Ayrık rasgele değişkenin özellikleri

İstatistik dersim bana sadece rastgele bir değişkenin sınırlı sayıda seçeneğe sahip olduğunu öğretti ... Bunu fark etmemiştim. Bir tamsayı gibi, sonsuz olabileceğini düşünürdüm. Google'ın üniversite derslerinden birkaçı da dahil olmak üzere birkaç web sayfasını ziyaret etmek ve kontrol etmek özellikle bunu doğrulayamadı; Ancak çoğu site ayrık rasgele değişkenler sayılabilir - bu sonlu sayı anlamına gelir?

(En çok?) Sıklıkla sınırlanmış olsa bile sürekli rasgele değişkenlerin sonsuz olduğu açıktır.

Fakat ayrık rasgele değişkenlerin sonlu olasılıkları varsa, o zaman tamsayıların sonsuz dağılımı nedir? Ne ayrık ne de sürekli? Soru tartışmalı mıdır, çünkü değişkenler ya sürekli (tanım gereği) sonsuz ya da süreksiz ve sonlu olma eğilimindedir?

random-variable discrete-data

— James
kaynak

İstatistik dersinize geometrik ve poisson rasgele değişkenleri hakkında sorular sormalısınız

— olasılık

Çevrimiçi, çok sınırlı bir geri bildirim. Onların sadece (!) Dağılımlardan ziyade üçüncü (ve dördüncü?) Bir değişken türü olduğunu mu söylüyorsunuz?

— James

Bir dağılım rastgele bir değişken değildir - ve bu ayrımın birçok kişinin kafasını karıştırdığını görmezden gelmek . 20. yüzyılın başlarında matematiğin güzel bir teoremi olan Lebesgue ayrışım teoremi , tüm dağıtım işlevlerinin üç farklı türden oluştuğunu nasıl kavrayacağını gösterir: "sürekli" (bunlar daha çok sürekli ve sürekli olmakla birlikte ac değil) ve "ayrık". "

— whuber

korktuğum iyi bir kurs değil

— Aksakal

Buradaki tüm yanıtlara teşekkür ederim (bazıları kafamın üstünde olsa da itiraf edeceğim). Muhtemelen bu soruyu tetiklerken neyi yanlış yorumladığım gibi neyin tetiklendiğine atıfta bulunmalıyım: "Ayrık bir rasgele değişken sonlu sayıda farklı değer alabilir" şeklinde doğru / yanlış bir soru doğru olarak kabul edilir; "ayrık bir rastgele değişkenin anahtar özelliklerinden biri" ifadesinin açıklanmasıyla. Çiftçilere kaç tane sığır sahibi olduklarını sorarsak, sayıyı önceden sınırlamak imkansız olurdu, teorik olarak sonsuz ama ayrık ...?

— James

Yanıtlar:

Kursun söylediği buysa, yanlış.

Kesikli dağılımların sınırlı sayıda olası sonucu olabilse de; sınırsız sayıda olası sonuca sahip ayrı bir dağıtımınız olabilir - eleman sayısı sayılabilirden fazla olmamalıdır.

Yaygın bir örnek geometrik bir dağılımdır; bir kafa bulana kadar adil bir madalyonun fırlatma sayısını düşünün. Gerekli olabilecek fırlatma sayısı üzerinde sonlu bir üst sınır yoktur. 1 fırlatma, 2 veya 3 veya 100 veya başka bir sayı alabilir.

Ayrık bir dağılım negatif olabilir (bu tür geometrik olarak dağılmış iki rasgele değişken arasındaki farkı düşünün; herhangi bir pozitif veya negatif tam sayı olabilir).

Örneğimde olduğu gibi, ayrık bir dağılımın tamsayılar üzerinde olması gerekmez. Bu sadece ortak bir durum, bir gereklilik değil.

— Glen_b-Monica'yı eski durumuna döndür
kaynak

Peki, dağıtımı "ayrık" yapan gerçek durum nedir? :)

— Matthew Drury

Durum Lebesgue'in sıfır ölçüsüne sahip olması, değil mi, @matthewDrury ?. Hangi sırayla en fazla sayılabilir bir kümede bir dağıtım toplamına eşdeğerdir.

— 2018'de Therkel

Kanonik tanımları bilmediğimi itiraf etmeliyim. Bütün bunlarda birikim noktalarının rolünü merak ediyorum.

— Matthew Drury

@Therkel Cantor Set üzerindeki bir dağılımın "ayrık" olarak görülmeyeceğini düşünürdüm.

— Birikim

En.wikipedia.org/wiki/Countable_set kontrol ettikten sonra bunu cevap olarak kabul etmekten mutluluk duyuyorum; geometrik dağılım örneği açıktır ve şimdiye kadar verilen yanıtların fikir birliğini temsil etmektedir.

— James

Ölçü teorik olasılığı hakkında çok naif bir anlayışa sahip olduğum bakış açısıyla bir cevap yazıyorum (yani, uzmanlar, lütfen beni düzeltin!).

Bir (gerçek değerli) rastgele değişken fonksiyonudur , burada bir örnek uzaydır. $X: S \to \mathbb{R}$ $S$

ise kesikli , görüntü tarafından indüklenen , sayılabilir olup. ise süreklidir bir sahiptirmutlak sürekli CDF'yi. (Kesinlikle sürekli işlevler hakkında çok fazla şey bilmiyorum, bu yüzden bu noktayı ayrıntılı bir şekilde açıklayamıyorum.) $X$ $X(S)$ $S$ $X$ $X$ $X$

Ancak, tüm rastgele değişkenler sadece ayrık veya sürekli değildir. "Karışık" rasgele değişkenler vardır, burada , bir basamak fonksiyonunun toplamı ve göstergelerle sürekli bir fonksiyonun toplamı olan bir CDF'ye sahiptir. $X(s)$

Cantor dağıtımı gibi ne ayrık ne de sürekli olmayan rastgele değişkenlere de sahip olabilirsiniz .

— Klarnetçi
kaynak

Aslında kesinlikle sürekli dağılımlar hakkında çok şey biliyorsunuz, çünkü (neredeyse tanım gereği) kesinlikle sürekli bir dağılım yoğunluğu olan bir dağılımdır. Yoğunlukları olmayan sürekli dağılımlar vardır: Arketipik örnek Cantor işlevinin neden olduğu dağılımdır .

— whuber

Eğer sayılabilir görüntünün bir birikim noktası varsa, yine de ayrık olduğunu söyleyebilir miyiz?

— Matthew Drury

@ Mathew Evet. Açıkça ayrık olan başka bir yorumda ( stats.stackexchange.com/a/104018/919 ) bahsettiğim örnek (sayılabilir değerlerin her birinin sıfır olmayan bir olasılığı var, bu nedenle dağıtım işlevi atlamalardan başka bir şeyden oluşmuyor ) birikim noktaları kümesi için tüm aralık

[0, 1]

$[0,1]$

— whuber

Vikipedi sayfasını sürekli ve ayrık değişkenlerle ilgili olarak alıntılamak için :

Eğer [değişken] aralarındaki tüm gerçek değerleri alabilecek şekilde iki belirli gerçek değer alabilirse (keyfi olarak birbirine yakın olan değerler bile), değişken bu aralıkta süreklidir

Bu nedenle, ayrı bir rastgele değişkenin 'sınırlı sayıda seçenek' olması gerekmez, ancak olası değerler arasında sonsuz olmayan bir boşluk olması gerekir. Tamsayıların dağılımı budur, çünkü iki komşu tamsayı arasındaki 'mesafe' 1'dir ve bundan daha az olamaz. Bu nedenle değişken, bu boşluklar içinde 'devam etmediği' için sürekli değildir.

Düzenleme: Bunu cevaplamak için muhtemelen daha iyi ve / veya daha kesin yolları olduğunu biliyorum, ama kişisel olarak farkı anlamamı sağlayan şey budur.

— deemel
kaynak

0

$0$

1.

$1.$

Bazı yazarlar, keyfi olarak birbirine yaklaşan değerlerin ayrık olmadığını, ancak garip bulduğumu itiraf etmeliyim (belki de bir şey eksikim). Bir örnek, iki Poisson rasgele değişkeninin kare köklerinin farkının dağılımıdır (w.real uygulamalar: insanlar bazen varyansı stabilize etmek için Poisson olduğu düşünülen değişkenlerle kare kökler alırlar ve çift farklılıkların merkezlenip merkezlenmediği ile ilgilenebilirler. sıfır). Değerler böyle bir değişkenle keyfi olarak birbirine yakın olabilir, ancak her zaman farklıdırlar (her birini numaralandırabilirsiniz), ...

— ctd

Y = 1 / X

$Y=1/X$

X

$X$

ε > 0

$ε>0$

X

$X$

Y

$Y$

A

$A$

A

$A$

Sanırım bu kafamda olan bir karışım. Ben eğitimli bir topologum, bu yüzden kesinlikle duyduğumda topolojik bağlamda ayrılıyor. @Whuber açıkladığın için teşekkürler.

— Matthew Drury