Normal dağılım

Maalesef nereden başlayacağımı bilmediğim bir istatistik problemi var (kendi başıma çalışıyorum, bu yüzden bir şey anlamıyorsam soramayacağım kimse yok.

Soru

$X,Y$ iid $N(a,b^2); a=0; b^2=6; var(X^2+Y^2)=?$

IID normal verileri ile uğraştığınız için, yaşadığınız duruma bakmak için probleminizi biraz genellemeye değer $X_1, ..., X_n \sim \text{IID N}(a, b^2)$ ve sen istiyorsun $Q_n \equiv \mathbb{V}(\sum_{i=1}^n X_i^2)$. (Sorunuz şu durumda olduğu duruma karşılık geliyor:$n=2$.) Diğer kullanıcıların işaret ettiği gibi, IID normal rasgele değişkenlerin karelerinin toplamı, ölçeklendirilmiş, merkezi olmayan bir ki-kare rasgele değişkenidir ve bu nedenle ilgili varyans, bu dağılım bilgisinden elde edilebilir. Bununla birlikte, normal dağılım anları bilgisi ile birlikte sıradan moment kurallarını kullanarak gerekli varyansı elde etmek de mümkündür . Bunu adım adım nasıl yapacağınızı size göstereceğim.

Normal dağılım anlarını kullanarak varyansı bulma: Değerlerden beri$X_1, ..., X_n$ IID (ve $X$ bu dağıtımdan genel bir değer olmak için):

$$\begin{equation} \begin{aligned}Q_n \equiv \mathbb{V}\Big( \sum_{i=1}^n X_i^2 \Big) &= \sum_{i=1}^n \mathbb{V}(X_i^2) \\[6pt]&= n\mathbb{V}(X^2) \\[6pt]&= n(\mathbb{E}(X^4) - \mathbb{E}(X^2)^2) \\[6pt]&= n(\mu_4' - \mu_2'^2), \\[6pt]\end{aligned} \end{equation}$$ ham anları şu şekilde ifade ediyoruz: $\mu_k' \equiv \mathbb{E}(X^k)$. Bu ham anlar merkezi anlar olarak yazılabilir$\mu_k \equiv \mathbb{E}((X-\mathbb{E}(X))^k)$ ve ortalama $\mu_1' = \mathbb{E}(X)$standart dönüşüm formüllerini kullanarak normal dağıtımın ana momentlerini arayabilir ve bunların yerine koyabiliriz.

An dönüşüm formüllerini kullanarak şunları elde etmelisiniz:

$$\begin{equation} \begin{aligned}\mu_2' &= \mu_2 + \mu_1'^2, \\[6pt]\mu_3' &= \mu_3 + 3 \mu_1' \mu_2 + \mu_1'^3, \\[6pt]\mu_4' &= \mu_4 + 4 \mu_1' \mu_3 + 6 \mu_1'^2 \mu_2 + \mu_1'^4. \\[6pt]\end{aligned} \end{equation}$$ Dağıtım için $X \sim \text{N}(a,b^2)$ demek istedik $\mu_1' = a$ ve üst düzey merkezi anlar $\mu_2 = b^2$, $\mu_3 = 0$ ve $\mu_4 = 3 b^4$. Bu bize ham anları verir: $$\begin{equation} \begin{aligned}\mu_2' &= b^2 + a^2, \\[6pt]\mu_3' &= 3 a b^2 + a^3, \\[6pt]\mu_4' &= 3 b^4 + 6 a^2 b^2 + a^4. \\[6pt]\end{aligned} \end{equation}$$ Şimdi, ilginin varyansını bulmak için bunları orijinal ifadeye geri koymayı deneyin.

İlk ifadeye geri koymak aşağıdakileri verir:

$$\begin{equation} \begin{aligned}Q_n &= n(\mu_4' - \mu_2'^2) \\[6pt]&= n[(3 b^4 + 6 a^2 b^2 + a^4) - (b^2 + a^2)^2] \\[6pt]&= n[(3 b^4 + 6 a^2 b^2 + a^4) - (b^4 + 2 a^2 b^2 + a^4)] \\[6pt]&= n[2 b^4 + 4 a^2 b^2] \\[6pt]&= 2nb^2 (b^2 + 2a^2). \\[6pt]\end{aligned} \end{equation}$$ Özel durum için $n=2$ var $Q_2 = 4b^2 (b^2 + 2a^2)$. Sonuçlarınızı ölçeklendirilmiş merkezi olmayan ki-kare dağılımından türetmek için alternatif bir yöntem kullanırsanız bu sonucun alacağınız çözümle uyumlu olduğu gösterilebilir.

Olmayan santral ki-kare dağılımının kullanımına dayalı Alternatif çalışma: yana$X_i / b \sim \text{N}(a/b, 1)$ we have:

$$\sum_{i=1}^n \Big(\frac{X_i}{b} \Big)^2 \sim \text{Non-central Chi-Sq}\Big( k=n, \lambda= \frac{n a^2}{b^2} \Big).$$ Using the known variance of this distribution we have: $$\begin{equation} \begin{aligned}Q_n \equiv \mathbb{V}\Big( \sum_{i=1}^n X_i^2 \Big) &= b^4 \cdot \mathbb{V}\Big( \sum_{i=1}^n \Big(\frac{X_i}{b} \Big)^2 \Big) \\[6pt]&= b^4 \cdot 2(k+2 \lambda) \\[6pt]&= 2 b^4 \Big( n + 2 \frac{na^2}{b^2} \Big) \\[6pt]&= 2 n b^2 (b^2 + 2a^2). \\[6pt]\end{aligned} \end{equation}$$ This result matches with the result above.

If $X$ and $Y$ are $\text{N} (a, b^2)$ bağımsız rastgele değişkenler, $\left( \frac{X - a}{b} \right)^2 + \left( \frac{Y - a}{b} \right)^2$ bir $\chi ^2(2)$ rastgele değişken.

Sence oradan alabilir misin?

Cevap merkezi olmayan Ki-kare dağılımındadır .

Örneğin, b = 1 ise, sorunuzun cevabı: $2(k + 2(a^2))$, nerede $k=2$ bileşen sayısıdır ($X$ ve $Y$).