliyorum ... bu yüzden beni dinle).

Gözlemlenen değerleri olarak tahmin edeceğim . Bazı modellerde, gözlemlenen her değer için öngörülen bir değer üreteceğim, buna diyeceğim . Tek sorun, bu genellikle (her zaman) Yani, yeni bir değişken ekleyeceğiz böylece eşitlik ... ama bana göre daha iyi seçenek eklemek gerçek değere eklemek yerine "öngörülen" ("telafi") değerimiz (gerçek bir değerden toplama veya çıkarma gibi fiziksel olarak mümkün olmayabilir ... aşağıdaki yorumlara bakın): Şimdi, "mükemmel" bir tahminimiz var ... "son" değerimiz gözlemlenen değerimizle eşleşiyor.$y_i$$\hat{y}_i$

Açıkçası, bu ne olup bittiğinin altında yatan istatistiksel teorinin muazzam bir miktarını yansıtıyor ... ama gözlemlenen değerin iki ayrı bölümün (sistematik bir bölüm ve rastgele bir bölüm) toplamı olduğu fikrine vurgu yapıyor. Eğer bu formda hatırlarsanız, her zaman artık, kalıntısının tahmin edilen gözlemlenen eksi olduğunu görürsünüz .$\epsilon_i$

$\newcommand{\e}{\varepsilon}$ Belirli en küçük kareler doğrusal regresyon örneğini kullanacağım. Modelimizi olarak alırsak, @Aksakal'ın işaret ettiği gibi, doğal olarak yani oluruz . Bunun yerine alırsak biz kesinlikle yapmak serbesttir bizim model olarak, o zaman olsun . Bu noktada gerçekten bir belirsiz tercihi yanı sıra başka üzerinden bir tercih için hiçbir neden yok üzerinde .$Y = X\beta + \e$$\e = Y - X\beta$$\hat \e = Y - \hat Y$$Y = X\beta - \e$$\e = X\beta - Y \implies \hat \e = \hat Y - Y$$1$$-1$

Ama eğer o zaman artıklarımızı ile elde ederiz , burada tasarım matrisinin sütun uzayına dikey olarak çıkıntı yapan boş bir . Bunun yerine o zaman . Fakat Kendisi . Yani gerçekten bir projeksiyon matrisinin negatifi, yani . Bu yüzden bunu kullanarak ortaya çıkan negatifi geri almak olarak görüyorum , bu yüzden para cezası uğruna sadece kullanmak daha iyi$\hat \e = Y - \hat Y$$(I - P_X)Y$$I - P_X$$X$$Y = X\beta - \e$$\hat \e = (P_X - I)Y$$P_X - I$p X - I I - P X -Y = X β - ε Y = X β + ε -Y - $(P_X - I)^2 = P_X^2 - 2P_X + I = -(P_X - I)$$P_X - I$$I - P_X$$Y = X\beta - \e$$Y = X\beta + \e$ , bu da bize kalanlar olarak verir .$Y - \hat Y$

Başka bir yerde de belirtildiği gibi kullanırsak kırılma gibi bir şey olmaz , ancak kullanmak için yeterince iyi bir neden olduğunu düşündüğüm bu çifte olumsuz durumla sonuçlanır .Y -$\hat Y - Y$$Y - \hat Y$