İstatistiklerin gama dağılımından bağımsızlığı

İzin Vermek $X_1,...,X_n$ gama dağılımından rastgele bir örnek olun .$\mathrm{Gamma}\left(\alpha,\beta\right)$

Let ve , sırasıyla örnek ortalaması ve örnek varyans olabilir.$\bar{X}$$S^2$

Ardından ve bağımsız olduğunu kanıtlayın veya onaylayın .$\bar{X}$$S^2/\bar{X}^2$

---

Denemem: , ve bağımsızlığını kontrol , ama aralarındaki bağımsızlığı nasıl tesis etmeliyim?$S^2/\bar{X}^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n \left(\frac{X_i}{\bar{X}}-1\right)^2$$\bar{X}$$\left(\frac{X_i}{\bar{X}} \right)_{i=1}^{n}$

İntegral için sevimli, basit, sezgisel olarak açık bir gösteri var $\alpha.$ Sadece düzgün dağılım, Gamma dağılımı, Poisson süreçleri ve rastgele değişkenlerin iyi bilinen özelliklerine dayanır ve şöyle devam eder:

1. Her biri $X_i$ kadar bekleme süresi $\alpha$ Poisson sürecinin noktaları ortaya çıkar.

2. Toplam $Y = X_1+X_2+\cdots + X_n$ bu nedenle bekleme süresi $n\alpha$bu sürecin noktaları ortaya çıkar. Bu noktalara diyelim$Z_1, Z_2, \ldots, Z_{n\alpha}.$

3. Şartlı $Y$, ilk $n\alpha-1$ noktalar birbirinden bağımsız olarak $0$ ve $Y.$

4. Bu nedenle oranlar $Z_i/Y,\ i=1,2,\ldots, n\alpha-1$ birbirinden bağımsız olarak $0$ ve $1.$ Özellikle, dağıtımları aşağıdakilere bağlı değildir$Y.$

5. Sonuç olarak, herhangi bir (ölçülebilir) fonksiyon $Z_i/Y$ bağımsız $Y.$

6. Bu işlevler arasında

   $$\eqalign{X_1/Y &= Z_{[\alpha]}/Y\\ X_2/Y &= Z_{[2\alpha]}/Y - Z_{[\alpha]}/Y\\ \ldots\\ X_{n-1}/Y &= Z_{[(n-1)\alpha]}/Y - Z_{[(n-2)\alpha]}/Y\\ X_n/Y &= 1 - Z_{[(n-1)\alpha]}/Y}$$ (köşeli parantezlerin olduğu yer) $[]$ifade sipariş istatistiklerini arasında$Z_i$).

Bu noktada, $S^2/\bar X^2$ açıkça (ölçülebilir) bir fonksiyon olarak yazılabilir $X_i/Y$ ve bu nedenle $\bar X = Y/n.$

Ortalama olduğunu kanıtlamak istiyorsun $\bar{X}$ ve $n$ rv.s $X_i/\bar{X}$ bağımsız veya eşdeğer olarak toplamın $U := \sum X_i$ ve $n$ oranlar $W_i := X_i / U$bağımsızdır. Biraz daha genel bir sonuç ortaya koyabiliriz.$X_i$ muhtemelen farklı şekiller var $\alpha_i$, ama aynı ölçek $\beta>0$ ki bu olduğu varsayılabilir $\beta = 1$.

Ortak Laplace dönüşümünü düşünün $U$ ve $\mathbf{W}=[W_i]_{i=1}^n$ yani

$$\psi(t,\,\mathbf{z}) := \text{E}\{\exp[-tU - \mathbf{z}^\top \mathbf{W}\} = \text{E}\left\{ \exp\left[-t \sum_i X_i - \sum_i z_i \,\frac{X_i}{U} \right] \right\}$$ Bu bir $n$boyutlu integral $(0, \infty)^n$
$$%% \psi(t,\,\mathbf{z} = \text{Cst} \, \int \exp \left[- (1 + t)(x_1 + \dots + x_n) - \frac{z_1 x_1 + \dots + z_n x_n}{x_1 + \dots + x_n} \right] \, x_1 ^{\alpha_1 - 1} \dots \, x_n^{\alpha_n - 1} \text{d}\mathbf{x}$$ sabitin göreceli olduğu $\mathbf{x}$. Eğer integral işareti altına yeni değişkenler $\mathbf{y} := (1 + t)\, \mathbf{x}$, integralin iki fonksiyonun bir ürünü olarak yazılabileceğini kolayca görüyoruz. $t$ diğeri vektöre bağlı $\mathbf{z}$. Bu kanıtlıyor$U$ ve $\mathbf{W}$ bağımsızdır.

Feragat . Bu soru Lukacs'ın oransal toplam bağımsızlığı teoremiyle , dolayısıyla Eugene Lukacs'ın Gamma Dağılımının Karakterizasyonu ile ilgili makalesiyle ilgilidir . Burada sadece bu makalenin ilgili kısmını (yani s. 324), gösterimlerde bazı değişikliklerle çıkardım. Ayrıca karmaşık sayılar içeren değişkenlerin değişmesini önlemek için karakteristik fonksiyonun kullanımını Laplace dönüşümünün kullanımı ile değiştirdim.

İzin Vermek $U=\sum_i X_i$. Bunu not et$(X_i /U)_i$ yardımcı bir istatistiği $\beta$yani dağıtımı aşağıdakilere bağlı değildir $\beta$.

Dan beri $U$ tam bir istatistikidir $\beta$, bağımsız $(X_i /U)_i$ Basu teoremine göre, sonuç şu.

Yardımcı istatistiğin oluşturulmasından emin değilim, çünkü sadece $\beta$, değil $\alpha$.