İlişkili rastgele değişkenlerin farkına ilişkin sınırlar

İki yüksek derecede korelasyonlu rastgele değişken verildi $X$ ve $Y$ , Farkın olasılığını sınırlamak istiyorum $|X - Y|$ bir miktarı aşıyor:

P (| X - Y | > K) < δ

$P( |X - Y| > K) < \delta$

Sadelik için:

Korelasyon katsayısının "yüksek" olduğu bilinmektedir, örneğin: $\rho_{X,Y}= {covar(X,Y)} / {\sigma_X \sigma_Y} \geq 1 - \epsilon$
$X,Y$ sıfır ortalaması: $\mu_x = \mu_y = 0$
$-1 \leq x_i, y_i \leq 1$ (veya $0 \leq x_i, y_i \leq 1$ eğer bu daha kolaysa)
(Eğer işleri kolaylaştırırsa, diyelim ki $X,Y$ özdeş varyans: $\sigma_X^2 = \sigma_Y^2$ )

Sadece yukarıdaki bilgiler (kesinlikle hiçbir yere alamadım) verilen fark bir sınır türetmek ne kadar emin değilim. Spesifik bir çözüm (varsa), dağıtımlara dayatılması için zorunlu ek kısıtlamalar veya sadece bir yaklaşım hakkında tavsiye vermek harika olurdu.

correlation mathematical-statistics bounds

— Avanti89
kaynak

Basitleştirici varsayımlar olmasa bile, birkaç olağan aracın birleştirilmesiyle bir sınır elde edilebilir:

İki ilişkili değişkenlerin farkı değişkeni . İki değişkenli bir problemi tek değişkenli bir probleme dönüştürmemizi sağlar.
Chebyshev eşitsizliği . Belirli bir değeri aşma olasılığı üzerine bir sınır koyar.

Bazı detaylarda:

σ_{X - Y}^{2} = σ_{X}^{2} + σ_{Y}^{2} - 2 \cdot c Ö v (X, Y)

$\sigma^2_{X-Y}=\sigma^2_X+\sigma^2_Y-2·cov(X,Y)$

c Ö v (X, Y) = σ_{X} \cdot σ_{Y} \cdot ρ_{X Y}

$cov(X,Y)=\sigma_X·\sigma_Y·\rho_{XY}$

σ_{X - Y}^{2} = σ_{X}^{2} + σ_{Y}^{2} - 2 \cdot σ_{X} \cdot σ_{Y} \cdot ρ_{X, Y}

$\sigma^2_{X-Y}=\sigma^2_X+\sigma^2_Y-2·\sigma_X·\sigma_Y·\rho_{X,Y}$

Chebyshev eşitsizliğine göre, herhangi bir rastgele değişken için $Z$ :

Pr (| Z - μ | \geq k σ) \leq \frac{1}{k^{2}}

$\Pr(|Z-\mu|\geq k\sigma) \leq \frac{1}{k^2}$

Sonra (ve bunu kullanarak $\mu_{X-Y}=\mu_X-\mu_Y)$ :

Pr (| X - Y - μ_{X} + μ_{Y} | \geq k \cdot \sqrt{σ_{X}^{2} + σ_{Y}^{2} - 2 \cdot σ_{X} \cdot σ_{Y} \cdot ρ_{X, Y}}) \leq \frac{1}{k^{2}}

$\Pr(|X-Y-\mu_X+\mu_Y|\geq k·\sqrt{\sigma^2_X+\sigma^2_Y-2·\sigma_X·\sigma_Y·\rho_{X,Y}}) \leq \frac{1}{k^2}$

Daha basit bir ifade elde etmek için önerilen basitleştirme varsayımlarını kullanabiliriz. Ne zaman:

ρ_{X, Y} = c Ö v bir r (X, Y) / σ_{X} σ_{Y} = 1 - ε

$\rho_{X,Y}= {covar(X,Y)} / {\sigma_X \sigma_Y} = 1 - \epsilon$

μ_{x} = μ_{y} = 0

$\mu_x = \mu_y = 0$

σ_{X}^{2} = σ_{Y}^{2} = σ^{2}

$\sigma_X^2 = \sigma_Y^2 = \sigma^2$

Sonra:

σ_{X}^{2} + σ_{Y}^{2} - 2 \cdot σ_{X} \cdot σ_{Y} \cdot ρ_{X, Y} = 2 \cdot σ^{2} \cdot (1 - (1 - ε)) = 2 σ^{2} ε

$\sigma^2_X+\sigma^2_Y-2·\sigma_X·\sigma_Y·\rho_{X,Y} = 2·\sigma^2·(1-(1-\epsilon)) = 2\sigma^2\epsilon$

Ve bu nedenle:

Pr (| X - Y | \geq k \cdot σ \sqrt{2 ε}) \leq \frac{1}{k^{2}}

$\Pr(|X-Y|\geq k·\sigma\sqrt{2\epsilon}) \leq \frac{1}{k^2}$

İlginç bir şekilde, bu sonuç, $\epsilon$ küçük değildir ve korelasyon koşulu $=1-\epsilon$ için $\geq 1-\epsilon$ , sonuç değişmez (çünkü zaten bir eşitsizlik).

— Pere
kaynak