Sıfır hipotezinden ziyade örnekleme yoluyla üretilen güven aralıklı sıfır hipotezini reddedebilir miyiz?

Bir popülasyondan örneklemeden sonra bir güven aralığı biçiminde bir parametre tahmini yapabileceğimiz öğretildi. Örneğin, hiçbir varsayım ihlal edilmeden% 95 güven aralığı, tahmin ettiğimiz gerçek parametrenin popülasyonda ne olduğunu içeren bir% 95 başarı oranına sahip olmalıdır.

yani,

1. Bir örnekten nokta tahmini üretin.
2. Tahmin etmeye çalıştığımız gerçek değeri teorik olarak% 95 şansı olan bir dizi değer üretin.

Ancak, konu hipotez testine döndüğünde, adımlar aşağıdaki gibi tanımlanmıştır:

1. Null hipotezi olarak bir parametre varsayalım.
2. Bu sıfır hipotezinin doğru olduğu göz önüne alındığında çeşitli nokta tahminleri alma olasılığının bir olasılık dağılımını üretin.
3. Eğer alacağımız nokta tahmini, sıfır hipotezi doğruysa% 5'ten daha az üretilecekse, sıfır hipotezini reddet.

Sorum şu:

Sıfırı reddetmek için sıfır hipotezini kullanarak güven aralıklarımızı üretmek gerekli midir? Neden sadece ilk prosedürü yapmıyoruz ve gerçek parametre için tahminimizi almıyoruz (güven aralığını hesaplarken varsayımsal değerimizi açıkça kullanmıyoruz) ve sonra bu aralığa düşmezse sıfır hipotezini reddediyorsunuz?

Bu sezgisel olarak bana mantıklı bir şekilde benziyor, ama korkuyorum ki çok temel bir şeyi kaçırdığımdan korkuyorum çünkü muhtemelen bu şekilde öğretilmesinin bir nedeni var.

Basit bir problem, örneğin, bilinen varyansa sahip normal bir popülasyonun ortalamasını test ederek verilir. $\sigma^2=1$. Daha sonra, bir pivot - dağılımı parametreye bağlı olmayan bir miktar, tarafından verilir.$\bar{Y}-\mu\sim N(0,1/n)$. Kritik değerler$z_{\alpha/2}$ bu simetrik durumda, $\Phi(-z_{\alpha/2})=\alpha/2$ ve $\Phi(z_{\alpha/2})=1-\alpha/2$.

Bu nedenle,

$$\begin{eqnarray*} 1-\alpha&=&\Pr\{(\bar{X}-\mu)/(1/\sqrt{n})\in(-z_{\alpha/2},z_{\alpha/2})\}\\ &=&\Pr\{-z_{\alpha/2}\leqslant(\bar{X}-\mu)\sqrt{n}\leqslant z_{\alpha/2}\}\\ &=&\Pr\{z_{\alpha/2}\geqslant(\mu-\bar{X})\sqrt{n}\geqslant -z_{\alpha/2}\}\\ &=&\Pr\{-z_{\alpha/2}/\sqrt{n}\leqslant\mu-\bar{X}\leqslant z_{\alpha/2}/\sqrt{n}\}\\ &=&\Pr\{\bar{X}-z_{\alpha/2}/\sqrt{n}\leqslant\mu\leqslant \bar{X}+z_{\alpha/2}/\sqrt{n}\}\\ &=&\Pr\{(\bar{X}-z_{\alpha/2}/\sqrt{n},\bar{X}+z_{\alpha/2}/\sqrt{n})\ni\mu\} \end{eqnarray*}$$ Böylece $$(\bar{X}-z_{\alpha/2}/\sqrt{n},\bar{X}+z_{\alpha/2}/\sqrt{n})$$ seviye güven aralığıdır $1-\alpha$.

Aynı zamanda, ekranın ilk satırındaki olay tam olarak sıfır hipotezinin bunun için reddedilmemesi olayıdır. $\mu$. Geri kalanı sadece eşdeğer reformülasyonlar içerdiğinden, CI gerçekten hepsini içerir$\mu$ bunun için null değeri reddedilmez ve "null altında" ifadesine gerek yoktur.

Burada, güven aralıkları ve testler arasında dualite olarak bilinen şeyi göstermeyi amaçlayan Martijn'in +1 görselleştirmesine benzer bir grafik. $C$ bazılarına ait güven aralığını belirtir $\bar{x}^*$ ve $A(\mu_0)$ bazı hipotezlere ait kabul bölgesi $\mu=\mu_0$.

Evet, bir hipotez testini (numuneyi test sonuçlarının varsayımsal bir dağılımıyla karşılaştırarak) numuneden hesaplanan bir güven aralığıyla karşılaştırarak değiştirebilirsiniz. Ancak dolaylı olarak bir güven aralığı zaten bir çeşit hipotez testidir:

• Güven aralıklarının bir değer aralığı olarak oluşturulduğunu görebilirsiniz. $\alpha$seviye hipotez testi başarılı olur ve aralığın dışında bir$\alpha$ düzey hipotez testi başarısız olur.

Böyle bir aralığın yapılmasının sonucu, aralığın sadece bir kesirde başarısız olması $\alpha$ zaman.

Misal

Aşağıdaki sorunun cevabından bir görüntü kullanıyorum: Güven Aralıkları: resmen nasıl ele alınacağını$P(L(\textbf{X}) \leq \theta, U(\textbf{X})\geq\theta) = 1-\alpha$

Clopper-Pearson'dan bir grafiğin bir varyasyonudur . Başarı olasılığının olduğu 100 Bernoulli davası örneğini düşünün$\theta$ ve toplam başarı sayısını gözlemliyoruz $X$.

Bunu not et:

• Dikey yönde hipotez testini görürsünüz. Örneğin, belirli bir varsayılmış değer için$\theta$ ölçülürse hipotezi reddedersiniz $X$ kırmızı veya yeşil noktalı çizgilerin üstünde veya altında.

• Yatay yönde Clopper-Pearson güven aralıklarını görüyorsunuz. Herhangi bir gözlem X için bu güven aralıklarını kullanırsanız, zamanın sadece% 5'inde yanılıyorsunuz

  (çünkü sadece zamanın% 5'inde 'yanlış' bir aralığa dayandırdığınız X'i gözlemleyeceksiniz)