Fonksiyon dönüşümü altında olasılıklar korunuyor mu?

Bence bu biraz basit, ama rastgele bir değişkenine sahip olduğumu söyleyin , herhangi bir gerçek değerli sürekli işlev için olasılığı ile aynıdır. ?P ( X ≤ a ) P ( f ( X ) ≤ f ( a ) ) $X$$P(X \leq a)$$P(f(X) \leq f(a))$$f$

Bu sadece monoton olarak artıyorsa geçerlidir. Eğer monoton olarak azalan, daha sonra . Örneğin, ve X normal bir kalıp , ancak . artan ve azalan arasında geçiş yaparsa , daha da karmaşıktır.f P ( f ( X ) ≤ f ( a ) ) = P ( X ≥ a ) f ( x ) = - x P ( X ≤ 5 ) = $f$$f$$P(f(X)\leq f(a)) = P(X \geq a)$$f(x) = -x$ P(-X≤-5)=$P(X \leq 5) = \frac56$$P(-X \leq -5) = \frac16$$f$

Not da önemsiz bir örnek daha var , ki burada 1' e eşit olması durumunda ve 0 olacaktır.P ( f ( X ) ≤ a ) a ≥ $f(x) \equiv 0$$P(f(X) \leq a)$$a \geq 0$

Hayır . üzerinde üniforması alın ve . Sonra . Öte yandan .[ - 1 , 1 ] bir = 0 , Pr ( x < a ) = 1 /$X$$[-1,1]$$a=0$$\Pr(X < a ) = 1/2$$\Pr(X^2<a^2) = 0$

Bu sormakla ilgilidir:

bir her için ?f ( X ) ≤ f ( a $X \leq a$$f(X) \leq f(a)$

İhlal birçok yolu var olabilir ise . Ancak, her durumda, monoton olmayan bir fonksiyon olması gerekir.X ≤ a $f(X) \leq f(a)$$X \leq a$$f$