Neden bir kovaryans matrisinin öz ve svd ayrışmaları seyrek verilere dayalı olarak farklı sonuçlar verir?

Seyrek / gappy veri kümesine dayalı bir kovaryans matrisi ayrıştırmaya çalışıyorum. Lambda (açıklanan varyans) toplamının, hesaplandığı gibi svd, giderek gappy verilerle güçlendirildiğini fark ediyorum . Boşluklar olmadan svdve eigenaynı sonuçları ver.

Bu bir eigenayrışma ile gerçekleşmez . Kullanmaya yönelmiştim svdçünkü lambda değerleri her zaman pozitif, ama bu eğilim endişe vericidir. Uygulanması gereken bir tür düzeltme var mı, yoksa svdböyle bir sorundan tamamen kaçınmalı mıyım ?

###Make complete and gappy data set
set.seed(1)
x <- 1:100
y <- 1:100
grd <- expand.grid(x=x, y=y)

#complete data
z <- matrix(runif(dim(grd)[1]), length(x), length(y))
image(x,y,z, col=rainbow(100))

#gappy data
zg <- replace(z, sample(seq(z), length(z)*0.5), NaN)
image(x,y,zg, col=rainbow(100))


###Covariance matrix decomposition
#complete data
C <- cov(z, use="pair")
E <- eigen(C)
S <- svd(C)

sum(E$values)
sum(S$d)
sum(diag(C))


#gappy data (50%)
Cg <- cov(zg, use="pair")
Eg <- eigen(Cg)
Sg <- svd(Cg)

sum(Eg$values)
sum(Sg$d)
sum(diag(Cg))



###Illustration of amplification of Lambda
set.seed(1)
frac <- seq(0,0.5,0.1)
E.lambda <- list()
S.lambda <- list()
for(i in seq(frac)){
    zi <- z
    NA.pos <- sample(seq(z), length(z)*frac[i])
    if(length(NA.pos) > 0){
        zi <- replace(z, NA.pos, NaN)
    }
    Ci <- cov(zi, use="pair")
    E.lambda[[i]] <- eigen(Ci)$values
	S.lambda[[i]] <- svd(Ci)$d
}


x11(width=10, height=5)
par(mfcol=c(1,2))
YLIM <- range(c(sapply(E.lambda, range), sapply(S.lambda, range)))

#eigen
for(i in seq(E.lambda)){
    if(i == 1) plot(E.lambda[[i]], t="n", ylim=YLIM, ylab="lambda", xlab="", main="Eigen Decomposition")
    lines(E.lambda[[i]], col=i, lty=1)
}
abline(h=0, col=8, lty=2)
legend("topright", legend=frac, lty=1, col=1:length(frac), title="fraction gaps")

    #svd
for(i in seq(S.lambda)){
    if(i == 1) plot(S.lambda[[i]], t="n", ylim=YLIM, ylab="lambda", xlab="", main="Singular Value Decomposition")
    lines(S.lambda[[i]], col=i, lty=1)
}
abline(h=0, col=8, lty=2)
legend("topright", legend=frac, lty=1, col=1:length(frac), title="fraction gaps")

Öz değerlerin mutlak değerinin toplamını, yani toplamı (abs (eg $ değerleri)) yapmanız ve tekil değerlerin toplamıyla karşılaştırmanız gerekir. Eşit olurlardı.

$-1$

Bu güzel teoremin karşıtlığının kanıtı Devrim hiperboloitlerinin cebiri, Javier F. Cabrera, Doğrusal Cebir ve Uygulamaları, Princeton Üniversitesi (şimdi Rutgers'da).

Bunun bir başka yolu, sqrt (öz (t (Cg)% *% Cg)) Cg'nin tekil değerlerine eşit olmasıdır. Ancak özdeğerler negatif olduğunda, veriler, orijinal formülasyonda gözden kaçırılan karmaşık düzlem göz önüne alınarak bir münzevi formda temsil edilmelidir, yani, negatif öz ile matrisin simetrik kare kökü tarafından oluşturulan veriler değerleri karmaşık girdiler içerir.