Poisson rasgele değişkenlerinin yuvarlanmış ortalamasının dağılımı nedir?

Poisson rasgele değişkenlerim varsa , (yani ortalamanın tamsayı katı)?λ 1 , λ 2 , … , λ n Y = ⌊ ∑ n i = 1 X $X_1,X_2,\ldots,X_n$$\lambda_1, \lambda_2,\ldots, \lambda_n$$Y=\left\lfloor\frac{\sum_{i=1}^n X_i}{n}\right\rfloor$

Poissons'ın toplamı da Poisson'dur, ancak yukarıdaki durum için aynı olup olmadığını belirlemek için istatistiklerden yeterince emin değilim.

Söz bir genelleme dağılımı sorar dağılımı zaman bilinen ve doğal sayılar desteklenir. ( , ve parametresinin Poisson dağılımına sahiptir .)X X λ = λ 1 + λ 2 + ⋯ + λ n m = $Y = \lfloor X/m \rfloor$$X$$X$$\lambda = \lambda_1 + \lambda_2 + \cdots + \lambda_n$$m=n$

Dağılımı $Y$ kolay dağılımı tarafından belirlenir $mY$ olasılık üreten fonksiyonu (PGF) PGF açısından belirlenebilir, $X$ . İşte türetmenin bir özeti.

---

$p(x) = p_0 + p_1 x + \cdots + p_n x^n + \cdots$$X$$p_n = \Pr(X=n)$X $mY$$X$$q$

$$\eqalign{q(x) &=& \left(p_0 + p_1 + \cdots + p_{m-1}\right) + \left(p_m + p_{m+1} + \cdots + p_{2m-1}\right)x^m + \cdots + \\&&\left(p_{nm} + p_{nm+1} + \cdots + p_{(n+1)m-1}\right)x^{nm} + \cdots.}$$

Çünkü bu kesinlikle , terimleri formun toplamına yeniden düzenleyebiliriz$|x| \le 1$

$$D_{m,t}p(x) = p_t + p_{t+m}x^m + \cdots + p_{t + nm}x^{nm} + \cdots$$

için . Fonksiyonları gücü dizisi , her oluşur dizisinin terimi başlayarak bu bazen bir adlandırılır: seyreltme ve . Google aramaları şu anda kararlar hakkında çok yararlı bilgiler vermiyor, bu nedenle tamlık için bir formülün türevi.x t D m , t p m th p t th$t=0, 1, \ldots, m-1$$x^t D_{m,t}p$$m^\text{th}$$p$$t^\text{th}$$p$

Let bir ilkel birlik kök; örneğin, . Sonra izler ve olduğum th ω = exp ( 2 i π / m ) ω m = 1 ∑ m - 1 j = 0 ω j = $\omega$$m^\text{th}$$\omega = \exp(2 i \pi / m)$$\omega^m=1$$\sum_{j=0}^{m-1}\omega^j = 0$

$$x^t D_{m,t}p(x) = \frac{1}{m}\sum_{j=0}^{m-1} \omega^{t j} p(x/\omega^j).$$

Bunu görmek için, operatörünün doğrusal olduğunu unutmayın, bu nedenle formülü temelinde kontrol etmek yeterlidir. . Sağdaki tarafını uygulanması verir { 1 , x , x 2 , … , x n , … } x $x^t D_{m,t}$$\{1, x, x^2, \ldots, x^n, \ldots \}$$x^n$

$$x^t D_{m,t}[x^n] = \frac{1}{m}\sum_{j=0}^{m-1} \omega^{t j} x^n \omega^{-nj}= \frac{x^n}{m}\sum_{j=0}^{m-1} \omega^{(t-n) j.}$$

Tüm ve bir çoklu ile farklılık , toplamı, her bir terimin eşittir ve elde . Aksi takdirde, terimler yetkileri arasında geçiş yapar ve bunlar sıfıra eşitlenir. Bu operatörün modulo uygun tüm güçlerini koruduğu ve diğerlerinin hepsini öldürdüğü: tam olarak istenen projeksiyon.n m 1 x n ω t - n$t$$n$$m$$1$$x^n$$\omega^{t-n}$$x$$t$$m$

için bir formül , toplama sırasını değiştirerek ve toplamlardan birini geometrik olarak tanıyarak ve ardından kapalı biçimde yazarak kolayca takip eder:$q$

$$\eqalign{ q(x) &= \sum_{t=0}^{m-1} (D_{m,t}[p])(x) \\ &= \sum_{t=0}^{m-1} x^{-t} \frac{1}{m} \sum_{j=0}^{m-1} \omega^{t j} p(\omega^{-j}x ) \\ &= \frac{1}{m} \sum_{j=0}^{m-1} p(\omega^{-j}x) \sum_{t=0}^{m-1} \left(\omega^j/x\right)^t \\ &= \frac{x(1-x^{-m})}{m} \sum_{j=0}^{m-1} \frac{p(\omega^{-j}x)}{x-\omega^j}. }$$

Örneğin parametre bir Poisson dağılımının PGF olduğu . İle , ve PGF olacakp ( x ) = exp ( λ ( x - 1 ) ) m = 2 ω = - 1 2 $\lambda$$p(x) = \exp(\lambda(x-1))$$m=2$$\omega=-1$$2Y$

$$\eqalign{ q(x) &= \frac{x(1-x^{-2})}{2} \sum_{j=0}^{2-1} \frac{p((-1)^{-j}x)}{x-(-1)^j} \\ &= \frac{x-1/x}{2} \left(\frac{\exp(\lambda(x-1))}{x-1} + \frac{\exp(\lambda(-x-1))}{x+1}\right) \\ &= \exp(-\lambda) \left(\frac{\sinh (\lambda x)}{x}+\cosh (\lambda x)\right). }$$

Bu yaklaşımın bir kullanımı ve momentlerini hesaplamaktır . Değeri değerlendirilen PGF türevi olduğu faktörlü an. an ilk doğrusal bir kombinasyonudur faktöryel anlar. Bir Poisson dağıtılan, örneğin, sürekli olarak bu gözlemleri kullanılarak , (birinci faktoryel an olan) eşit olan ortalama , ortalama eşit ve eşittir$X$k inci x = 1 k inci k inci k x λ 2 ⌊ ( x / 2 ) ⌋ λ - $mY$$k^\text{th}$$x=1$$k^\text{th}$$k^\text{th}$$k$$X$$\lambda$$2\lfloor(X/2)\rfloor$3⌊(X/3)⌋λ-1+E-3λ/2(sin ( $\lambda- \frac{1}{2} + \frac{1}{2} e^{-2\lambda}$$3\lfloor(X/3)\rfloor$$\lambda -1+e^{-3 \lambda /2} \left(\frac{\sin \left(\frac{\sqrt{3} \lambda }{2}\right)}{\sqrt{3}}+\cos \left(\frac{\sqrt{3} \lambda}{2}\right)\right)$ :

için araçlar sırasıyla : asimptotik olarak işlevler olarak mavi, kırmızı ve sarı renklerle gösterilmiştir, ortalama orijinal Poisson ortalamasına kıyasla düşer .λ ( m - 1 ) /$m=1,2,3$$\lambda$$(m-1)/2$

Varyanslar için benzer formüller elde edilebilir. ( yükseldikçe dağınık hale gelirler ve bu yüzden atlanırlar. Kesin olarak belirledikleri bir şey, olduğunda , katının hiçbiri Poisson değildir: ortalama ve varyansın karakteristik eşitliğine sahip değildir) İşte varyansların bir grafiği için bir fonksiyonu olarak :m > 1 Y λ m = 1 , 2 , $m$$m \gt 1$$Y$$\lambda$$m=1,2,3$

Daha büyük değerleri için varyansların artması ilginçtir . Sezgisel olarak, bu iki rakip fenomenden kaynaklanır: zemin fonksiyonu, başlangıçta farklı olan değer gruplarını etkili bir şekilde gruplandırır; bu varyansın azalmasına neden olmalıdır . Aynı zamanda, gördüğümüz gibi, araçlar da değişiyor (çünkü her kutu en küçük değeriyle temsil ediliyor); bu, geri eklenecek araç farkının karesine eşit bir terime neden olmalıdır. Büyük için varyans artışı daha büyük değerleri ile artar .λ $\lambda$$\lambda$$m$

ile varyansının davranışı şaşırtıcı derecede karmaşıktır. Neler yapabileceğini gösteren hızlı bir simülasyonla (in ) bitirelim. Plotlar aşağıda belirtilen maddelerin varyans arasındaki farkı gösteren ve varyans Poisson dağıtılmış için çeşitli değerlerle kadar ile . Her durumda parseller sağda asimptotik değerlerine ulaşmış gibi görünmektedir.m m ⌊ X / m ⌋ X X λ 1 $mY$$m$R$m\lfloor X/m \rfloor$$X$$X$$\lambda$$1$$5000$

set.seed(17)
par(mfrow=c(3,4))
temp <- sapply(c(1,2,5,10,20,50,100,200,500,1000,2000,5000), function(lambda) {
  x <- rpois(20000, lambda)
  v <- sapply(1:floor(lambda + 4*sqrt(lambda)), 
              function(m) var(floor(x/m)*m) - var(x))
  plot(v, type="l", xlab="", ylab="Increased variance", 
       main=toString(lambda), cex.main=.85, col="Blue", lwd=2)
})

Michael Chernick'in dediği gibi, bireysel rastgele değişkenler bağımsızsa, toplam (ortalama ve varyans) parametresi ile Poisson olur diyebilirsiniz .$\sum_{i=1}^{n} \lambda_i$$\lambda$

İle bölünmesi, için ortalama azaltır ve varyans varyans az eşdeğer Poisson dağılımına daha olacak şekilde. Michael'ın dediği gibi, tüm değerler tamsayı değildir.λ / n λ / n $n$$\lambda / n$$\lambda / n^2$

Zemin fonksiyonunun kullanılması ortalamayı yaklaşık azaltır ve daha karmaşık olsa da sapmayı da biraz etkiler. Tamsayı değerleriniz olmasına rağmen, varyans hala ortalamadan önemli ölçüde daha az olacaktır ve bu nedenle Poisson'dan daha dar bir dağılımınız olacaktır.$\frac12 -\frac{1}{2n}$

bağımsız Poisson rassal değişkeninin ortalamasının olasılık kütle fonksiyonu açıkça yazılabilir, ancak cevap size çok yardımcı olmayabilir. Michael Chernick'in kendi cevabındaki yorumlarda belirttiği gibi , bağımsız parametrelerle bağımsız Poisson rastgele değişkenlerinin toplamı parametresine sahip bir Poisson rastgele değişkendir . Bu nedenle, Böylece, olasılıkla değerini alan rastgele bir değişkendir$n$ $\sum_i X_i$$X_i$$\lambda_i$$\lambda = \sum_i \lambda_i$

$$P\left\{ \sum_{i=1}^n X_i= k\right\} = \exp(-\lambda)\frac{\lambda^k}{k!}, ~~ k = 0, 1, 2, \ldots,$$ $\hat{Y} = n^{-1} \sum_{i=1}^n X_i$$k/n$$\exp(-\lambda)\frac{\lambda^k}{k!}$ . Bu Not olduğu değildir (bu eşit aralıklı rasyonel değerleri almak rağmen) bir tam sayı değerli rastgele değişken. Kolayca, aşağıdaki değeri ile bir tamsayıdır değerli rastgele değişken alma olduğunu olasılığı ile Bu değil$\hat{Y}$$Y = \lfloor \hat{Y} \rfloor$$m$λ $$P\{Y = m\} = P\left\{\left\lfloor \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i \right\rfloor = m\right\} = \exp(-\lambda)\sum_{i=0}^{n-1}\frac{\lambda^{mn+i}}{(mn+i)!}, ~~ m = 0, 1, 2, \ldots,$$ Poisson rasgele değişkeninin olasılık kütle fonksiyonu. Ortalama ve varyans için formüller bu olasılık kütle fonksiyonu kullanılarak yazılabilir, ancak ve açısından güzel basit cevaplara yol açmazlar . Henry tarafından belirtildiği gibi yaklaşık değerler elde edilebilir.$\lambda$$n$

Y Poisson olmayacak. Poisson rasgele değişkenlerinin negatif olmayan tamsayı değerlerini aldığını unutmayın. Bir sabite bölündüğünüzde, tamsayı olmayan değerlere sahip olabilen rastgele bir değişken oluşturursunuz. Yine de Poisson şeklindedir. Sadece ayrık olasılıklar tamsayı olmayan noktalarda meydana gelebilir.