Marjinal yoğunluklarını bulma

Başlığın dediği gibi, marjinal yoğunluklarını arıyorum

Şimdiye kadar buldum $c$ olmak $\frac{3}{2 \pi}$. Ben dönüştürerek anladım$f(x,y)$ kutupsal koordinatlara ve $drd\theta$bu yüzden marjinal yoğunluklar kısmında takılı kalıyorum. bunu biliyorum$f_x(x) = \int_{-\infty}^\infty f(x,y)dy$, ama büyük bir dağınık integral almadan bunu nasıl çözeceğimi bilmiyorum ve cevabın büyük bir dağınık integral olması gerekmediğini biliyorum. Bunun yerine bulmak mümkün mü$F(x,y)$ve sonra al $\frac{dF}{dx}$ bulmak $f_x(x)$? Bu sezgisel bir yol gibi görünüyor ama ders kitabımda bu ilişkileri ifade eden bir şey bulamıyorum, bu yüzden yanlış varsayımlar yapmak istemedim.

Geometri burada yardımcı olur. Grafiği$f$birim yarıçapın küresel bir kubbesidir. (Hacmi birim kürenin yarısı kadar olur,$(4 \pi /3)/2$, nereden $c=3/(2 \pi)$.) Marjinal yoğunluklar, bu küre boyunca dikey enine kesit alanlarıyla verilir. Açıkçası her bir kesit yarım daire şeklindedir: marjinal yoğunluğu elde etmek, yarıçapını kalan değişkenin bir fonksiyonu olarak bulmak ve bir daire alanı için formülü kullanmak. Ortaya çıkan tek değişkenli fonksiyonun birim alana sahip olması normalleştirildiğinde yoğunluğa dönüştürülür.