Multinom dağılımının normal yaklaşımı nedir?

Birden fazla olası yaklaşım varsa, en temel olanı arıyorum.

normal-distribution multinomial approximation

— ericstalbot
kaynak

Yanıtlar:

Binom dağılımının, tek değişkenli normal dağılımla yaklaşık olarak aynı şekilde, çok değişkenli normal dağılımla yaklaşık olarak tahmin edebilirsiniz. Kontrol Dağıtım Teorisi Elements ve Multinomial Dağıtım sayfalarında 15-16-17.

Let sizin olasılıkların vektör olsun. Daha sonra çok değişkenli normal dağılımın ortalama vektörüdür . Kovaryans matrisi, simetrik bir matristir. Diyagonal elemanlar aslında 'nin varyansıdır ; yani $P=(p_1,...,p_k)$ $np=(np_1,np_2,...,np_k)$ $k \times k$ $X_i$ , . Satır ve jth sütunundaki köşegen olmayan eleman , burada eşit değildir. $np_i(1-p_i)$ $i=1,2...,k$ $\text{Cov}(X_i,X_j)=-np_ip_j$ $i$ $j$

— Stat
kaynak

2. referansa göz atın.

— Stat

Stat, böylece bu cevap kendi başına durabilir (ve bağlantı çürümesine karşı dirençli olabilir), çözümün bir özetini verir misiniz?

— whuber

Bunun bir süreklilik düzeltmesi mi gerekiyor? Nasıl uygularsınız?

— Jack Aidley

Kovaryans matrisi pozitif kesin değil, pozitif yarı kesintir ve tam dereceli değildir. Bu sonuçta ortaya çıkan multinormal dağılımı tanımsız hale getirir. Karşılaştığım sorun bu. Bununla nasıl başa çıkılacağı hakkında bir fikrin var mı?

— Mohammad Alaggan

@ M.Alaggan: Burada tanımlanan ortalama / kovaryans matrislerinin küçük bir sorunu vardır:

değişkenleri ile çok terimli bir dağılım için , eşdeğer çok değişkenli normalin

değişkenleri vardır. Bu, (normal) normal dağılım ile yaklaşık olan basit binom örneğinde belirgindir. Daha fazla tartışma için, bkz . Dağıtım Teorisi Unsurları Örnek 12.7 .

k

$k$

k - 1

$k-1$

— MS Dousti

Bu cevapta verilen yoğunluk dejenere olduğundan, normal yaklaşımdan kaynaklanan yoğunluğu hesaplamak için aşağıdakileri kullandım:

ve ile bir boyutlu vektör için rastgele bir değişken $X = [X_1, \ldots, X_m]^T \sim \text{Multinom}(n, p)$ verildiğini söyleyen bir teorem vardır. , bu; $m$ $p$ $\sum_i p_i = 1$ $\sum_i X_i = n$

X \overset{d}{\to} \sqrt{n} diag (u) Q [\begin{matrix} Z_{1} \\ ⋮ \\ Z_{m - 1} \\ 0 \end{matrix}] + [\begin{matrix} n p_{1} \\ ⋮ \\ n p_{m} \end{matrix}],

$X \xrightarrow{d} \sqrt{n} \, \text{diag}(u) \, Q \begin{bmatrix} Z_1 \\ \vdots \\ Z_{m-1} \\ 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} n p_1 \\ \vdots \\ n p_m \end{bmatrix},$

$n$

$u$ $u_i = \sqrt{p_i}$
$Z_i \sim N(0,1)$ $i = 1, \ldots, m-1$
$Q$ $u$

$m-1$ $m-1$ $X$ $X_m$

$Q$ $I - 2 v v^T$ $v_i = (\delta_{im} - u_i) / \sqrt{2(1 - u_m)}$

$m-1$ $Q$ $m-1$ $m-1$ $\hat{X}$ $\hat{Q}$

\hat{X} \overset{d}{\to} \sqrt{n} diag (\hat{u}) \hat{Q} [\begin{matrix} Z_{1} \\ ⋮ \\ Z_{m - 1} \end{matrix}] + [\begin{matrix} n p_{1} \\ ⋮ \\ n p_{m - 1} \end{matrix}] \sim N (μ, n Σ),

$\hat{X} \xrightarrow{d} \sqrt{n} \text{diag}(\hat{u}) \hat{Q} \begin{bmatrix} Z_1 \\ \vdots \\ Z_{m-1} \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} n p_1 \\ \vdots \\ n p_{m-1} \end{bmatrix} \sim \mathcal{N} \left( \mu, n \Sigma \right),$

$n$

$\hat{u}$ $m-1$ $u$
$\mu = [ n p_1, \ldots, n p_{m-1}]^T$
$n \Sigma = n A A^T$ $A = \text{diag}( \hat{u} ) \hat{Q}$

Bu son denklemin sağ tarafı, hesaplamada kullanılan dejenere olmayan yoğunluktur.

Beklendiği gibi, her şeyi taktığınızda, aşağıdaki kovaryans matrisini alırsınız:

(n Σ)_{i j} = n \sqrt{p_{i} p_{j}} (δ_{i j} - \sqrt{p_{i} p_{j}})

$(n\Sigma)_{ij} = n \sqrt{p_i p_j} (\delta_{ij} - \sqrt{p_i p_j})$

$i,j = 1, \ldots, m-1$ $m-1$ $m-1$

Bu blog girişi benim başlangıç noktamdı.

— stephematician
kaynak

Başka bir yararlı kaynak da sağlanan bağlantılardır: stats.stackexchange.com/questions/2397/…

— stephematician

İyi yanıt (+1) --- Sözdizimiyle bağlantıları yerleştirebileceğinizi unutmayın [textual description](hyperlink). Bağlantılarınızı gömmek için bu yanıtı düzenleme özgürlüğünü aldım.

— Ben - Monica