Balıkçılık Sorunu

8: 00-8: 00 saatleri arasında yakındaki gölde balık tutmak istediğinizi varsayalım. Aşırı avlanma nedeniyle, günde sadece bir balık yakalayabileceğinizi söyleyen bir yasa çıkarılmıştır. Bir balık yakaladığınızda, onu tutmayı (ve böylece o balıkla eve gitmeyi) ya da göle geri atmayı ve balık tutmaya devam etmeyi seçebilirsiniz (ancak daha sonra daha küçük bir balıkla ya da hiç balık olmadan yerleşme riski vardır). Mümkün olduğunca büyük bir balık yakalamak istiyorsunuz; özellikle eve getirdiğiniz balık kütlesini en üst düzeye çıkarmak istiyorsunuz.

Resmi olarak, bu sorunu şu şekilde kurabiliriz: balıklar belirli bir oranda yakalanır (yani, bir sonraki balığınızı yakalamak için geçen süre bilinen bir üstel dağılımı takip eder) ve yakalanan balıkların boyutu bazı (aynı zamanda bilinen) dağılımları takip eder . Şimdiki zaman ve yakaladığınız bir balığın büyüklüğü göz önüne alındığında, balığın tutulup tutulmayacağına veya geri atıp atmayacağına karar veren bir karar süreci istiyoruz.

Yani soru şu: bu karar nasıl alınmalı? Balık tutmayı ne zaman durduracağınıza karar vermenin basit (veya karmaşık) bir yolu var mı? Bence problem, belirli bir zaman için, t zamanında başlarlarsa, optimum bir balıkçının ne kadar balık kütlesinin geleceğini belirlemeye eşdeğerdir; Optimal karar verme süreci bir balığı sadece ve ancak beklenen kütleden daha ağırsa tutacaktır. Ama bu bir bakıma kendine atıf yapıyor; optimal balıkçılık stratejisini optimal bir balıkçı açısından tanımlıyoruz ve nasıl ilerleyeceğimi tam olarak bilmiyorum.

stochastic-processes optimal-stopping

— b2coutts
kaynak

Wikipedia'daki sekreter sorununa bakın - özellikle en iyi seçimin 1 / e-yasası bölümüne.

— soakley

Bence burada önemli bir fark, her şeyin nasıl dağıtıldığını bildiğimiz varsayılırken, bu çözümün anahtarı, bu bilginin bir kısmını elde etmek ve iyi bir eşik tanımlamak için ilk 1 / e adaylarını kullanmasıdır. Bence benzer bir fikir burada pek işe yaramadı. Sadece dağılımlardan bir eşik türediğini hayal edebilirsiniz, ama bunun düzeltilmesi gerektiğini düşünmüyorum; Daha iyi / herhangi bir balık yakalamak için daha az zamanınız olduğu için eşiğin zamanla azalması gerektiğini düşünüyorum.

— b2coutts

@soakley ayrıca olooney'nin cevabına verdiğim cevaba bakınız; Beklemenin (beklenen) değeri, yalnızca gelecekte ne tür yakalamalar alacağınıza değil, aynı zamanda stratejinizden hangilerinin yakalayacağına da bağlıdır. Bu yüzden, bu sorunun da kendine özgü tuhaf bir yönü olduğunu düşünüyorum.

— b2coutts

Optimize etmeye çalıştığımız işlev veya değer nedir? Yani, riski ve kârı nasıl tartarız? Yakalanacak nokta, yakalanan balık büyüklüğünün beklenti değerini en üst düzeye çıkaran bir yöntem bulmak mı? Sadece bir gün veya birkaç gün balık tutuyor muyuz ve ikinci durumda günler arasında nasıl bir ilişki var?

— Sextus Empiricus

Dağıtımı biliyoruz ... bu sadece dağıtımın türüne mi atıyor, yoksa dağıtım parametrelerini de içeriyor mu?

— Sextus Empiricus

Let Poisson süreci anlamında olabildikleri hızı ve izin balık boyutu dağılımının kümülatif dağılım fonksiyonu olan. $\lambda$ $S(x)=1-F(x)$ $F(x)$

Let anlamında olabildikleri gün sonu ve izin , , aralık beklenen mandalı belirtmektedir en iyi stratejiyi kullanarak eğer elde edin. Açıkça . Ayrıca, zamanında boyutunda bir balık yakalarsak, onu tutmalı ve daha büyükse balık tutmayı bırakmalıyız . Yani bu bizim karar kuralımız. Böylece, sürecin gerçekleşmesi ve alınan karar (yeşil nokta) aşağıdaki gibi görünebilir: $t=0$ $g(t)$ $t\le 0$ $(t,0)$ $g(0)=0$ $x$ $t$ $g(t)$

Sürekli zamanda çalışarak, stokastik dinamik programlamadan fikirler kullanarak , zaman içinde geriye doğru değişimi basit bir diferansiyel denklem ile tanımlanır. Sonsuz bir zaman aralığı düşünün . Bu zaman aralığında büyüklüğünde bir balığı yakalama olasılığı aksi takdirde beklenen avımız . $g(t)$ $(t-dt,t)$ $X>g(t)$

λ d t S (g (t)),

$\lambda dt S(g(t)),$

g (t)

$g(t)$

Bir formül kullanılarak ortalama ömürle , daha büyük bir balık beklenen boyutu olarak $g(t)$

E (X | X > g (t)) = g (t) + \frac{1}{S (g (t))} \int_{g (t)}^{\infty} S (x) d x .

$E(X|X>g(t))=g(t)+\frac1{S(g(t))}\int_{g(t)}^\infty S(x)dx.$

Bu nedenle, toplam beklenti yasası kullanılarak, aralık beklenen mandalı olur $(t-dt,0)$

g (t - d t) = [λ d t S (g (t))] [g (t) + \frac{1}{S (g (t))} \int_{g (t)}^{\infty} S (x) d x] + [1 - λ d t S (g (t)] g (t) .

$g(t-dt) =[\lambda dt S(g(t))][g(t)+\frac1{S(g(t))}\int_{g(t)}^\infty S(x)dx] + [1-\lambda dt S(g(t)] g(t).$

Biz bulmak yeniden düzenleme e tatmin Not nasıl bir oranda gün düşüş sonuna doğru Poisson oranı çarpımına eşit ortalama balık boyutuna biz en yansıtan bu nokta, yakalayabileceğimiz balıkları uzak tutmak için en iyisi olacaktır. $g(t)$

\begin{matrix} (1) & \frac{d g}{d t} = - λ \int_{g (t)}^{\infty} S (x) d x . \end{matrix}

$\frac{dg}{dt}=-\lambda \int_{g(t)}^\infty S(x) dx. \tag{1}$

g (t)

$g(t)$

λ

$\lambda$

\int_{0}^{\infty} S (x) d x

$\int_0^\infty S(x)dx$

Örnek 1 : varsayalım balık boyutları bu bu şekilde . Denklem (1) daha sonra ayrılabilir bir diferansiyel denklem olan ya basitleştirir . Sınır koşulu üzerinde kullanılarak, çözüm için , Şekil üzerinde gösterilen . Aşağıdaki kod, teorik ortalama ile simülasyonlara dayalı olarak hesaplanan bu stratejiyi kullanarak ortalama yakalamayı karşılaştırır . $X\sim \exp(\alpha)$ $S(x)=e^{-\alpha x}$

\frac{d g}{d t} = - \frac{λ}{α} e^{- α g (t)}

$\frac{dg}{dt}=-\frac\lambda\alpha e^{-\alpha g(t)}$

g (t) = \frac{1}{α} \ln (1 - λ t),

$g(t) = \frac1\alpha\ln(1-\lambda t),$

t \leq 0

$t\le 0$

α = λ = 1

$\alpha=\lambda=1$

g (- 12)

$g(-12)$

g <- function(t,lambda, rate) {
  1/rate*log(1-lambda*t)
}
catch <- function(daylength=12, lambda=1, rfn=runif, gfn=g, ...) {
  n <- rpois(1,daylength*lambda)
  starttime <- -daylength
  arrivaltimes <- sort(runif(n,starttime,0))
  X <- rfn(n,...)
  j <- match(TRUE, X > gfn(arrivaltimes,lambda,...))
  if (is.na(j))
    0
  else
    X[j]
}
nsim <- 1e+5
catches <- rep(0,nsim)
for (i in 1:nsim)
  catches[i] <- catch(gfn=g,rfn=rexp,rate=1,lambda=1)
> mean(catches)
[1] 2.55802
> g(-12,1,1)
[1] 2.564949

Örnek 2: Eğer , bir benzer türev yol açar (1) in çözeltisi gibi. nin olarak maksimum balık boyutuna nasıl eğilimli olduğuna dikkat edin . $X \sim U(0,1)$

g (t) = 1 - \frac{1}{1 - λ t / 2}

$g(t) = 1 - \frac1{1-\lambda t/2}$

g (t)

$g(t)$

t \to - \infty

$t\rightarrow -\infty$

— Jarle Tufto
kaynak

Büyüklüğü aşan bir balığı yakalarsanız neden durma stratejisinin optimal olduğu açık değildir. Balık büyüklüğü cinsinden beklenen maksimum balık boyutunu aşarsa durmak daha mantıklı olacaktır .

g (t)

$g(t)$

(t, 0)

$(t,0)$

— Alex

En büyük balıkları seçme şansınız olmadan balık tutmayı bırakacaksınız. aralığında yakalanmaya karar verdiğiniz balıkların beklenen boyutudur . Aynı zamanda karar kuralı, zamanında , den daha büyük bir balık yakalarsanız balık tutmayı durdurun .

g (t)

$g(t)$

(t, 0)

$(t,0)$

t

$t$

g (t)

$g(t)$

— Jarle Tufto

@AlexR. Örnek 2 için beklenen maksimum balık boyutunu kullanarak bir simülasyon denedim Yakın ama daha az iyi çalıştı. Maksimumun beklentisi, toplanmayacak olan balıkları ( den daha az olanları ) içerir. Bu maksimum beklentiyle, çok avantajlı bir yakalama elde edene kadar beklemeye daha meyilli olursunuz. Bu size daha fazla büyük balık verir, ancak daha küçük balıkların pahasına veya hiç yok.

g^{'} (t) = 1 - \frac{e^{λ t} - 1}{λ t}

$g'(t)=1-\frac{e^{\lambda t}-1}{\lambda t}$

g^{'} (t)

$g'(t)$

— Sextus Empiricus