"Dan beri

Kısa soru: Bu neden doğrudur ??

Uzun soru:

Çok basit bir şekilde, bu ilk denklemi neyin haklı kıldığını anlamaya çalışıyorum. Okuduğum kitabın yazarı ( eğer istiyorsan, ama gerekli değilse burada bağlam) şunları iddia ediyor:

Yakın gaussianity varsayımı nedeniyle şunları yazabiliriz:

$p_{0} (ξ) = A ϕ (ξ) e x p (a_{n + 1} ξ + (a_{n + 2} + \frac{1}{2}) ξ^{2} + \sum_{i = 1}^{n} a_{i} G_{i} (ξ))$ $p_0(\xi) = A \; \phi(\xi) \; exp( a_{n+1}\xi + (a_{n+2} + \frac{1}{2})\xi^2 + \sum_{i=1}^{n} a_i G_i(\xi))$

Nerede yalnızca beklentilerin bir dizi gözlenen ettiğini verilen maksimum entropiye sahiptir senin gözlenen verilerin PDF, (basit sayılar) olan , nerede ve , standartlaştırılmış bir gauss değişkeninin, yani 0 ortalama ve birim varyansının PDF'sidir. $p_0(\xi)$ $c_i, i = 1 ... n$ $c_i = \mathbb{E}\{G_i(\xi)\}$ $\phi(\xi)$

Tüm bunların olduğu, yukarıdaki denklemi PDF, daha basit hale getirmek için bir başlangıç noktası olarak kullanması ve nasıl yaptığını anlıyorum, ancak yukarıdaki denklemi nasıl haklı bulduğunu anlamıyorum, yani, başlangıç noktası. $p_0(\xi)$

Kimseyi şaşırtmamak için kısa tutmaya çalıştım, ancak ek ayrıntılar istiyorsanız lütfen yorumlarda bana bildirin. Teşekkürler!

— kafası karışmış
kaynak

(Not: Ben senin değiştirdik için .) $\xi$ $x$

Rastgele değişken, yoğunluk ile , sen sınırlamaları varsa için maksimum entropi yoğunluğudur burada sitesindeki belirlenir s 've bir normalizasyon sabittir. $X$ $p$

\int G_{i} (x) p (x) d x = c_{i},

$\int G_i(x)\,p(x)\,dx=c_i \, ,$

i = 1, \dots, n

$i=1,\dots,n$

p_{0} (x) = A \exp (\sum_{i = 1}^{n} a_{i} G_{i} (x)),

$p_0(x)=A\exp\left(\sum_{i=1}^n a_iG_i(x)\right) \, ,$

a_{i}

$a_i$

c_{i}

$c_i$

A

$A$

Bu bağlamda, Gauss yaklaşımı ("neredeyse gaussianity") iki anlama gelir:

1) İki yeni kısıtlamalar getirmek için kabul ediyoruz: ortalama ise ve varyansı olan $X$ $0$ $1$ (söyle);

2) Karşılık gelen $a_{n+2}$ (aşağıya bakın) diğerinden çok daha büyük $a_i$ 'S.

Bu ek kısıtlamalar şu şekilde temsil edilir:

G_{n + 1} (x) = x, c_{n + 1} = 0,

$G_{n+1}(x)=x \, , \qquad c_{n+1}=0 \, ,$

G_{n + 2} (x) = x^{2}, c_{n + 2} = 1,

$G_{n+2}(x)=x^2 \, , \qquad c_{n+2}=1 \, ,$ verimli

p_{0} (x) = A \exp (a_{n + 2} x^{2} + a_{n + 1} x + \sum_{i = 1}^{n} a_{i} G_{i} (x)),

$p_0(x)=A\exp\left(a_{n+2}x^2 + a_{n+1}x + \sum_{i=1}^n a_iG_i(x)\right) \, ,$ yeniden yazılabilir (sadece üsse "sıfır ekle")

p_{0} (x) = A \exp (\frac{x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{2} + a_{n + 2} x^{2} + a_{n + 1} x + \sum_{i = 1}^{n} a_{i} G_{i} (x)),

$p_0(x)=A\exp\left(\frac{x^2}{2} - \frac{x^2}{2} + a_{n+2}x^2 + a_{n+1}x + \sum_{i=1}^n a_iG_i(x)\right) \, ,$ ne istediğinizi yönlendirmek:

p_{0} (x) = {bir}^{'} φ (x) tecrübe ({bir}_{n + 1} x + ({bir}_{n + 2} + \frac{1}{2}) x^{2} + Σ_{ben = 1}^{n} {bir}_{ben} {G,}_{ben} (x));

$p_0(x)=A'\,\phi(x)\exp\left(a_{n+1}x + \left(a_{n+2}+\frac{1}{2}\right)x^2 + \sum_{i=1}^n a_iG_i(x)\right) \, ;$ Taylor genişlemeye hazır (Gauss yaklaşımının ikinci koşulunu kullanarak).

Yaklaşımı bir Fizikçi gibi yapmak (bu, hata teriminin sırasını umursamadığımız anlamına gelir), $\exp(t)\approx 1+t$ , yaklaşık yoğunluğa sahibiz

p_{0} (x) \approx {bir}^{'} φ (x) (1 + {bir}_{n + 1} x + ({bir}_{n + 2} + \frac{1}{2}) x^{2} + Σ_{ben = 1}^{n} {bir}_{ben} {G,}_{ben} (x)) .

$p_0(x) \approx A'\,\phi(x)\left(1+a_{n+1}x + \left(a_{n+2}+\frac{1}{2}\right)x^2 + \sum_{i=1}^n a_iG_i(x)\right) \, .$ Bitirmek için,

A^{'}

$A'$ ve değerleri

a_{i}

$a_i$ 'S. Bu şartlar dayatılarak yapılır

\int p_{0} (x) d x = 1, \int x p_{0} (x) d x = 0, \int x^{2} p_{0} (x) d x = 1

$\int p_0(x)\,dx=1 \, , \qquad \int x \,p_0(x)\,dx=0 \, , \qquad \int x^2 \,p_0(x)\,dx=1$

\int {G,}_{ben} (x) p_{0} (x) d x = c_{ben}, ben = 1, ..., n,

$\int G_i(x)\, p_0(x)\,dx=c_i \, , \quad i=1,\dots,n \, ,$ çözümü veren bir denklem sistemi elde etmek

A^{'}

$A'$ ve

a_{i}

$a_i$ 'S.

Üzerine ek koşullar koymadan $G_i$ kapalı formda basit bir çözüm olduğuna inanmıyorum.

PS Muhammed bir sohbet sırasında $G_i$ sistemi çözebiliriz.

— Zen
kaynak

Zen, çok teşekkürler. Şimdi (biraz) anlıyorum. Benim için açık olmayan, "Bu bağlamda, Gauss yaklaşımı (" neredeyse gaussianity "), iki yeni kısıtlama getirmeyi kabul ettiğiniz anlamına gelir: X'in ortalaması 0 ve varyans ( ) 1. " , Anlamıyorum, neden bir şeyin 'gaussian'a yakın olması',

μ = 0

$\mu=0$ ve

σ^{2} = 1

$\sigma^2=1$ . Ya aynı değerlere sahip başka bir rv olsaydı?

— Spacey

Merhaba Muhammed. Cevaba daha fazla bilgi ekledim. Eski ifadesini almak için

p_{0} (x)

$p_0(x)$ sadece Gauss yaklaşımının ilk koşulu dediğim şeyi kullanırsınız. Bunun Taylor genişlemesini yaptığınızda ikinci koşulu kullanacaksınız.

p_{0} (x)

$p_0(x)$ . Umarım bu yardımcı olur.

— Zen

Yorum olarak son ifadeyi yayınlamak ister misiniz?

p_{0} (x)

$p_0(x)$ kalan hesaplamaları yaptıktan sonra? Teşekkürler.

— Zen

evet, son ifadenin şöyle olduğunu söylüyor:

p_{0} (z) \approx ϕ (z) (1 + \sum_{i = 1}^{N} c_{i} F_{i} (z))

$p_0(z) \approx \phi(z) (1 + \sum_{i=1}^{N} c_i F_i(z))$

— Spacey

Sanırım son denklemde bir yazım hatası var mı? ...

a_{n + 1} x

$a_{n+1}x$ iki kez mi oluyor? ...

— Spacey