İid Gama değişkenlerinin toplamını sınırlama

Let olasılık yoğunluk fonksiyonu ile bağımsız ve özdeş dağıtılmış rastgele değişkenlerin bir dizisi; Bu ABS $X_1,X_2,\ldots$

f (x) = {\begin{cases} \frac{1}{2} x^{2} e^{- x} & if x > 0; \\ 0 & otherwise . \end{cases}

$f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} \frac{1}{2}x^2 e^{-x} & \mbox{if $x>0$};\\ 0 & \mbox{otherwise}.\end{array} \right.$

lim_{n \to \infty} P [X_{1} + X_{2} + \dots + X_{n} \geq 3 (n - \sqrt{n})] \geq \frac{1}{2}

$\lim_{n\to \infty} P[X_1+X_2+\ldots+X_n\ge 3(n-\sqrt{n})] \ge \frac{1}{2}$

Ne denedim

İlk bakışta, soru alt sınırlı bir göstermek istediğinden Chebyshev eşitsizliğini kullanması gerektiğini düşündüm $X_1+X_2+\ldots +X_n$ . Ancak, sorunun bir şekilde Merkezi Limit Teoremi (CLT) ile ilgili olabileceğini açıkça belirten sınır işaretini düşündüm.

Let $S_n=X_1+X_2+\ldots +X_n$

E (S_{n}) = \sum_{i = 0}^{n} E (X_{i}) = 3 n (since E (X_{i}) = 3) V (S_{n}) = \sum_{i = 0}^{n} V (X_{i}) = 3 n (since V (X_{i}) = 3 and X_{i} are i.i.d)

$E(S_n)=\sum_{i=0}^{n} E(X_i)=3n \ (\text{since } E(X_i)=3) \\ V(S_n)=\sum_{i=0}^{n} V(X_i)=3n \ (\text{since } V(X_i)=3 \text{ and } X_i \text{ are i.i.d})$

Şimdi, büyük $n$ , için CLT kullanma $X_1+X_2+........+X_n \sim N(3n,3n)$
Veya

z = \frac{S_{n} - 3 n}{\sqrt{3 n}} \sim N (0, 1) as n \to \infty

$z=\frac{S_n-3n}{\sqrt{3n}} \sim N(0,1) \text{ as } n\to \infty$

Şimdi,

lim_{n \to \infty} P [X_{1} + X_{2} + . . . . . . . . + X_{n} \geq 3 (n - \sqrt{n})] = lim_{n \to \infty} P (S_{n} - 3 n \geq - 3 \sqrt{n}) = lim_{n \to \infty} P (\frac{S_{n} - 3 n}{\sqrt{3 n}} \geq - \sqrt{3}) = P (z \geq - \sqrt{3}) = P (- \sqrt{3} \leq z < 0) + P (z \geq 0) = P (- \sqrt{3} \leq z < 0) + \frac{1}{2} \dots (1)

$\lim_\limits{n\to \infty} P[X_1+X_2+........+X_n\ge 3(n-\sqrt{n})] = \lim_\limits{n\to \infty}P(S_n-3n \ge -3\sqrt{n}) = \lim_\limits{n\to \infty} P\left(\frac{S_n-3n}{\sqrt{3n}} \ge -\sqrt{3}\right) =P(z\ge -\sqrt{3}) =P\left(-\sqrt{3}\le z<0\right)+P(z\ge 0 ) =P\left(-\sqrt{3}\le z<0\right)+\frac{1}{2}\cdots(1)$

Bu yana $P(-\sqrt{3}\le z<0) \ge 0$ , böylece gelen $(1)$ ,

lim_{n \to \infty} P [X_{1} + X_{2} + . . . . . . . . + X_{n} \geq 3 (n - \sqrt{n})] \geq \frac{1}{2}

$\lim_\limits{n\to \infty} P[X_1+X_2+........+X_n\ge 3(n-\sqrt{n})]\ge \frac{1}{2}$

Doğrumuyum?

probability self-study

CLT makul bir yaklaşım gibi görünüyor, ancak " "mantıklı değil ..

lim_{n \to \infty} P [X_{1} + X_{2} + . . . . . . . . + X_{n} \geq 3 (n - \sqrt{n})] = P (S_{n} - 3 n \geq - 3 \sqrt{n})

$\lim_\limits{n\to \infty} P[X_1+X_2+........+X_n\ge 3(n-\sqrt{n})] =P(S_n-3n \ge -3\sqrt{n})$

— P.Windridge

Bence

lim_{n \to \infty} P [X_{1} + X_{2} + . . . . . . . . + X_{n} \geq 3 (n - \sqrt{n})] = lim_{n \to \infty} P (S_{n} - 3 n \geq - 3 \sqrt{n}) = lim_{n \to \infty} P (\frac{S_{n} - 3 n}{\sqrt{3 n}} \geq - \sqrt{3}) = P (z \geq - \sqrt{3})

Alternatif olarak, ve bu nedenle olduğunu düşünün . Medyan Gamma rastgele değişkenin kapalı olarak bilinmemektedir, ancak bunun bir (bakınız bilinen Wikipedia ) bunun için büyük , bir medyan arasında rasgele değişken yalan ve . Yana , olması gereken sağındaki olasılık yalan az yarısı .

X_{i} \sim Γ (3, 1)

$X_i \sim\Gamma(3,1)$

X_{1} + X_{2} + \cdot + X_{n} \sim Γ (3 n, 1)

$X_1+X_2+\cdot+X_n \sim \Gamma(3n,1)$

n

$n$

Γ (3 n, 1)

$\Gamma(3n,1)$

3 n - \frac{1}{3}

$3n-\frac 13$

3 n

$3n$

3 (n - \sqrt{n}) < 3 n - \frac{1}{3}

$3(n-\sqrt{n}) < 3n-\frac 13$

3 (n - \sqrt{n})

$3(n-\sqrt{n})$

— Dilip Sarwate

Yanıtlar:

Chebyshev'in Eşitsizliğinin işe yarayacağı konusunda haklıydınız. Bu tür birçok sekans için geçerli olan biraz kaba ama etkili bir bağ sağlar , bu sekansın en önemli özelliği kısmi toplamların varyansının en fazla ile doğrusal olarak büyüdüğünü ortaya çıkarır . $n$

O halde, ve sonlu varyanslar ile ilişkili olmayan değişkenleri dizisinin son derece genel durumunu düşünün ilk toplamı olsun , $X_i$ $\mu_i$ $\sigma_i^2.$ $Y_n$ $n$

Y_{n} = \sum_{i = 1}^{n} X_{i} .

$Y_n = \sum_{i=1}^n X_i.$

Dolayısıyla ortalama olan $Y_n$

m_{n} = \sum_{i = 1}^{n} μ_{n}

$m_n = \sum_{i=1}^n \mu_n$

ve varyansı

s_{n}^{2} = Var (Y_{n}) = \sum_{i = 1}^{n} Var (X_{i}) + 2 \sum_{j > i} Cov (X_{i}, X_{j}) = \sum_{i = 1}^{n} σ_{i}^{2} .

$s_n^2 = \operatorname{Var}(Y_n) = \sum_{i=1}^n \operatorname{Var}(X_i) + 2\sum_{j > i}\operatorname{Cov}(X_i,X_j) = \sum_{i=1}^n \sigma_i^2.$

ile en fazla doğrusal olarak büyüdüğünü varsayalım : $s_n^2$ $n$ yani, yeterince büyük olacak şekilde bir sayısı vardır Let (henüz belirlenecek), gözlemleyin $\lambda\gt 0$ $n,$ $s_n^2 \le \lambda^2 n.$ $k\gt 0$

m - k \sqrt{n} \leq m - \frac{k}{λ} s_{n},

$m - k \sqrt{n} \le m - \frac{k}{\lambda}s_n,$

ve Chebyshev Eşitsizliğini elde etmek için uygulayın $Y_n$

\begin{aligned} Pr (Y_{n} \geq m_{n} - k \sqrt{n}) & \geq Pr (Y_{n} \geq m_{n} - \frac{k}{λ} s_{n}) \\ \geq Pr (| Y_{n} - m_{n} | \leq \frac{k}{λ} s_{n}) \\ \geq 1 - \frac{λ^{2}}{k^{2}} . \end{aligned}

$\eqalign{ \Pr(Y_n \ge m_n - k\sqrt{n}) &\ge \Pr(Y_n \ge m_n - \frac{k}{\lambda}s_n) \\ &\ge \Pr(|Y_n - m_n| \le \frac{k}{\lambda} s_n) \\ &\ge 1 - \frac{\lambda^2}{k^2}. }$

İlk iki eşitsizlik temeldir: birbirini izler çünkü birbirini izleyen her olay bir öncekinin bir alt kümesidir.

Eldeki durumda, burada araçlarla bağımsız (ve bu nedenle ilintisizdir) vardır ve sapma elimizdeki ve $X_i$ $\mu_i=3$ $\sigma_i^2=3,$ $m_n=3n$

s_{n} = \sqrt{3} \sqrt{n},

$s_n = \sqrt{3}\sqrt{n},$

kadar küçük alabiliriz sorudaki olay , karşılık gelir ; $\lambda$ $\sqrt{3}.$ $3(n-\sqrt{n}) = \mu_n - 3\sqrt{n}$ $k=3,$

Pr (Y_{n} \geq 3 n - 3 \sqrt{n}) \geq 1 - \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}} = \frac{2}{3} > \frac{1}{2},

$\Pr(Y_n \ge 3n - 3\sqrt{n}) \ge 1 - \frac{\sqrt{3}^{\ 2}}{3^2} = \frac{2}{3}\gt \frac{1}{2},$

QED.

— whuber
kaynak

Whuber'ın mükemmel cevabına bir alternatif olarak, söz konusu olasılığın kesin sınırını türetmeye çalışacağım. Gama dağılımının özelliklerinden biri, aynı oran / ölçek parametresine sahip bağımsız gama rasgele değişkenlerinin toplamlarının, aynı zamanda, bu değişkenlerin şekillerinin toplamına eşit şekle sahip gama rasgele değişkenler olmasıdır. (Bu, dağıtımın üretme işlevleri kullanılarak kolayca kanıtlanabilir.) Mevcut durumda, , bu yüzden toplamı elde ediyoruz: $X_1,...X_n \sim \text{IID Gamma}(3,1)$

S_{n} \equiv X_{1} + \dots + X_{n} \sim Gamma (3 n, 1) .

$S_n \equiv X_1 + \cdots + X_n \sim \text{Gamma}(3n, 1).$

Bu nedenle, gama dağılımının CDF'sini kullanarak kesin olasılık olasılığını yazabiliriz. İzin vermek göstermektedirler şekil parametresi ve ilgi konusu bağımsız değişken ifade ederiz: $a = 3n$ $x = 3(n-\sqrt{n})$

\begin{aligned} H (n) & \equiv P (S_{n} \geq 3 (n - \sqrt{n})) \\ = \frac{Γ (a, x)}{Γ (a)} \\ = \frac{a Γ (a)}{a Γ (a) + x^{a} e^{- x}} \cdot \frac{Γ (a + 1, x)}{Γ (a + 1)} . \end{aligned}

$\begin{equation} \begin{aligned} H(n) &\equiv \mathbb{P}(S_n \geq 3(n-\sqrt{n})) \\[12pt] &= \frac{\Gamma(a, x)}{\Gamma(a)} \\[6pt] &= \frac{a \Gamma(a)}{a \Gamma(a) + x^a e^{-x}} \cdot \frac{\Gamma(a+1, x)}{\Gamma(a+1)}. \\[6pt] \end{aligned} \end{equation}$

Bu olasılığın sınırını bulmak için ilk önce ikinci parametreyi olarak yazabiliriz, burada . Temme (1975) (Eqn 1.4, s. 1109) 'da gösterilen bir sonuç kullanarak asimtotik eşdeğerliğe sahibiz: $x = a + \sqrt{2a} \cdot y$ $y = -\sqrt{3/2}$

\begin{aligned} \frac{Γ (a + 1, x)}{Γ (a + 1)} & \sim \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot erf (- y) + \sqrt{\frac{2}{9 a π}} (1 + y^{2}) \exp (- y^{2}) . \end{aligned}

$\begin{aligned} \frac{\Gamma(a+1, x)}{\Gamma(a+1)} &\sim \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \text{erf}(-y) + \sqrt{\frac{2}{9a \pi}} (1+y^2) \exp( - y^2). \end{aligned}$

Stirling yaklaşımını ve üstel sayının sınırlayıcı tanımını kullanarak şunları da gösterebiliriz:

\begin{aligned} \frac{a Γ (a)}{a Γ (a) + x^{a} e^{- x}} & \sim \frac{\sqrt{2 π} \cdot a \cdot (a - 1)^{a - 1 / 2}}{\sqrt{2 π} \cdot a \cdot (a - 1)^{a - 1 / 2} + x^{a} \cdot e^{a - x - 1}} \\ = \frac{\sqrt{2 π} \cdot a \cdot (1 - \frac{1}{a})^{a - 1 / 2}}{\sqrt{2 π} \cdot a \cdot (1 - \frac{1}{a})^{a - 1 / 2} + \sqrt{x} \cdot (\frac{x}{a})^{a - 1 / 2} \cdot e^{a - x - 1}} \\ = \frac{\sqrt{2 π} \cdot a \cdot e^{- 1}}{\sqrt{2 π} \cdot a \cdot e^{- 1} + \sqrt{x} \cdot e^{x - a} \cdot e^{a - x - 1}} \\ = \frac{\sqrt{2 π} \cdot a}{\sqrt{2 π} \cdot a + \sqrt{x}} \\ \sim \frac{\sqrt{2 π a}}{\sqrt{2 π a} + 1} . \end{aligned}

$\begin{aligned} \frac{a \Gamma(a)}{a \Gamma(a) + x^a e^{-x}} &\sim \frac{\sqrt{2 \pi} \cdot a \cdot (a-1)^{a-1/2}}{\sqrt{2 \pi} \cdot a \cdot (a-1)^{a-1/2} + x^a \cdot e^{a-x-1}} \\[6pt] &= \frac{\sqrt{2 \pi} \cdot a \cdot (1-\tfrac{1}{a})^{a-1/2}}{\sqrt{2 \pi} \cdot a \cdot (1-\tfrac{1}{a})^{a-1/2} + \sqrt{x} \cdot (\tfrac{x}{a})^{a-1/2} \cdot e^{a-x-1}} \\[6pt] &= \frac{\sqrt{2 \pi} \cdot a \cdot e^{-1}}{\sqrt{2 \pi} \cdot a \cdot e^{-1} + \sqrt{x} \cdot e^{x-a} \cdot e^{a-x-1}} \\[6pt] &= \frac{\sqrt{2 \pi} \cdot a}{\sqrt{2 \pi} \cdot a + \sqrt{x}} \\[6pt] &\sim \frac{\sqrt{2 \pi a}}{\sqrt{2 \pi a} + 1}. \\[6pt] \end{aligned}$

İlgili değerleri değiştirerek, şunları elde ederiz:

\begin{aligned} H (n) & = \frac{a Γ (a)}{a Γ (a) + x^{a} e^{- x}} \cdot \frac{Γ (a + 1, x)}{Γ (a + 1)} \\ \sim \frac{\sqrt{2 π a}}{\sqrt{2 π a} + 1} \cdot [\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot erf (\sqrt{\frac{3}{2}}) + \sqrt{\frac{2}{9 a π}} \cdot \frac{5}{2} \cdot \exp (\frac{3}{2})] . \end{aligned}

$\begin{equation} \begin{aligned} H(n) &= \frac{a \Gamma(a)}{a \Gamma(a) + x^a e^{-x}} \cdot \frac{\Gamma(a+1, x)}{\Gamma(a+1)} \\[6pt] &\sim \frac{\sqrt{2 \pi a}}{\sqrt{2 \pi a} + 1} \cdot \Bigg[ \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \text{erf} \Big( \sqrt{\frac{3}{2}} \Big) + \sqrt{\frac{2}{9a \pi}} \cdot \frac{5}{2} \cdot \exp \Big( \frac{3}{2} \Big) \Bigg]. \\[6pt] \end{aligned} \end{equation}$

Bu bize sınır verir:

lim_{n \to \infty} H (n) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot erf (\sqrt{\frac{3}{2}}) = 0.9583677.

$\lim_{n \rightarrow \infty} H(n) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \text{erf} \Big( \sqrt{\frac{3}{2}} \Big) = 0.9583677.$

Bu bize, yarısından daha büyük olan faiz olasılığının kesin sınırını verir.

— Ben - Monica'yı eski durumuna döndür
kaynak