Uzun kuyrukta Poisson kümülatif dağılımının basit yaklaşımı?

Bir tablonun kapasitesine , verilen için taşma ihtimalinin daha az olması için karar vermek istiyorum , giriş sayısının belirli bir beklentiyle . $C$ $2^{-p}$ $p\in[40\dots 120]$ $E\in[10^3\dots 10^{12}]$

İdeal olarak, ben en düşük tamsayı istiyorum Cöyle ki 1-CDF[PoissonDistribution[E],C] < 2^-pverilen için pve E; ama bundan Cbiraz daha yüksek bir içerikten memnunum . Mathematica manuel hesaplama için iyidir, ama ben hesaplamak istiyorum Cden pve E64 bit tamsayı aritmetik beni sınırlayan derleme zamanında, en.

Güncelleme: In Mathematica (sürüm 7) e = 1000; p = 40; c = Quantile[PoissonDistribution[e], 1 - 2^-p]olduğu 1231ve sağ (teşekkürler @Procrastinator) hakkında görünüyor; Ancak her ikisi için sonuç p = 50ve p = 60bir 1250güvensiz tarafta yanlıştır, (ve konularda: denemem gibi tekrarlar kat veya daha fazla ve ben kanıtlanabilirliği az istediğiniz genel oran başarısızlık). Derleme zamanında C (++) kullanılabilir yalnızca 64 bit tamsayı aritmetik kullanarak bazı kaba ama güvenli yaklaşım istiyorum . $2^{25}$ $2^{-30}$

poisson-distribution

— fgrieu
kaynak

Nasıl C = Quantile[PoissonDistribution[E],1-2^p]?

Poisson'un olasılık kütle fonksiyonunun önde gelen terimi kuyrukta hakimdir.

— kardinal

@Prorastinator: Mathematica'da çalışan evet (işareti pve kesinlik sorunları ve adlar hariç Eve Cayrılmış). AMA Ben sadece 64 bit tamsayı aritmetik kullanarak ham (ama güvenli tarafta) basit bir yaklaşım gerekir!

— fgrieu

p = 50

$p=50$

p = 60

$p=60$

Belki de yığın akışını sormalısınız. Sahip olduğunuz kısıtlamalara aşina değilim. Ne dinamik bellek ayırma kullanmaktan alıkoyan, ya da dizi boyutunu belirlemek için dallanma kullanabilirsiniz, ya da maliyetler ihtiyacınız olan boyutu iki katı olan bir dizi tanımlamak olup olmadığını bilmiyorum (ve sonra hepsini kullanarak değil ). gibi bir işlev varsa

μ + \sqrt{\log \log μ} \log μ \sqrt{μ} + p \frac{\sqrt{μ}}{\log μ}

$\mu + \sqrt{\log\log \mu} \log \mu \sqrt \mu + p \frac{\sqrt{\mu}} {\log \mu}$

Yanıtlar:

Büyük ortalamaya sahip bir Poisson dağılımı yaklaşık olarak normaldir, ancak kuyruğa bağlı olmasını istediğinize ve normal yaklaşımın kuyrukların yanında orantılı olarak daha az doğru olmasına dikkat etmelisiniz.

Bu MO sorusunda ve binom dağılımlarında kullanılan bir yaklaşım , kuyruğun geometrik bir seriden daha hızlı azaldığını tanımaktır, böylece geometrik bir seri olarak açık bir üst sınır yazabilirsiniz.

\begin{array}{rcl} \sum_{k = D}^{\infty} \exp (- μ) \frac{μ^{k}}{k!} & < & \sum_{k = D}^{\infty} \exp (- μ) \frac{μ^{D}}{D!} (\frac{μ}{D + 1})^{k - D} \\ = & \exp (- μ) \frac{μ^{D}}{D!} \frac{1}{1 - \frac{μ}{D + 1}} \\ < & \exp (- μ) \frac{μ^{D}}{\sqrt{2 π D} (D / e)^{D}} \frac{1}{1 - \frac{μ}{D + 1}} \\ = & \exp (D - μ) (\frac{μ}{D})^{D} \frac{D + 1}{\sqrt{2 π D} (D + 1 - μ)} \end{array}

$\begin{eqnarray}\sum_{k=D}^\infty \exp(-\mu)\frac{\mu^k}{k!} & \lt & \sum_{k=D}^\infty \exp(-\mu) \frac{\mu^D}{D!}\bigg(\frac \mu{D+1}\bigg)^{k-D} \\ & = & \exp(-\mu)\frac{\mu^D}{D!}\frac{1}{1-\frac{\mu}{D+1}} \\ & \lt & \exp(-\mu) \frac{\mu^D}{\sqrt{2\pi D}(D/e)^D} \frac{1}{1-\frac{\mu}{D+1}} \\ & = & \exp(D-\mu) \bigg(\frac{\mu}{D}\bigg)^D \frac{D+1}{\sqrt{2\pi D} (D+1-\mu)}\end{eqnarray}$

$\to$ $-p \log 2 = \log(\text{bound})$ $D = \mu + c \sqrt \mu.$

$p=100$ $\mu = 1000$ $1000$ $0$ $1384$ $1-1/2^{100.06}.$ $0$ $1383$ $1-1/2^{99.59}.$

— Douglas Zare
kaynak

+1. Başka bir yaklaşım, Poisson kuyruk olasılıklarını (sağda), bir saddlepoint yaklaşımı ile yakından (fazla) tahmin edilebilen Gamma dağılımlarının (solda) kuyruk olasılıkları ile ilgilidir.

— whuber

Bundan 64-bit tamsayı aritmetiği (exp, log, sqrt .. olmadan) ile sınırlı bir şey var ama üzerinde çalışacağım; hepinize teşekkürler!

— fgrieu

(+1) Stirling'in yaklaşımının (ilgisiz) çağrısına kadar, bu OP'ye yaptığım yorumda (opakça) tam olarak bağlandığım sınır. (Örneğin, buraya bakın .)

— kardinal

$Y$ $\lambda$

G (x) = \sqrt{2 (x \ln \frac{x}{λ} + λ - x)} s i g n (x - λ) .

$G(x)= \sqrt{2\left(x\ln \frac{x}{\lambda} +\lambda-x\right)} \ \ {\rm sign} \left(x-\lambda\right).$

Φ

$\Phi$

k \geq 0

$k\ge 0$

P (Y < k) \leq Φ (G (k)) \leq P (Y \leq k),

${\bf P}(Y<k)\le \Phi(G(k)) \le {\bf P}(Y\le k),$

Φ (G (k - 1)) \leq P (Y < k) \leq Φ (G (k))

$\Phi(G(k-1)) \le {\bf P}(Y<k)\le \Phi(G(k))$

k > 0

$k>0$

Φ (G (k + (1 / 2))) \leq P (Y \leq k)

$\Phi(G(k+(1/2))) \le {\bf P}(Y\le k)$

Φ (G (k - 1 / 2)) \leq P (Y < k) \leq Φ (G (k))

$\Phi(G(k-1/2)) \le {\bf P}(Y<k)\le \Phi(G(k))$

k > 0

$k>0$

— Pavel Ruzankin
kaynak

Eğer bağlantının bir anda kaybedilmesi durumunda yardımcı olacak anahtar denklemini (sadece bir veya iki olduğu varsayılarak) yazabilseydiniz.

— jbowman